TRASFORMATA DI FOURIER
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- Letizia Nicoletti
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1 TRASFORMATA DI FOURIER Radiazione monocromatica f(t -6,28 t Fourier Transform F(
2 Radiazione policromatica periodica f(t t Fourier Transform F( 2
3 Funzioni periodiche (periodo T Serie di Fourier f ( t = a [ a cos(2 nt + b sin(2πnt ] + n n n= 1 π (seno e coseno a b n n 2 = T 2 = T T T f ( t cos(2πnt dt f ( tsin(2πnt dt Forma complessa: f ( t = cn exp( i2π nt (reale e immaginaria c n π 1 = 2π π f ( t exp( i2πnt Funzioni non periodiche f ( t = F( exp( i2πt d trasformata di Fourier F ( = f ( t exp( i2πt dt anti-trasformata di Fourier spettro
4 Interferometro di Michelson Differenza di cammino ottico: δ Interferenza modulazione del segnale in funzione di δ, cioè della posizione dello specchio mobile Sorgente: policromatica Cosa accade per ogni λ??? 1 2π 1 I '( δ = I 1 cos δ = 2 + λ I 2 + Interferenza costruttiva (I = I per δ = nλ [ 1 cos( 2πδ ] Interferenza distruttiva (I = per δ = n 2 λ
5 I'( δ I λ δ 1 I ( δ = I cos( 2πδ INTERFEROGRAMMA 2 (componente modulata I (δ -6,28 δ
6 Numero discreto di componenti I( δ = B( i cos i ( 2π δ i B( i peso della componente a frequenza i I (δ δ (caso di 2 componenti B( 1 2 (pesi delle 2 componenti, cioè FT dell interferogramma
7 Sorgente continua B ( I ( δ = B( cos d ( 2πδ (spettro della sorgente Interferogramma = FT coseno dello spettro
8 Se l interferogramma è la FT coseno dello spettro, allora lo spettro è la FT coseno dell interferogramma: B( = I( δ cos dδ ( 2πδ Così lo spettro verrà ottenuto!
9 Campionamento del segnale Doppio interferometro! Occorre campionare almeno 2 volte all interno di un periodo (teorema di Nyquist Laser di campionamento He-Ne: λ = nm Frequenza di campionamento: 3165 cm 1 Frequenza di Nyquist = ½ frequenza di campionamento = 1583 cm 1 (max frequenza misurabile correttamente Le frequenze superiori a quella di Nyquist entrano nello spettro sottoforma di componenti a frequenza minore (fenomeno dell aliasing o folding.
10 Troncamento Lo spettro in realtà viene ottenuto così: B' ( = I( δ cos dδ ( 2πδ dδ = I( δ D( δ cos( 2πδ dove D(δ è la funzione di troncamento rettangolare (boxcar: D (δ 1 = massimo spostamento dello specchio rispetto alla posizione di equilibrio La FT di un prodotto è la convoluzione delle due FT: = dδ Se B( I( δ cos( 2πδ allora f ( = D( δ cos dδ ( 2πδ B '( = B( ' f ( ' d ' convoluzione
11 FT della funzione di troncamento rettangolare: f ( ( π sin 2 f ( = 2 2sinc 2π = ( 2π Nel caso di una radiazione monocromatica, fare la convoluzione con la FT della funzione boxcar significa ottenere la funzione sinc centrata attorno alla frequenza della radiazione stessa (anziché attorno allo Questo significa che anziché uno spettro costituito da una riga, calcoleremo uno spettro avente la forma della funzione sinc, cioè disperso e avente dei picchi spuri laterali. NB: Troncare un segnale periodico significa eliminarne la periodicità. Per questo infinite frequenze risultano costituire in segnale.
12 Apodizzazione Per diminuire la presenza dei picchi laterali (piedi A (δ 1 (funzione di troncamento triangolare FT f' ( f '( = A( δ cos 2 ( 2πδ dδ = sinc ( π
13 Nel caso di una radiazione monocromatica, fare la convoluzione con la FT della funzione di troncamento triangolare significa ottenere la funzione sinc 2 centrata attorno alla frequenza della radiazione stessa (anziché attorno allo Questo significa che anziché uno spettro costituito da una riga, calcoleremo uno spettro avente la forma della funzione sinc 2. Rispetto al troncamento rettangolare, i picchi spuri laterali sono molto diminuiti (da qui il termine di apodizzazione, però la banda risulta maggiormente dispersa. Risoluzione 1/
14 Vantaggi degli strumenti FT rispetto a quelli dispersivi Rapporto segnale/rumore (SNR Strumento FT SNR t 1/2 Strumento dispersivo SNR (t/n 1/2 dove n è il numero di elementi spettrali compresi nell'intervallo di frequenze considerato. Il guadagno, operando con uno strumento a trasformata di Fourier, è di 1 o anche 2 ordini di grandezza. Intensità della radiazione La presenza, negli strumenti a dispersione, di numerosi dispositivi ottici (come, ad esempio, fenditure riduce l'intensità della radiazione. Questo non accade negli strumenti a trasformata di Fourier, dove tali dispositivi sono assenti. Accuratezza nella misura delle lunghezze d'onda - circa ±.1 cm 1 per spettrofotometro a FT; - circa ± 2 cm 1 per spettrofotometro dispersivo. La maggiore accuratezza ottenibile per uno strumento FT è dovuta alla precisione con cui si può misurare il ritardo δ, grazie all'utilizzo dell'interferometro secondario. Costanza della risoluzione spettrale Mentre in uno strumento a dispersione la risoluzione dipende dalla frequenza, in uno strumento FT essa dipende solo dalla massima escursione dello specchio mobile ed è quindi costante in tutto il campo spettrale.
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