Analisi Matematica 1 Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

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1 Analisi Matematica Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6 Argomenti 5 ottobre 07 I simboli i, j, k, m, n indicano sempre numeri naturali variabili. I simboli p, q, r, s, t,..., x, y, z indicano numeri reali variabili. Premessa. Una serie è una somma infinita, come per esempio: = () Dire che questa somma esiste finita, ovvero che la serie è convergente, significa che la successione delle somme parziali ha limite finito; la successione delle somme parziali di () è la seguente: s 0 =, s = +, s = + + ( ), s n = + + Se questa successione ha limite finito, tale limite si chiama somma della serie e si ha: = + +. Esercizio. Sia 0 < q <. Allora: lim n qn = 0 + = lim s n n,... Soluzione. Da 0 < q <, moltiplicando per q si ottiene 0 < q < q da cui, moltiplicando ancora per q, si ha 0 < q 3 < q < q. Al passo n-esimo si ottiene dunque: 0 < q n+ < q n < < q < q < Allora la successione {q n : n =,,...} è positiva e decrescente (formata cioè da numeri positivi sempre più piccoli) e quindi ha limite finito non negativo: lim n qn = l 0 Poiché {q n+ : n =,,...} è la successione che comincia dal secondo termine, abbiamo ancora: l = lim n qn+ = lim n q qn = q lim n qn = ql Uguagliando il primo e l ultimo termine si ha l = ql; se fosse l 0, semplificando si otterrebbe q =, assurdo. Perciò deve essere l = 0 e la dimostrazione è conclusa.. Esercizio. Se q si ha: Soluzione. Poiché: n k=0 q k = + q + q q n + q n = n+ ( + q + q q n + q n )() = + q + q q n + q n q q q n q n+ = n+

2 il risultato si ottiene dividendo per. 3. Esercizio. Sia 0 < q <. La serie geometrica di ragione q è convergente e si ha: q n = Soluzione. q n = lim n n k=0 q k n+ = lim = 0 n = 4. Esercizio. Soluzione. 0.3 = = n + = = 3 n= ( ) n m=n ======= 3 n= m=0 3 n = ( ) m = 3 = Esercizio. Da (Materiali didattici Numeri naturali. Numeri reali. Numeri complessi.) studiare il capitolo e svolgere gli esercizi risolti e gli esercizi proposti. 6. Esercizio. Da (Esercizi settimanali, Foglio ) svolgere gli esercizi proposti. 7. Esercizio. Da (Esercizi settimanali, Foglio ) svolgere l esercizio. 8. Esercizio. Sia e f (x) = x x + f n+ = f f n, per n =,, 3,... Trovare una formula per esprimere f n (x) e dimostrarla per induzione. Disegnare il grafico di f (x) e di f n (x). Stesso lavoro con: f (x) = x 9. Esercizio. Il volume di una sfera è funzione della sua area. Trovare tale funzione.. Esercizio. Un cilindro è inscritto in una sfera di raggio a. Siano h l altezza del cilindro e r il raggio della sua base. Esprimere volume e superficie totale del cilindro sia in funzione di h sia in funzione di r.. Esercizio. Un cono circolare retto fissato ha altezza H e raggio di base R. Inscrivere nel cono un cilindro di raggio di base r ed esprimere il volume del cilindro in funzione di r.. Esercizio. L area di un cerchio è funzione della sua circonferenza? Se sì, esprimere tale funzione. L area di un triangolo è funzione del suo perimetro? L area di un ellisse è funzione della sua lunghezza? Importante. Una combinazione lineare di cos ωt e sin ωt è una funzione del tipo: Ogni moto del tipo () è detto moto armonico. c cos ωt + c sin ωt, c, c R ()

3 Osservazione. Ogni funzione del tipo () si può riscrivere nella forma: a cos(ωt + Φ), a 0, Φ R (3) (a ampiezza, Φ fase iniziale, τ = π ω periodo, ν = τ = ω π frequenza, ω frequenza angolare.) Infatti, posto a = c + c, risulta ( ) c a ( + ca ) =, quindi i due termini fra parentesi sono rispettivamente coseno e seno di un opportuno angolo Φ. Allora la () diventa: ( c a a cos ωt + c ) a sin ωt = a (cos Φ cos ωt sin Φ sin ωt) = = a cos(ωt + Φ) Il moto armonico (3) si può pensare come proiezione su un diametro del moto di un punto P (t) = (x(t), y(t)) che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio a (poniamo l origine nel centro della circonferenza; fare un disegno). Chiamiamo ω la velocità angolare del punto P (detta anche frequenza angolare); ω è costante. Detto ϑ = ϑ(t) l angolo spazzato dal raggio che congiunge il centro con il punto P (t), comunque scelti due istanti distinti t e t, si ha che: indipendentemente dalla scelta di t e t. Detto Φ = ϑ(0), si ha in particolare: e perciò: Per definizione di seno e coseno, si ha: ϑ(t ) ϑ(t ) t t = ω (costante) ϑ(t) ϑ(0) t 0 = ϑ(t) Φ t = ω ϑ(t) = ωt + Φ (4) P (t) = (x(t), y(t)) = (a cos ϑ(t), a sin ϑ(t)) Uguagliando la prima componente e tenendo conto di (4), si ottiene: x(t) = a cos ϑ(t) = a cos(ωt + Φ) che è l equazione di un moto armonico dipendente dalle costanti a, ω, Φ. 3. Esercizio. Scrivere cos t 3 sin t nella forma (3). Quali sono le costanti caratteristiche di questo moto? Disegnarne il grafico. 4. Esercizio. Dimostrare che ogni dilatazione (o contrazione) verticale della funzione f(x) = e x è equivalente a una traslazione orizzontale verso sinistra (o verso destra). 5. Esercizio. Svolgere esercizi scegliendoli da: 6. Esercizio. Svolgere esercizi su disequazioni, funzioni, induzione scegliendole dalle pagine seguenti. BIBLIOGRAFIA [M] Roberto Monti, 3

4 Analisi Matematica Canali e 3 F. Albertini, G. Colombo Esercizi primi due capitoli Determinare estremo superiore e inferiore, e dire se sono massimo e minimo rispettivamente, dei seguenti insiemi:.. 3. E = E = {x R x = ( ) n + 4, n N }. { ( ) } x R x = + ( ) n, n N. n + E = { x R x = n (cos(nπ) ), n N }. Risolvere le seguenti disequazioni:. 3 sin x ( + cos ) x < + cos x. arcsin x > π x 6 3. x + x x 4. x+ > x 3 5. x + 3 α, con α R 6. log x (x + ) > 7. x + x Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità delle seguenti funzioni reali di variabile reale: f(x) = arccos( x 3 / ) f(x) = log sin(e x ) f(x) = log (e x 4e x + 4) ( ) x + f(x) = arcsin x f(x) = x + f(x) = x x 4x + 3

5 f(x) = arccos ( x + 6) π/3 ( ) f(x) = arcsin cosh(sin x) ( f(x) = arctan 4e x 9e x + e x) f(x) = log ( 4 sinh x 5 sinh x + ) f(x) = log(sin(x)) sin(x)