Verso il calcolo dei limiti: alcuni risultati generali

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1 Verso il calcolo dei iti: alcuni risultati generali Ci proponiamo adesso di enunciare e dimostrare alcuni fatti di per sé piuttosto intuitivi, che trovano una giustificazione grazie al concetto di ite. Cominciamo osservando che:. Se f () = l, allora $ f ()% & = l. 0 Infatti, dalla f () l < ε segue l ε < f () < l +ε l ε < f () < l +ε f () ( l) < ε e quindi $ f ()% & = l.. Se 0 f () = l, allora [ f () k] = l k. 0 Sempre dalla f () l < ε risulta f () l = f () k l + k = ( f () k) (l k) < ε, di conseguenza $ f () k% & = l k. Elenchiamo quindi i teoremi sui iti, enunciandoli nel caso in cui tende a valore finito, lasciando a chi legge lo sforzo di enunciare (e dimostrare!) gli analoghi risultati nel caso in cui tende a infinito. Teorema. Se f () = m <, e g() = n <, allora ( f () ± g()) = m ± n Osservazione. Talvolta può accadere che ( f () ± g()) = m ± n, senza che esistano i iti delle funzioni prese singolarmente, come accade nel caso di (sin + cos ) =. Teorema. Se f () = m < e k R, allora k f () = k m. Teorema 3. Se f () = m <, e g() = n <, allora ( f () g()) = m n. Osservazione. Un esempio in cui il teorema 3 non si può invertire è dato da f () = ; g() =.

2 Teorema 4. Se f () = m < con m > 0 e k R, allora ( f ()) k = m k. Teorema 5. Se f () = m < con m 0, allora f () = m. Teorema 6. Se f () g() = m n. f () = m <, e g() = n < con n 0, allora Come applicazione del teorema del confronto possiamo dimostrare il seguente ite notevole: sin =. 0 Dimostrazione. Dalla circonferenza goniometrica risulta che l area del settore circolare OAP è compresa tra quella del triangolo OPH e quella del triangolo OAT: sin cos < < tan. Quando l angolo si avvicina a zero, il seno si mantiene vicino al valore zero senza mai raggiungerlo, se non quando l angolo è proprio zero. Scartando questa eventualità (che nei teoremi appena analizzati era

3 3 riassunta dall ipotesi escluso al più 0 ) è possibile dividere per la quantità sin (l angolo si considera vicino a zero per valori maggiori di zero) ed ottenere: cos < sin < cos. Le grandezze in questione sono tutte positive per la scelta dell angolo, quindi cos < sin < cos. Poiché risulta cos = =, per il teorema del confronto si ha cos sin quindi =. 0 + sin La dimostrazione si completa con la verifica che anche =. 0 LIMITI NOTEVOLI Il calcolo dei iti (non la verifica mediante la definizione!) si fonda essenzialmente sull applicazione diretta (o dopo qualche arrangiamento ) dei teoremi appena visti, e su alcuni casi particolari (che nel caso in cui tende ad infinito si possono desumere da casi analoghi definiti per successioni, operazione garantita dal cosiddetto teorema di collegamento) che, per la frequenza con cui si presentano nella pratica, possono essere considerati dei veri e propri punti di riferimento, da qui il nome di iti notevoli. Un risultato molto importante che lega il concetto di ite di funzione a quello di ite di successione è rappresentato dal seguente teorema. Teorema (di collegamento) Si ha L = f (), se e solo se per ogni successione n convergente a 0, ma con n 0 (e n appartenente all insieme di definizione di f ) abbiamo L = n f ( n ). Con questo teorema è dunque lecito sfruttare i iti di successioni per verificare che una data funzione non ha ite, come per esempio la funzione f () = sin definita per 0 : le successioni = n (n +)π e z = n nπ

4 4 sono ambedue convergenti a 0, ma f ( n n ) = sin (n +) π = f (z n n ) = sin nπ = 0. Suddividiamo l analisi dei iti notevoli per tipologia di funzioni. Limiti di funzioni goniometriche Abbiamo già dimostrato il ite notevole:. sin = 0. Da questo segue un altro ite notevole:. cos = 0. Dimostrazione. Scriviamo il ite nella forma ( cos)(+ cos) = cos 0 (+ cos) (+ cos) = sin & % ( ; quando 0 il primo $ ' + cos fattore tende a, mentre il secondo tende ad. Un interessante applicazione di questo ite notevole è rappresentata dal calcolo della misura del perimetro di un poligono regolare, inscritto in una circonferenza, quando il numero dei lati cresce indefinitamente: Indicato con P n il perimetro del poligono di n lati inscritto nella circonferenza, con a l apotema di uno degli n triangoli in cui è possibile

5 5 scomporre il poligono, risulta dal teorema di Pitagora e da quello di collegamento: P n = n l n = n r a = n r r cos π & % ( $ n ' = n r cos π n = n r cos π n + cos π n Moltiplicando e dividendo l ultimo termine per la quantità π n, è possibile ricondurre il calcolo del perimetro a quello del ite notevole : P n = n r π n cos π n + cos π π & n % ( $ n ' da cui segue P n n = n / r π cos π n + cos π n /n % π ( n = πr = πr. ' * & n ) Esercizio. Si scriva l espressione del perimetro del poligono regolare di n lati circoscritto ad una circonferenza, e si calcoli il valore a cui tende al cos π crescere del numero dei lati. P n = n. " π % $ ' n & Altri due iti notevoli che derivano dal primo sono i seguenti: 3. tan 0 = e 4. arctan = 0 (Si ponga = tanz...). In generale, per la continuità della funzione composta, se f () = 0, allora sin f () cos f () =; 0 f () 0 $ f ()% = & ; tan f () arctan f () =; = 0 f () 0 f () Le implicazioni di questi risultati sono varie, tuttavia è importante intravedere in questi iti la possibilità di approssimare, nelle vicinanze di zero, alcune funzioni con funzioni polinomiali: la funzione seno, la funzione

6 6 tangente e la funzione arcotangente si possono approssimare con la funzione f () =, mentre la funzione coseno con la funzione f () =. Esercizi Calcolare i seguenti iti di funzioni. 0 cos cos. 0 tan tan cos cos 3 sin 0 ; 4 ; ; (sviluppo della differenza di cubi al numeratore ed applicazione delle formule di bisezione al denominatore...); 3 sin sinα 5. ; (sostituzione α = t, di conseguenza t tende a α α zero...). cosα. Limiti di funzioni razionali Funzioni razionali intere L espressione analitica di una funzione razionale intera è un polinomio di grado n: f () := P n () = a n n + a n n + + a + a 0. Si tratta di una funzione continua su tutto l insieme dei numeri reali ed il suo comportamento quando tende ad infinito è governato dal monomio di grado massimo. Per convincersi di ciò è sufficiente scrivere il polinomio così: f () = n n (a n + a n + + a n + a n 0 ), n di conseguenza (a n n + a n n + + a + a 0 ) = a n n. Funzioni razionali fratte L espressione analitica di una funzione razionale fratta è data da un rapporto di polinomi:

7 7 f () := P n () Q m () = a n n + a n n + + a + a 0 b m m + b m m + + b m + b 0. Si osserva immediatamente che una funzione razionale intera è definita (continua) in tutti i punti in cui non si annulla il polinomio a denominatore; dove questo si annulla è possibile distinguere due casi: 5. P n ( 0 ) 0 Q m ( 0 ) = P n ( 0 ) = 0 Q m ( 0 ) = 0 0 P n () Q m () = ; P n () Q m () = 0 0 =?. Per il calcolo del ite per che tende ad infinto, in base al grado dei polinomi al numeratore ed al denominatore, si hanno le seguenti 3 possibilità: 7. a n n + a n n + + a + a 0 = b m m + b m m + + b m + b 0 Esercizi ; a 3 a a * arcsin $ & % ± ; ; 4 ; 3a ; + ; ' ) π ( ; a n n b m m = % ' ' a n n m ' = & b m ' ' ' ( a n b m n = m 0 n < m n > m.

8 8 Limiti di funzioni irrazionali Consideriamo inizialmente le funzioni la cui espressione analitica è un radicale con argomento una funzione razionale; quando avremo fatto un po di pratica ci occuperemo anche del caso generale. Per quanto riguarda il calcolo di iti di funzioni del tipo f () := k P n (), oppure P f () := n () k, Q m () si possono fare considerazioni del tutto analoghe al caso delle funzioni razionali. Per il calcolo di iti come ( ), + che portano ad una forma di indecisione del tipo, la razionalizzazione ed i prodotti notevoli sono gli strumenti da utilizzare per sciogliere la forma di indecisione ottenuta. Nel caso del ite sopra si ha: ( ( )( + ) + ) = = + ( + ) + ( + ) = + Esercizi. + 0 ; cos. = $ ' & % ) ( 5 ; ; 4 + Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche n ( ) = 0. Come sappiamo, + & n % ( = e. Se passiamo dalle successioni alle funzioni $ n ' (utilizzando il teorema di collegamento) risulta:

9 9 + & % ( $ ' Sempre grazie al teorema di collegamento, e alla sostituzione t =, si ha il seguente ite notevole: 8. t 0 = e. ( + t ) t = e. Sempre per la continuità della funzione composta, se e che, se f () =, allora + f () 0 ( ) f ( ) = e, f () = 0, allora + & % ( = e. $ f ()' Il ite 8 e le proprietà dei logaritmi, oltre alla solita continuità della funzione composta, permettono di dimostrare il seguente ite: f ( ) 9. log a (+ ) = log 0 a e. log Dimostrazione. Si ha a (+ ) = log 0 0 a (+ ) = log a Nel caso dei logaritmi naturali il ite 9 diventa: 0. ln(+ ) = 0. Un altro ite interessante è il seguente:. 0 a = lna. " $ (+ ) $ 0 % ' &' = log e. a Dimostrazione. Con la sostituzione a = t = log a (t +) il ite si scrive nella forma t 0 t 0 t log a (+ t) = t 0 t, da cui segue log a (+ t) log a (+ t) t = log a e = lna.

10 0 Osservazione. Quando la base dell esponenziale è e il ite di cui sopra diventa:. 0 e =. L ultimo ite che prendiamo in considerazione è il seguente: 3. 0 (+ ) k = k. Dimostrazione. Poniamo ( + ) k = t k ln(+ ) = ln(t +), di conseguenza 0 t 0. Quest osservazione ci porta a scrivere t 0 = t ln(+ t) 0 ln(+ t) = t k ln( +) k ln( +) = 0 ln(+ t) 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t ln(t +) = k. Esercizio. Calcolare il seguente ite: 0. Soluzione. Si osserva subito che, essendo una potenza ad esponente reale, l insieme di definizione è R > 0 { }, quindi ci itiamo a calcolare il ite destro. La successione n = converge a zero: per il teorema di n n collegamento, il ite richiesto vale, essendo n =, n = = % & n $ n ' ( n = = n n n =. Osservazione. In realtà, il procedimento seguito non è corretto. Infatti, il teorema di collegamento ci assicura il risultato se questo è ottenuto per ogni successione n 0, cosa impossibile da realizzare. Tuttavia, come avremo modo di dimostrare in seguito, il risultato del ite è effettivamente quello ottenuto. Alla luce di questa considerazione, possiamo affermare che il teorema di collegamento è uno strumento efficace per dimostrare che un determinato ite non esiste; infatti, è sufficiente trovare due successioni n 0, y n 0, tali che f ( n n ) f y n ( n ). Esercizi riepilogativi Calcolare i seguenti iti di funzioni: ( ). + +

11 3 (+ ) ( ) ln + α 3. Determinare, in base al parametro α, il < α < α = 0 α > 4. Determinare al variare del parametro α il valore del ite + + α + + ( ) 0 α < α = e cos sin. α > ln9 ln e log(+ 4) 8. + & % ( $ ' + e 9. 0 e +3log(+) ( ) log e

12 . 0 5sin tan sin 5. 0 (+3) a) cos5 & % ( 0 $ sin5 ' b) (+) 3 e π ( π ) cos + sin * $ 7. ',& ), + % ( + + $ ' - & ) / % ( /. e + e $ ' 8. & ) % ( + e 9. e % & + $ ' ( +log. 0 3sin tan sin e 3

13 (+) e log(+ ) ln5 ln sin( α )tan 5. Calcolare il valore del 0 α sin positivo α R. 4 3 al variare del parametro + 0 < α < α = 0 α > 6. Si costruisca la diagonale AC sul quadrato ABCD, e si consideri l arco di cerchio con centro in B, e raggio uguale al lato del quadrato. Indicati rispettivamente con H e K i punti in cui una semiretta condotta da B incontra l arco di cerchio e la diagonale, si calcoli il H A Area( AHK ) Area(BKA). Posto H ˆBC := si ha: AH = l ( cos), BÂH = KĤA = π Area( AHK ) Area(BKA) =, KÂH = π 4 AH AK sin( KÂH ) AK AB sin( BÂC ), A ˆKH = π 4 +. l sin sin π 4 & % ( $ ' = *** 0. 0

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