DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2012/2013 CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2012/2013 CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA DANIELE ANDREUCCI DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, ROMA, ITALY 1

2 1. Mercoledì 3/10/2012 Presentazione del corso. Equazioni alle derivate ordinarie e alle derivate parziali. Soluzioni dell equazione della corda vibrante a variabili separabili. Problemi al contorno. Paragrafi di riferimento sul testo: Giovedì 4/10/2012 Esercizio 2.1. Soluzioni a variabili separabili di problemi al contorno per l equazione del calore e l equazione delle onde. Problemi agli autovalori per il laplaciano, con condizioni al contorno di Dirichlet e di Neumann. Definizione di coppia autofunzione/autovalore. Similitudine con gli autovettori/autovalori di matrici. Teorema 2.2. Gli autovalori sono non negativi; il problema di Neumann ammette sempre l autovalore nullo, quello di Dirichlet non l ammette mai. Esercizio 2.3. Calcolo di tutte le autofunzioni per il problema di Neumann (in dimensione 1). Per casa 2.4. Trovare le autofunzioni relative ai problemi di Neumann e di Dirichlet nel caso del rettangolo. Paragrafi di riferimento sul testo: 5.1,

3 3. Venerdì 5/10/2012 Derivazione dell equazione del calore (o della diffusione). Derivazione dell equazione della corda vibrante. Linearità delle equazioni ottenute. L equazione della corda vibrante come composizione delle equazioni di trasporto con velocità ±c. Esercizio 3.1. Trasformata esponenziale v = ue kt per ridurre l equazione u t D u = ku alla v t D v = 0. Per casa 3.2. Cercare l opportuna trasformata esponenziale per passare da u t D u = ku x alla v t D v = 0. Il laplaciano per funzioni radiali, in due e in tre dimensioni spaziali. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1,

4 4. Mercoledì 10/10/2012 Teorema 4.1. Due autofunzioni dello stesso problema per il laplaciano, corrispondenti ad autovalori diversi, sono ortogonali. Analogia con il caso di autovettori di matrici simmetriche. Autofunzioni normalizzate in modo che ϕ 2 dx = 1. Ω Integrale generale di un sistema lineare di e.d.o. a coefficienti costanti y = Ay come N y(t) = c n e λnt v n, n=1 se {v n } è una base di autovettori di A con Av n = λ n v n. Rilevanza dell omogeneità delle condizioni al bordo. Sviluppo della soluzione del problema di Dirichlet per l equazione del calore in serie di autofunzioni; scelta delle condizioni al bordo per le autofunzioni (uguali a quelle nel problema). Esercizio 4.2. Calcolo delle autofunzioni per il problema con condizioni al bordo di tipo misto in (0, π/2): ( ) π ϕ = λϕ, ϕ(0) = 0, ϕ = 0. 2 Passaggio al caso dell intervallo generico (0, L) per omotetia e riscalamento. Paragrafi di riferimento sul testo: 5.2,

5 5. Giovedì 11/10/2012 Teorema 5.1. La soluzione del problema al contorno di Dirichlet per l equazione delle onde nell intervallo (0, L) soddisfa la stima dell energia: L 0 [u t (x, t) 2 + c 2 u x (x, t) 2 ] dxle L 0 [u t (x, 0) 2 + c 2 u x (x, 0) 2 ] dx. (Vedi il Teorema 6.2 per il caso di dimensione > 1.) Definizione di spazio L 2 (I). Definizione di prodotto interno tra funzioni. Proprietà di simmetria, linearità, positività. Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare. Risoluzione di problemi in { x > 1} per la versione radiale del laplaciano, in dimensione 2 e 3. Paragrafi di riferimento sul testo: 6.1, Venerdì 12/10/2012 Principio di Dirichlet: se u minimizza il funzionale dell energia u 2 dx, allora risolve l equazione u = 0 in Ω. Il problema di Cauchy Ω u = 0, in un intorno della curva γ; u = u 0, su γ; u ν = u 1, su γ. Osservazioni: non è noto a priori il dominio della soluzione; manca la dipendenza continua dai dati. Controesempi: 1) u(x, y) = α ln x 2 + y 2, e u(x, y) = β cosh(nx) cos(ny). Problema di Dirichlet. Principio del massimo e del minimo per l equazione di Laplace. Esercizio , 17/430. Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 2.1, 2.2, 2.6,

6 7. Mercoledì 17/10/2012 Sistemi ortogonali. Teorema 7.1. Un insieme di funzioni ortogonali due a due (e non nulle) sono linearmente indipendenti. Corollario 7.2. Lo spazio L 2 (I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale. Migliore approssimazione di soluzioni con sistemi ortonormali. La disuguaglianza di Bessel. Esercizio /430; calcolo della soluzione di u = C, x 2 + y 2 + z 2 < L 2, u = 0, x 2 + y 2 + z 2 = L 2. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.2, Giovedì 18/10/2012 Sistemi ortonormali completi. L identità di Parseval. Sviluppo della funzione costante 1 nel sistema dei seni, e applicazione dell identità di Parseval. Osservazione 8.1. Il coefficiente n-esimo dello sviluppo tende a zero. Comportamento oscillante dei sistemi ortonormali. Commenti sulla natura della convergenza in L 2 (I). Esercizio /490 Paragrafi di riferimento sul testo:

7 9. Venerdì 19/10/2102 Definizione di funzioni armoniche ( u = 0), subarmoniche ( u 0), superarmoniche ( u 0). Applicazioni del principio di massimo per l equazione di Laplace: Teorema 9.1. La soluzione del problema di Dirichlet è unica. Teorema 9.2. La soluzione del problema di Dirichlet dipende con continuità dai dati. Il principio del massimo forte (s.d.). Il Lemma di Hopf (s.d.); necessità dell ipotesi della sfera interna (esempio di u(x, y) = x 2 y 2 in x > y > 0; comportamento nell origine). Confronto con soprasoluzioni. Esercizio , 15/430. Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, Giovedì 25/10/2012 Il sistema ortonormale di Fourier in ( π, π) e quelli dei seni e dei coseni in (0, π). Teorema (s.d.) Il sistema ortonormale di Fourier in ( π, π) è completo. Teorema I sitemi ortonormali dei seni e dei coseni in (0, π) sono completi. Sviluppi di funzioni pari e dispari. Esercizio Esercizi: applicazione del metodo di Fourier a problemi al contorno per l equazione delle onde in dimensione 1. Caso della sorgente non omogenea e delle condizioni al bordo non omogenee. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.1,

8 11. Venerdì 26/10/2012 Teorema Se u risolve l equazione delle onde u tt c 2 u xx = 0 in un rettangolo, allora u(x, t) = f(x ct) + g(x + ct). Teorema Il problema di Cauchy per l equazione delle onde ha un unica soluzione data dalla formula di D Alembert. Interpretazione qualitativa delle soluzioni descritte dalla formula di D Alembert. Esercizio /300. Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, Mercoledì 31/10/2012 Teorema Se f C 1 ([ π, π]), f( π) = f(π) allora la sua serie di Fourier converge uniformemente. Il fenomeno di Gibbs. Teorema I sistemi { } { } 2 2 π sin(2n + 1)x n 0 π cos(2n + 1)x n 0 sono completi in L 2 ((0, π/2)). Passaggio da un sistema ortonormale completo in (c, d) a un sistema ortonormale completo in (a, b). Esercizio /620: il problema della lunghezza critica. 22/605 Paragrafi di riferimento sul testo: 8.2, 8.3, 8.4, 8.5,

9 13. Mercoledì 7/11/2012 Teorema Un sistema ortonormale {ϕ n } è completo se e solo se per ogni f, g vale (f, g) = (f, ϕ n )(g, ϕ n ). n=1 Teorema (s.d.) Prodotti di sistemi ortonormali completi: se {ϕ n } è completo in A e {ψ m } è completo in B, allora {ϕ n ψ m } è completo in A B. Applicazione al caso delle autofunzioni del laplaciano in rettangoli, con varie condizioni al bordo. Sistemi ortonormali completi a doppio indice. Esercizio Risolvere con il metodo di Fourier i problemi: e u t D u = 1, u(x, y, t) = 0, u(x, y, 0) = u 0 (x, y), in Q; u tt c 2 u = t, Qui Q = (0, π) (0, π). in Q (0, ); su Q (0, ); in Q (0, ); u (x, y, t) = 0, ν su Q (0, ); u(x, y, 0) = u 0 (x, y), in Q; u t (x, y, 0) = u 1 (x, y), in Q. Paragrafi di riferimento sul testo: 7.4, Giovedì 8/11/2012 Teorema sull esistenza di un sistema completo di autofunzioni nel caso di un dominio generico. Autofunzioni nel caso del cerchio; funzioni di Bessel. Esercizio /625 Uso del metodo di Fourier per problemi per l equazione di Laplace: un esempio. Paragrafi di riferimento sul testo: 9.1,

10 15. Venerdì 9/11/2012 Interno parabolico e frontiera parabolica di un dominio Ω (0, T ). Il principio di massimo debole per l equazione del calore. Il principio di massimo forte e il lemma di Hopf per l equazione del calore (s.d.). Sopra e sottosoluzioni. Esercizio /420 Paragrafi di riferimento sul testo: 4.3, 4.4, 4.5, Mercoledì 14/11/2012 Convoluzioni. Definizione di nuclei di approssimazione. Teorema Sia f : R N R limitata e continua nel punto x. Allora se ϕ λ è una famiglia di nuclei di approssimazione, vale f ϕ λ (x) f(x), λ 0. I nuclei di approssimazione come approssimazioni della delta di Dirac. Costruzione di una famiglia di nuclei di approssimazione con la formula ϕ λ (x) = 1 ( ) x λ ϕ, N λ se ϕ 0 e R ϕ = 1. N Esercizio /310, 26/420. Metodo delle sopra e sottosoluzioni. Paragrafi di riferimento sul testo: Giovedì 15/11/2012 Esercizi sul metodo di Fourier e il principio di massimo: 6, 15/480; 1/470; 21/630; 12/

11 18. Venerdì 16/11/2012 Derivazione secondo Einstein dell equazione della diffusione. Soluzione fondamentale. Cammino medio. Formula di rappresentazione della soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore. Teorema Se il dato iniziale soddisfa m u 0 M, allora la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore soddisfa m u M. Se il dato iniziale è integrabile in R N allora la soluzione soddisfa u(x, t) C, t > 0. t N 2 Proprietà della propagazione con velocità infinita. Effetto regolarizzante dell equazione del calore (e di quella di Laplace). Esercizio /520 Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2, 11.3, Mercoledì 21/11/2012 Caso stazionario della corda con carico: soluzione esplicita. Caso del carico concentrato in x = a come limite di approssimazioni della delta di Dirac con nuclei di approssimazione in Condizioni di salto in x = a: c 2 u xx = pδ(x a), 0 < x < L. [u] = 0, [u x ] = p c 2, e loro interpretazione modellistica. Soluzioni dell equazione di Laplace in coordinate polari; problemi in settori di piano. Paragrafi di riferimento sul testo:

12 20. Giovedì 22/11/2012 Caso evolutivo della corda vibrante con carico concentrato in x = a; risoluzione per serie di Fourier. Caso con carico dipendente dall incognita, del tipo u tt c 2 u xx = pu(a, t)δ(x a), 0 < x < L. Risoluzione con il metodo di Fourier, ossia sviluppo della soluzione in un opportuno sistema ortonormale di autovalori, soluzioni non identicamente nulle in C([0, L]) di ϕ = λϕ, x (0, a) (a, L) ; ϕ (a+) ϕ(a ) = p c 2 ϕ(a), ϕ(0) = ϕ(l) = 0. Teorema Se (ϕ, λ) è come sopra, allora λ > 0. Teorema Se (ϕ i, λ i ), i = 1, 2, sono come sopra con λ 1 λ 2, allora L ϕ 1 (x)ϕ 2 (x) dx = Venerdì 23/11/2012 Esercizio , 18/ , 15/ /470 (I parte). 3, 17/520. Per casa /470, 20/470 (II parte). 22. Mercoledì 28/11/2012 Il metodo di Galerkin; differenze con il metodo di Fourier. Il caso della corda vibrante con massa puntiforme fissata alla corda. Relativo problema agli autovalori, e definizione opportuna di prodotto scalare e di norma. Positività dell autovalore e ortogonalità delle autofunzioni. Diffusione stazionaria del calore con diffusività costante a tratti; condizioni di interfaccia. Esercizio /

13 23. Giovedì 29/11/2012 Il metodo di Galerkin. Cenni alle soluzioni deboli. 24. Venerdì 30/11/2012 Conservazione della massa per la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore. Teorema Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l equazione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u 0, vale che per ogni ε > 0 esiste C ε > 0 tale che u(x, t) dx (1 ε) u 0 (x) dx, { x C ε Dt+L} { x L} per ogni u 0 0, L > 0. (dimostrazione nel caso della soluzione fondamentale) Stima da sotto del max x R N u(x, t), dell ordine 1/t N/2. Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet per il laplaciano nel semispazio. Esercizio /530. 1/525. Paragrafi di riferimento sul testo: 11.2, Mercoledì 5/12/2012 Una soluzione di u = pδ(x) in R Giovedì 6/12/2012 L equazione 2 u = f(x, y). Le autofunzioni del laplaciano lo sono anche del bilaplaciano. Soluzioni per serie di Fourier. La piastra di lunghezza infinita (8.36; questa notazione si riferisce al libro A.P.S. Selvadurai, The biharmonic equations, Poisson s equations. (Partial differential equations in mechanics 2), Springer, 2000). Esercizio /630. Per casa Soluzioni a variabili separabili di 2 u = 0. 13

14 27. Venerdì 7/12/2012 Teorema Se u è armonica in Ω R 2 allora v = xu, v = yu, v = (x 2 + y 2 )u risolvono 2 v = 0. Risoluzione del problema radiale in r 2 = x 2 + y 2 < a 2 2 u = p, 0 < r < a, u(a) = 0, u r (a) = 0. Una soluzione di u = pδ(x, y) in R 2. Una soluzione di 2 u = pδ(x, y) in R 2. Risoluzione del problema radiale in r 2 = x 2 + y 2 < a 2 2 u = pδ(x, y), 0 < r < a, u(a) = 0, u r (a) = 0. Paragrafi di riferimento sul testo: Selvadurai: , Examples in Giovedì 13/12/2012 Trasformata di Fourier. Applicazione alla ricerca della soluzione fondamentale per l equazione del calore. Esercizio /430, 18/620, 1/910. Paragrafi di riferimento sul testo: 14.1, 14.2, Venerdì 14/12/2012 Il principio di Duhamel. Applicazioni alle equazioni delle onde (con dimostrazione) e del calore (senza dimostrazione). Esercizio ,2,7/350, 2/810, 2/820. Paragrafi di riferimento sul testo: 12.1, 12.2,

15 30. Mercoledì 19/12/2012 Trasformata di Laplace. Applicazioni alla risoluzione di problemi ai valori iniziali e al contorno per l equazione del calore. Applicazioni alla risoluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie. Esercizio /960. Paragrafi di riferimento sul testo: 15.1, 15.2, Giovedì 20/12/2012 Esercizio /470; 25,26/480; 4/ Venerdì 21/12/2012 Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili: iperboliche, paraboliche, ellittiche. Paragrafi di riferimento sul testo: 17.1, 17.2, FINE DEL CORSO 15