1) Lo spettro di potenza di X(t) fornito può essere espresso graficamente come di seguito

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2 1) Lo spettro di potenza di X(t) fornito può essere espresso graficamente come di seguito L autocorrelazione di X(t), che essendo SSL dipenderà da τ, può invece essere valutata attraverso il calcolo dell antitrasformata di Fourier dello spettro di potenza, ossia ponendo R X (τ) F 1 {P X (f)} F 1 {Λ ( f ) + Λ (f + )} e jπτ sinc τ + e jπτ sinc τ sinc τ cos πτ L autocorrelazione si annullerà quindi ad ogni istante τ multiplo del periodo del coseno (che è pari ad ½) potendo essere espressa graficamente come di seguito Per ciò che concerne la stazionarietà di Y(t) cominciamo innanzitutto a valutarne la media E{Y(t)} E{X(t ) + X(t) sin 8πf 0 t} E{X(t )} 0 + E{X(t)} 0 sin 8πf 0 t 0 dove il fatto che la media di X(t) sia nulla si desume semplicemente dall osservazione dello spettro di potenza, ovvero dalla mancanza nello stesso di una delta in zero.

3 Ricordando che sin 8πf 0 t 1 1 cos 16πf 0t possiamo inoltre calcolare l autocorrelazione di Y(t) ponendo R Y (t; τ) E{Y(t)Y(t τ)} E {[X(t ) + X(t) X(t) cos 16πf 0t] X(t τ) [X(t τ) + X(t )X(t τ) E{X(t )X(t τ)} + E { } X(t )X(t τ) E { } cos 16πf 0 (t τ) + E { X(t)X(t τ) E { } cos 16πf 0 (t τ) E { X(t)X(t τ) X(t)X(t τ) E { } cos 16πf 0 t + E { X(t τ) cos 16πf 0 (t τ)]} X(t)X(t τ) X(t)X(t τ) } + E { } X(t)X(t τ) } cos 16πf 0 t } cos 16πf 0 t cos 16πf 0 (t τ) R X (τ) + 1 R X(τ ) 1 R X(τ ) cos 16πf 0 (t τ) + 1 R X(τ + ) + 1 R X(τ) 1 R X(τ) cos 16πf 0 (t τ) 1 R X(τ + ) cos 16πf 0 t 1 R X(τ) cos 16πf 0 t + 1 R X(τ) cos 16πf 0 t cos 16πf 0 (t τ) 5 R X(τ) + 1 R X(τ ) 1 R X(τ ) cos 16πf 0 (t τ) + 1 R X(τ + ) 1 R X(τ) cos 16πf 0 (t τ) 1 R X(τ + ) cos 16πf 0 t 1 R X(τ) cos 16πf 0 t R X(τ) cos 16πf 0 (t τ) R X(τ) cos 16πf 0 τ formula di Werner Poiché l autocorrelazione di Y(t) dipende da t il processo stesso non risulta essere SSL. 1 Tuttavia, è possibile osservare che tale tipo di dipendenza è periodica di periodo, e 8f 0 pertanto Y(t) risulta essere ciclostazionario. Il calcolo dell autocorrelazione mediata su un periodo fornisce infatti R Y(τ) 8f f f 0 R Y (t; τ) dt 5 R X(τ) + 1 R X(τ ) + 1 R X(τ + ) R X(τ) cos 16πf 0 τ

4 A questo punto è possibile valutare lo spettro di potenza (medio) di Y(t), ottenendo P Y(f) F{R Y(τ)} 5 P X(f) + 1 e jπf P X (f) + 1 ejπf P X (f) P X(f 8f 0 ) P X(f 8f 0 ) ( 5 + cos πf) P X(f) P X(f 8f 0 ) P X(f 8f 0 ) che è rappresentato graficamente di seguito ) Le regole della convoluzione permettono di scrivere y(t) (h 1 x)(t) + (h x)(t) + n(t) ((h 1 + h ) x)(t) + n(t) (h x)(t) + n(t) pertanto, avendo posto h(t) h 1 (t) + h (t), otteniamo che dove R y (τ) (r h R x )(τ) ed P y (f) H(f) P x (f) r h (τ) [h 1 (t) + h (t)][h 1 (t τ) + h (t τ)] dt + h 1 (t)h (t τ) dt r h1 (τ) + r h1 h (τ) + r h h 1 (τ) + r h (τ) + h (t)h 1 (t τ) dt h 1 (t)h 1 (t τ) dt + h (t)h (t τ) dt mentre in frequenza H(f) H(f)H (f) [H 1 (f) + H (f)][h 1 (f) + H (f)] H 1 (f) + H 1 (f)h (f) + H (f)h 1 (f) + H (f)

5 ) Rappresentando l intero sistema nella forma seguente si ottiene che z(t) (h c s)(t) d(t) + n(t) e pertanto P z (f) H c (f) P s (f) P d (f) Graficamente, supponendo α > 1, si osserva quanto mostrato di seguito + P n (f) 5

6 Il calcolo della potenza per il segnale d(t) può quindi essere effettuato ponendo B P d P d (f) df 0 α B B ( 1 B f + f) df 0 mentre la potenza del rumore è banalmente pari ad P n (t) η 0 α B [ 1 f B + f B ] α B 0 B η 0B Il rapporto segnale-rumore all uscita del sistema sarà quindi ( S N ) P d P n αb η 0B α 9η 0 B 6 αb L applicazione di filtri di enfasi e de-enfasi, rispettivamente sul lato trasmittente e ricevente, è realizzata ponendo il sistema nella forma presentata di seguito La soluzione per la risposta del filtro di enfasi, relativamente alla banda d interesse, è quindi H E (f) a H C (f) 1 P n 1 P s ab α 1 B f + f ab α { 1 B f f a 1 B f + 1 α B f a 1 { B f + 1 α f ] B; 0[ B f f ] B; 0[ 6

7 la cui rappresentazione, essendo il numeratore costante, è la seguente La soluzione per la risposta del filtro di de-enfasi è invece valutabile attraverso H D (f) a H C (f) a α η 0 B 1 P s 1 P n a 1 B f + 1 { a 1 B f + 1 α B f α B f f ] B; 0[ 1 B + 1 f a α η 0 B 1 { B 1 f f ] B; 0[ la cui rappresentazione, essendo il numeratore costante, è la seguente 7