Equazione di Laplace

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1 Equazione di Laplace. Introduzione Si da il nome di operatore di Laplace o laplaciano all operatore differenziale u = u xx + u yy + u zz in tre dimensioni, o agli analoghi in dimensioni diverse. L operatore di Laplace é un operatore differenziale lineare del secondo ordine di tipo ellittico. Il nome di ellittico dato al Laplaciano o di iperbolico dato all operatore delle onde sono collegati alle forme quadratiche ottenute sostituendo agli operatori di derivazione i corrispondenti monomi: u xx + u yy + u zz x + y + z u tt c (u xx + u yy + u zz ) t c (x + y + z ) La forma quadratica corrispondente al laplaciano é definita positiva, donde il nome di operatore ellittico, quella corrispondente all equazione delle onde non é definita, donde il nome di operatore iperbolico. Le funzioni u che verificano l equazione u = si dicono funzioni armoniche. Esse hanno numerose importanti proprietá, quasi tutte collegabili alla proprietá di media: u(x ) = 4πr u(y)dσ S[x,r] che lega il valore di una funzione armonica in un punto ai valori che essa prende sulla superficie sferica S[x, r] di centro x e raggio r. Tale proprietá é alla base dei metodi numerici relativi ai problemi che coinvolgono funzioni armoniche... Coordinate polari o sferiche.

2 EQUAZIONE DI LAPLACE Sono importanti le espressioni polari del laplaciano in dimensione o 3: n = : u(x, y) = u ρ ρ + ρ u ρ + ρ u θ θ n = 3 : u(x, y, z) = (ρ sin(θ)u ρ ρ ) sin(θ) ρ + (sin(θ)u θ ) θ +.. Esempi di funzioni armoniche. In dimensione n = : u(x) = αx + β, polinomi di primo grado, In dimensione n = : u(x, y) tutte le parti reali e le parti immaginarie delle funzioni olomorfe, in dimensione n = 3 : tutte le precedenti e molte altre...! ( ) } sin(θ) u ϕ ϕ. Problemi collegati al laplaciano Assegnato un dominio si considerano, in varie occasioni, i seguenti problemi al contorno Problema interno di Dirichlet (DI) u = P u = f P Problema interno di Neumann (NI) u = P df dν = f P Problema esterno di Dirichlet (DE) u = P / u = f P lim u(p ) = P Problema esterno di Neumann (NE) u = P df dν = f P lim u(p ) = P

3 3. UNA PROPRIETÁ DI MINIMO 3 3. Una proprietá di minimo Sia limitato, sia F lo spazio delle funzioni di classe C () che coincidono con f(x) sulla frontiera : per ogni ϕ F consideriamo il funzionale quadratico, non negativo, Ψ(ϕ) = ϕ(y) dy Riesce min ϕ F Ψ(ϕ) = Ψ(u) essendo u F la soluzione del problema di Dirichlet u = P () u = f P Esempio 3.. Consideriamo la questione in dimensione n = : sia = [, ], e sia f() = a, f() = b. Lo spazio F é pertanto lo spazio delle funzioni di classe C ([, ]) che prendono agli estremi dell intervallo [, ] i valori a e b assegnati. Tra le funzioni di F c é la funzione lineare, e quindi armonica, u, u(x) = a + (b a)x Tutte le altre si possono esprimere modificando la u con un addendo v di classe C ([, ]) nullo agli estremi. Riesce [u (x) + v (x)] dx = [u (x)] dx+ u (x) v (x) dx+ [v (x)] dx = = [u (x)] dx u (x)v (x)dx + [v (x)] dx = = [u (x)] dx + [v (x)] dx [u (x)] dx = (b a) La funzione lineare u é pertanto, tra quelle che prendono agli estremi di [, ] i valori a e b quella che ha derivata prima al quadrato di integrale piú basso. Sia u la soluzione del precedente problema di Dirichlet (??): per ogni funzione v C () nulla su riesce u(y) ± v (y) F viceversa ogni funzione v F puó pensarsi come u + v per convenienti v C () nulla su.

4 4 EQUAZIONE DI LAPLACE riesce quindi Ψ(u ± v ) = Ψ(u) ± Ψ(u ± v ) Ψ(u) u v dy + Ψ(v ) u v dy = condizione quest ultima che, per il teorema della divergenza equivale a v (y) u(y) dy = É noto che tale ultima condizione é vera in corrispondenza ad ogni v C () nulla su se e solo se riesce u = Quindi tra le funzioni di F quella armonica ha il gradiente di modulo quadrato ad integrale piú basso. 4. Il principio di massimo Per le funzioni armoniche in una dimensione, u(x) = αx + β é ovvio che in qualsiasi intervallo [a, b] riesce minu(a), u(b)} u(x) maxu(a), u(b)} Cioé il massimo e il minimo della funzione in un intervallo sono il massimo e il minimo sulla frontiera. Il risultato si conserva in piú dimensioni: sia M = max u(p ) se P P o : u(p ) = M, allora tenuto conto che u(p ) coincide con la media su ogni superficie sferica di centro P se ne deduce che riesce u(p ) = u(p ) su tutta la superficie sferica scelta e, quindi, stante l arbitrarietá, riesce u(p ) = u(p ) P B(P, r) avendo indicato con B(P, r) una sfera di centro P e raggio tale da stare dentro. Allargandosi si arriva a toccare la frontiera e quindi a trovare un punto P in cui riesce u(p ) = M, e quindi Discorso analogo per il minimo. max u(p ) = max u(p ) P P

5 5. UNICITÁ DEL PROBLEMA DI DIRICHLET INTERNO 5 Proposizione 4.. Se due funzioni u e v armoniche in verificano la disuguaglianza t : u(t) v(t) allora riesce anche u(x) v(x) x Corollario 4.. Sia u armonica in e costante su : costante in. 5. Unicitá del problema di Dirichlet interno Proposizione 5.. Siano u e v le soluzioni dei due problemi allora é u = P v = P allora riesce u = f max x P u = g P u(x) v(x) max f(x) g(x) x Dimostrazione. Consideriamo la differenza w = u v La w é armonica e prende sulla frontiera i valori f(x) g(x). Dal principio di massimo segue allora x : minf(t) g(t)} u(x) v(x) maxf(t) g(t)} t t da cui l asserto. La precedente Proposizione?? garantisce naturalmente l unicitá della soluzione per il problema di Dirichlet interno. 5.. Il problema esterno. Se si omette la condizione di essere infinitesima all infinito il problema esterno non ha unicitá come si riconosce dal seguente contresempio: sia la sfera di centro l origine e raggio r = consideriamo il problema u = P / Le due funzioni u = P u (x), u (x) = r sono soluzioni del problema che, quindi non ha unicitá. Unicitá che ritorna se aggiungiamo, come fatto precedentemente, la condizione lim u(p ) =. r

6 6 EQUAZIONE DI LAPLACE 6. Unicitá del problema di Neumann interno Siano u e v due soluzioni del problema di Neumann interno u = P df dν = f P La loro differenza w = u v é armonica e ha derivata normale nulla sulla frontiera : dal teorema della divergenza riesce da cui da cui = w(y) w(y) dσ y = w(y) dy w(y) = w(y) = costante u(x) = v(x) + costante Ovvero il problema di Neumann ha unicitá a meno di costanti. 7. La soluzione fondamentale Indichiamo semplicemente con x = (x, x, x 3 ), y = (y, y, y 3 ), x y = 3 (x i y i ) La funzione (di sei variabili reali) possiede le seguenti proprietá: E(x, y) = 4π x y E(x, y) >, E(x, y) = E(y, x), E C (x y), x E(x, y) = y E(x, y) = x y E(x, y) é dotata di integrale rispetto ad y generalizzato in ogni dominio chiuso, limitato e misurabile, qualunque sia x, le derivate parziali prime E xi (x, y), i =,, 3 sono dotate di integrale rispetto ad y generalizzato in ogni dominio chiuso, limitato e misurabile, qualunque sia x. La soluzione di numerosi problemi collegati al laplaciano é rappresentata con formule integrali che si servono della funzione E(x, y) e/o delle sue derivate prime. i=

7 7. LA SOLUZIONE FONDAMENTALE 7 La funzione E(x, y) presenta, per x = y una singolaritá del tipo illimitato di ordine r Le sue derivate prime presentano una singolaritá del tipo illimitato di ordine r Tenuta presente la dimensione 3 dello spazio la funzione E(x, y) e le sue derivate prime sono dotate di integrale generalizzato anche in domini limitati che includono x. Si puó quindi far uso di integrali quali E(x, y)ϕ(y)dy, y i ϕ(y)dy,... qualunque sia la funzione (continua) ϕ(y) e ovunque sia il punto x. Per quanto riguarda integrali di E(x, y) in dimensione, cioé sulle frontiere, ancora nessuna difficoltá dovunque sia x, mentre non possono in generale essere integrate le derivate prime di E(x, y) su se x. 7.. Un fenomeno sorprendente. Se la superficie é sufficientemente regolare allora la derivata normale presenta, per x, y una singolaritá bassa, tanto da riconoscere che il suo integrale generalizzato su é limitato. Immaginiamo che sia cartesiana con y 3 = f(y, y ) f(, ) =, f y (, ) = f y (, ) = Prendiamo x =, punto appartenente a : r = y + y + f (y, y ), riesce = 4π Da cui n y = r 3 y, y, f(y, y )} + f y + f y f y, f y, } + f y + f y f y, f y, }

8 8 EQUAZIONE DI LAPLACE y f y (, ) + y f y (, ) f(y, y ) ( ) 3 M y + y ( y + y + f (y, y ) y + y Riassumendo M y + y da cui l asserto. Si ricordi che una tale singolaritá debole si trova solo per la derivata normale di E, mentre non si trova, in generale, per altre derivate oblique. ) 3 8. Formule di rappresentazione integrale Lemma 8.. Sia un dominio chiuso e limitato di R 3 teorema della divergenza x o dσ y = x / si ha, dal Dimostrazione. Cominciamo con il caso x / : il teorema della divergenza riconosce che dσ y = y E(x, y) dy da cui l asserto, tenuto conto che y E(x, y) =. Il caso x interno a non consente l uso immediato del teorema della divergenza su : consideriamo tuttavia una sferetta B(x, r) di centro x, raggio r tutta contenuta in e applichiamo il teorema della divergenza riferito a B(x, r): dσ y B(x,r) dσ y = Calcoliamo l integrale sulla frontiera della sferetta B(x, r) servendosi di coordinate sferiche di centro in x: = 4π da cui l asserto. r, B(x,r) dσ y = 4πr dσ y = B(x,r)

9 8. FORMULE DI RAPPRESENTAZIONE INTEGRALE 9 Il teorema della divergenza applicato alla E(x, y) e ad una funzione armonica u(y) conduce, se x /, a u(y) E(x, y) u(y) } dσ y = = u(y) y E(x, y) E(x, y) y u(y)} dy = essendo i due laplaciani nell integrale a secondo membro nulli entrambi. Nel caso in cui invece x o la formula non si puó applicare direttamente, ma, come fatto precedentemente si puó lavorare su B(x, r) essendo B(x, r) una sferetta di centro x e raggio r: si ha pertanto u(y) E(x, y) u(y) } dσ y = } = u(y) dσ y E(x, y) u(y) } dσ y B(x,r) B(x,r) Passando al limite per r nei due integrali a secondo membro: il primo tende a u(x) il secondo tende a zero. Si ha pertanto Lemma 8.. Sia u armonica in, per ogni x o vale la seguente formula di rappresentazione integrale: () u(x) = u(y) E(x, y) u(y) } dσ y Nel caso, terzo e piú complesso, che x costruiamo, analogamente la sferetta B(x, r) di centro x e raggio r: indichiamo con = ( B(x, r)) la porzione della superficie sferica che delimita B(x, r) interna a Σ r la parte di fuori di B(x, r) Applicando il teorema della divergenza su B(x, r) si ottiene quindi dee(x, y) u(y) E(x, y) u(y) } dσ y = Σ r } = u(y) dσ y E(x, y) u(y) } dσ y É possibile dimostrare che: lim...} dσ y = r Σ r...} dσ y

10 EQUAZIONE DI LAPLACE } lim u(y) dσ y = r u(x) lim E(x, y) u(y) } dσ y = r Il primo dei tre risultati, non banale, dipende dal tipo di singolaritá polare che la funzione di y presenta per y x se la frontiera é regolare, vedi paragrafo??, una singolaritá x y, α > α Il secondo dei tre risultati, non banale anch esso, dipende dall osservazione che la porzione di superficie sferica somiglia sempre piú, al tendere di r a una semi superficie sferica: quindi, pensando di lavorare in coordinate sferiche di centro x si ha } u(y) dσ y u(x) 4πr π r = u(x) Il terzo dei tre risultati é il piú semplice tenuto conto che la derivata normale di u sará limitata e la funzione E ha una singolaritá del tipo /r : quindi E(x, y) u(y) } dσ y M r πr = πmr 8.. Risultati di regolaritá. La formula di rappresentazione integrale (??) produce numerose ricadute importanti le funzioni armoniche in sono necessariamente C ( o ) i valori in o sono determinati dai valori di u e della sua derivata normale su. Indice