LA FORMULA DI TAYLOR

Transcript

1 LA FORMULA DI TAYLOR LORENZO BRASCO Indice. Definizioni e risultati. Sviluppi notevoli 3.. Esponenziale 4.. Seno 4.3. Coseno 4.4. Una funzione razionale 5.5. Logaritmo 6 3. Esercizi 6. Definizioni e risultati Teorema.. Sia n N\{0}, sia I R un intervallo e sia x 0 I. Sia f : I R una funzione, derivabile n volte in I. Allora vale la seguente identità n f k x 0. fx = x x 0 k + o x x 0 n, per x x 0. Dimostrazione. Procediamo per induzione. Osserviamo che dalla definizione di derivata in x 0, si ha fx fx 0 = f x 0, x x 0 che possiamo anche riscrivere come fx fx 0 x x 0 = f x 0 + o, per x x 0. Moltiplicando ambo i membri per x x 0 ed usando che x x 0 o = o x x 0, per x x 0, si ottiene allora fx fx 0 = f x 0 x x 0 + o x x 0, per x x 0, ovvero la formula. per n = è vera. Assumiamo adesso che la. sia vera per n. Definiamo quindi la funzione n f k x 0 F x = fx x x 0 k, e calcoliamo il ite F x x x 0 n,

2 LORENZO BRASCO osservando che si tratta di una forma indeterminata, del tipo 0/0. Teorema di de l Hôpital, si ottiene F x x x 0 n = = F x n x x 0 n n f x f k+ x 0 x x 0 k n x x 0 n. Usando il Si osservi che adesso che usando l ipotesi induttiva per la funzione f che è derivabile n volte, vale quindi si ottiene n f x f k+ x 0 x x 0 k = o x x 0 n, F x x x 0 n = 0. In altre parole, abbiamo dimostrato che n f k x 0 fx x x 0 k = F x = o x x 0 n, ovvero la validità di. all ordine n. Definizione.. L identità. si chiama formula di Taylor di f all ordine n, centrata nel punto x 0, con resto di Peano. Il polinomio n f k x 0 x x 0 k, si chiama polinomio di Taylor di f di ordine n, centrato in x 0. Lemma.3. Sia f : R R una funzione derivabile su R. Allora: se f è pari, la sua derivata f è una funzione dispari; se f è dispari, la sua derivata f è una funzione pari. Dimostrazione. Dimostriamo il primo fatto e lasciamo per esercizio allo studente la dimostrazione del secondo. Dal momento che f è pari, si ha fx = f x, per ogni x R. Derivando ambo i membri dell identià precedente, si ottiene in base alla regola di derivazione di una funzione composta In altre parole, abbiamo dimostrato che f x = f x, per ogni x R. f x = f x, per ogni x R, ovvero che f è dispari.

3 LA FORMULA DI TAYLOR 3 Osservazione.4. Si osservi che se f : R R è una funzione dispari, allora si ha necessariamente Infatti, dalla proprietà prendendo x = 0 si ottiene che implica f0 = 0. f0 = 0. f x = fx, per ogni x R, f0 = f0, Per le funzioni pari o dispari, la formula di Taylor ha la seguente notevole proprietà Proposizione.5 Formula di Taylor per funzioni pari/dispari. Sia f : R R una funzione derivabile infinite volte. Si ha: se f è pari, allora f k+ 0 = 0 per ogni k N. In particolare, la formula di Taylor per f centrata in 0 contiene solo potenze di ordine pari; se f è dispari, allora f k+ 0 = 0 per ogni k N; In particolare, la formula di Taylor per f centrata in 0 contiene solo potenze di ordine dispari. Dimostrazione. Dimostriamo il risultato nel caso di una funzione pari, lasciando il caso di una funzione dispari come esercizio. In tal caso, è sufficiente osservare che f è una funzione dispari, grazie al Lemma.3. Iterando questa proprietà, otteniamo che tutte le derivate di f di ordine dispari sono funzioni dispari. Dall Osservazione.4, otteniamo quindi che tutte queste derivate si annullano in 0, come volevamo. Osservazione.6. Si osservi in particolare che per una funzione dispari vale fx = f 0 x + f 0 3! x 3 + f 5 5! x 5 + f n+ 0 n +! + ox n+, dal momento che per una funzione dispari il polinomio di Taylor di ordine n + è uguale a quello di ordine n +, grazie al risultato precedente. Analogamente, per una funzione pari vale fx = f0 + f 0! x 4 + f 4 4! x 4 + f n 0 n!. Sviluppi notevoli + ox n+. Diamo adesso l espressione della formula. nel caso di alcune funzioni elementari, che ricorreranno spesso.

4 4 LORENZO BRASCO.. Esponenziale. La formula di Taylor per l esponenziale all ordine n, centrata in x 0 = 0 è data da n. e x x k = + oxn, per x 0. Infatti, è sufficiente osservare che se poniamo fx = e x, si ha f k x = e x, per ogni k N, da cui f k 0 =. Inserendo questa informazione in. e prendendo x 0 = 0, si ottiene la formula.... Seno. Osserviamo innanzitutto che il seno è una funzione dispari, quindi dalla Proposizione.5 sappiamo che il suo sviluppo di Taylor contiene solo termini con potenze dispari. Osserviamo inoltre che d dx sin x = cos x e d 3 sin x = cos x, dx3 e più in generale d k+ dx k+ sin x = k cos x, per ogni k N. Quindi, la formula di Taylor per il seno all ordine n +, centrata in x 0 = 0 è data da n k sin x = x k+ + ox n+. = x x3 3! + x5 5! + + n x n+ + ox n+. n! Si noti che usando anche l Osservazione.6, otteniamo che in realtà vale più precisamente n k sin x = x k+ + ox n+.3 = x x3 3! + x5 5! + + n x n+ + ox n+. n!.3. Coseno. Stavolte il coseno è una funzione pari, quindi dalla Proposizione.5 sappiamo che il suo sviluppo di Taylor contiene solo termini con potenze pari. Inoltre non è difficile vedere che d k dx k cos x = k cos x, per ogni k N. Quindi abbiamo n k cos x = x k + ox n.4 = x + x4 4! + + n x n + ox n. n!

5 LA FORMULA DI TAYLOR 5 Si noti che usando anche l Osservazione.6, abbiamo il seguente sviluppo più preciso n k cos x = x k + ox n+.5 = x + x4 4! + + n x n + ox n+. n!.4. Una funzione razionale. Abbiamo il seguente sviluppo.6 Basta osservare che se poniamo n x = x k + ox n. si ha lo studente lo provi per induzione fx = x = x, f k x = x k, per ogni k N. Si ottiene quindi f k 0 =, per ogni k N. Usando questa identità in., si ottiene.6. Dallo sviluppo precedente, otteniamo anche.7 Basta osservare che n + x = k x k + ox n. + x = x, ed usare la formula.6 con x al posto di x. Osservazione. Una curiosità. Si osservi che per ogni x < vale x k = x, ovvero si può calcolare la somma di una serie geometrica di ragione x. parte, da.6 sappiamo che x k = n x = x k + ox n. Cancellando i termini comuni alle due sommatorie, troviamo quindi che x k = ox n, per x 0, ovvero che k=n+ x n+ + x n x 0 x n = 0. D altra

6 6 LORENZO BRASCO.5. Logaritmo. Vale il seguente sviluppo di Taylor n.8 log x = k xk + ox n. Infatti, osserviamo che si ha k= d log x = dx x, quindi otteniamo per ogni k d k dk log x = dxk dx k x = k! x k. In particolare, si ottiene d k dx k log x x=0 = k. Dalla formula., si ottiene dunque la.8. Usando la formula.8 con x al posto di x, si ottiene anche n k+.9 log + x = x k + ox k. k k= 3. Esercizi Esercizio 3.. Dare la formula di Taylor all ordine 5 centrata in x 0 = 0 per la funzione fx = cos x. Soluzione. Osserviamo innanzitutto che cos x = cos x, e che la quantità cos x è un infinitesimo per x che tende a 0. Usiamo quindi la formula.6 con cos x al posto di x, ottenendo così cos x = + cos x + cos x + cos x 3 + o cos x 3. Sostituiamo adesso al posto di cos x il suo sviluppo di Taylor in 0, che possiamo facilmente ricavare da.4: dal momento che dobbiamo arrivare all ordine 5 e vale cos x = x + x4 4 + ox5, possiamo quindi itarci a sostituire Otteniamo quindi cos x = + x + x cos x = x 4 + ox ox5 4 + ox5 x ox5 3 + o x 4 + ox5 3.

7 LA FORMULA DI TAYLOR 7 Svolgiamo adesso tutti i i conti, ricordandoci ogni volta che ci interessa solo arrivare fino all ordine 5: ometteremo quindi di scrivere tutto ciò che è o-piccolo di x 5. Si ha quindi e x 4 + ox5 x = + ox 5, x ox5 = ox 5. Da questo otteniamo allora concludendo così l esercizio. cos x = + x 4 + x4 4 + ox5 = + x x4 + ox 5, Esercizio 3. Tangente. Dare la formula di Taylor all ordine 5 centrata in x 0 = 0 per la funzione fx = tan x. Soluzione. È sufficiente osservare che tan x = sin x cos x = sin x cos x ed usare poi lo sviluppo all ordine 5 per le due funzioni separatemente. Si ha allora tan x = x x3 6 + x5 0 + ox5 + x x4 + ox 5 = x + x x5 + x3 6 x5 + x5 0 + ox5 = x + x x5 + ox 5. Questo conclude l esercizio. Esercizio 3.3 Arco tangente. Dare la formula di Taylor all ordine 5 centrata in x 0 = 0 per la funzione fx = arctan x. Dimostrazione. Osserviamo che l arco tangente è una funzione dispari, quindi sappiamo già che il suo sviluppo deve essere della forma arctan x = a x + b x 3 + c x 5 + ox 5, i.e. contiene solo i termini di ordine dispari. Osserviamo inoltre che d dx arctan x = + x. Dalla formula.7 con x al posto di x, si ottiene + x = x + x 4 + ox 4. Si ottiene quindi, sfruttando la relazione tra arco tangente e / + x a + 3 b x + 5 c x 4 + ox 4 = x + x 4 + ox 4.

8 8 LORENZO BRASCO Identificando i coefficienti dello stesso ordine, si trova ovvero a = b = 3 c = 5, 3. arctan x = x x3 3 + x5 5 + ox5, concludendo così l esercizio Esercizio 3.4. Dare la formula di Taylor all ordine 5 centrata in x 0 = 0 per la funzione fx = + x 3. Soluzione. Osserviamo che la funzione può essere scritta come Abbiamo quindi fx = + x 3. f x = 3 + x, f x = 3 + x, f x = 3 + x 3 f 4 x = x 5 f 5 x = x 7 Otteniamo quindi 3. + x3 = + 3 x x 6 x x x5 + ox 5. Questo conclude l esercizio. Esercizio 3.5. Dare la formula di Taylor all ordine 4 centrata in x 0 = 0 per la funzione fx = arctanx x. Soluzione. Dalla formula 3. con x x al posto di x, si ottiene arctanx x = x x x x 3 + o x x 4. 3 Si osservi che x x 3 = x6 3 x x 4 x 3 = x x4 + ox 4, e o x x 4 = ox 4. Otteniamo quindi come volevamo. arctanx x = x + x + x3 3 + x4 + ox 4, Esercizio 3.6. Calcolare il ite seguente x 0 arctanx x + e x + x 3 log + x 3.

9 LA FORMULA DI TAYLOR 9 Soluzione. Il ite si presenta come una forma indeterminata del tipo 0/0. Osserviamo innanzitutto che log + x 3 = x 3 + ox 3, grazie alla formula.9 con x 3 al posto di x. Quindi il denominatore è un infinitesimo di ordine 3. Procediamo a fare uno sviluppo della funzione al numeratore, arrivando anche qua all ordine 3: si ricordi che si veda l esercizio precedente per lo sviluppo della prima funzione arctanx x = x + x + x3 3 + ox3, e x = + x + x + x3 6 + ox3, e prendendo lo sviluppo 3. con x al posto di x + x 3 = + 3 x x4 + ox 4 = + 3 x + ox 3. Si ottiene quindi arctanx x + e x + x 3 x 0 log + x 3 x 3 x + x + = x + x + x3 6 3 x + ox 3 x 0 x 3 + ox 3 = x 0 Questo conclude l esercizio. x3 + ox 3 ox 3 =.