Corso di Tecniche di Trasmissione Esercizi sulla teoria dei processi stocastici

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1 Corso di Tecniche di Trasmissione Esercizi sulla teoria dei processi stocastici 21 aprile 24 Esercizio 1 Si consideri la variabile aleatoria: s = a x(t)dt, (1) in cui x(t) un processo stocastico stazionario con media η x = E{x} e funzione di autocorrelazione R x (τ). Quesiti: 1. Si dimostri che: E{s 2 } = a a (a τ )R x(τ)dτ. 2. Si calcolino la media e la varianza della v.a. s assumendo che a = 1, η x = 8 e R x (τ) = e 2 τ. Soluzione quesito 1 Metodo diretto: Dalla definizione e sfruttando la linearità dell operatore di media si ha: E{s 2 } = a a Siccome il processo x(t) è stazionario la (2) può essere riscritta come: E{s 2 } = a a E{x(t)x(v)}dtdv. (2) R x (t v)dtdv. (3) Operando il seguente cambiamento di variabili τ = t v e s = t 1 l integrale doppio in (3) può essere riscritto come: E{s 2 } = a a τ R x (τ)dτds + a a τ R x (τ)dτds. (4) Risolvendo gli integrali interni rispetto alla variabile s la relazione (4) può essere scritta in modo più compatto come: E{s 2 } = a a (a τ )R x (τ)dτ, (5) 1 in questo caso la variabile τ assume valori in [ a, a) mentre i valori che può assumere s sono legati a τ - il determinante Jacobiano della trasformazione lineare di variabili vale 1 1

2 che è la relazione che si doveva ottenere. Metodo di soluzione basato sulla teoria dei filtri: Si consideri il processo: y(t) = ( t ν rect a ) x(ν)dν, (6) in cui la funzione rect(x) è la funzione rettangolo e x(t) è il processo di cui prima. Si osservi che y(t) viene ottenuto facendo transitare x(t) all interno di un filtro lineare tempo invariante con risposta impulsiva: ( t h(t) = rect. (7) a) Dalla (6) si osserva che y(t) calcolato per t = a/2 è proprio la variabile aleatoria definita nella (1). Di conseguenza, E{s 2 } = E{y(a/2) 2 } = R y () in cui R y (τ) è la funzione di autocorrelazione del processo di uscita y(t) che è stazionario almeno in senso lato. Per il calcolo della funzione di autocorrelazione del processo y(t) si può partire dalla teoria spettrale ottenendo: S y (f) = H(f) 2 S x (f), (8) in cui S x (f) è lo spettro del processo di ingresso x(t) e H(f) è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva del filtro e vale: H(f) = sin(πfa). (9) πfa La funzione di autocorrelazione del processo y(t) si ottiene calcolando l antitrasformata di Fourier della (8) che vale: R y (τ) = (a τ ) R x (τ) = Ponendo τ = nella (1) si ottiene la relazione cercata. Soluzione quesito 2 Il calcolo della media della variabile aleatoria s è immediato e si ha: E{s} = 1 Per il calcolo della varianza si osserva che: (a τ ν )R x (ν)dν ν ( a, a). (1) E{x(t)}dt = 1 η x = 8. (11) σ 2 s = E{s 2 } E{s} 2. (12) Il calcolo dell integrale relativo a E{s 2 }, dato dalla (5), si può semplificare sfruttando la simmetria pari della funzione integranda ossia: E{s 2 } = a a 1 (a τ )R x (τ)dτ = 2 (1 τ) ( e ) 2τ dτ. (13) Utilizzando procedimenti noti per il calcolo dell integrale in (13) e trascurando i termini con i fattori e 2 si ottiene un valore approssimato della varianza σ 2 s pari a 1. 2

3 Esercizio 2 Si consider il processo y(t) = x(t + a) x(t a) in cui x(t) è un processo stazionario almeno in senso lato. Si calcolino la funzione di autocorrelazione del processo y(t) e il relativo spettro di potenza. Soluzione Metodo diretto Applicando la definizione di funzione di autocorrelazione al processo y(t) e sostituendo la sua definizione in termini di x(t) si ottiene: R y (t) = E{y(t)y(t + τ)} = E{(x(t + a) x(t a))(x(t + τ + a) x(t + τ a))}. (14) Sviluppando il prodotto interno, applicando la proprietà di linearità dell operatore di media nella (14) e ricordando che x(t) è un processo stazionario si ha: R y (t) = 2R x (τ) R x (τ 2a) R x (τ + 2a). (15) Per il calcolo dello spettro S y (f) si calcola la trasformata di Fourier della (15) ottenendo: S y (f) = S x (f)(2 e j2πf2a e j2πf2a ) = S x (f) sin 2 (2πfa). (16) Metodo basato sulla teoria delle trasformazioni lineari di processi Dalla definizione si osserva che il processo y(t) può essere scritto come trasformazione lineare del processo x(t) ossia: y(t) = x(t) (δ(t a) δ(t + a)), (17) in cui la risposta impulsiva del sistema lineare ha la ovvia espressione h(t) = δ(t a) + δ(t + a). Applicando le ben note formule della teoria spettrale dei processi stocastici e rammentando che H(f) = e j2πfa e j2πfa si ottiene: S y (f) = H(f) 2 S x (f) = (2 e j2πf2a e j2πf2a )S x (f), (18) che opportunamente semplificata dà la relazione precedente. La funzione di autocorrelazione del processo di uscita y(t) si ottiene dall antitrasformata di Fourier della funzione in (18) e si ottiene la (15). 3

4 Esercizio 3 Si consideri la variabile aleatoria: N s = a n x(n), (19) n= in cui x(n) è un processo aleatorio discreto con funzione di autocorrelazione: R x (m 1, m 2 ) = q(m 1 )δ(m 2 m 1 ). (2) (processo bianco). Si dimostri che: N E{s 2 } = a 2 nq(n). (21) Soluzione n= Dalla definizione e sfruttando la linearità dell operatore di media si ha: N N N N E{s 2 } = E{ a n a m x(n)x(m)} = a n a m E{x(n)x(m)}. (22) n= m= n= m= Applicando la (2) si ottiene: N N E{s 2 } = a n a m q(n)δ(m n). (23) n= m= Ricordando le proprietà della funzione δ(n) si ottiene la (21). 4

5 Esercizio 4 Si consideri il processo stocastico: s(t) = k= b k p(t kt ). (24) in cui p(t) è una forma d onda di energia limitata in banda. Si calcoli lo spettro del processo s(t) quando la sequenza numerica b k viene ottenuta per trasformazione lineare di una sequenza binaria antipodale a k che assume valori in { 1, 1} in modo equiprobabile e statisticamente indipendente: Soluzione a k = b k + b k 1. (25) Applicando la formula generale dello spettro di potenza del processo si ha: S () s (f) = 1 T P (f) 2 S b (f), (26) in cui S c (f) è la densità spettrale di potenza del processo tempo discreto definita come: S b (f) = m= R b (m)e j2πfmt, (27) in cui R b (k) è la sequenza di autocorrelazione della sequenza modulante. Siccome la sequenza b k viene ottenuta mediante filtrazione lineare della sequenza a k (vedi (25), la sequenza di autocorrelazione di b k deve essere ottenuta a partire da quella del processo a k. In base alla (25) si osserva subito che: E{b k } = E{a k } + E{a k 1 } =. (28) La varianza della sequenza a k, che coincide con la potenza, vale σ 2 a = 1. La sequenza b k può assumere i seguenti valori b k =, 2, 2 con probabilità 1/2, 1/4, 1/4 rispettivamente 2. La funzione di autocorrelazione della sequenza di uscita b k può essere ottenuta a partire dalla trasformata Z della sequenza di autocorrelazione di a k utilizzando la relazione: S b (z) = H(z 1 )H(z)S a (z), (29) in cui S a (z) = σ 2 a e H(z 1 ) = 1 + z 1. Comunque in questo caso molto semplice, per il calcolo della funzione di correlazione della sequenza b k R b (n) si può partire dalla definizione ed effettuando un calcolo diretto al variare dell indice di scostamento temporale n ossia: n = E{b k b k } = E{(a k + a k 1 )(a k + a k 1 )} = 2σ 2 a. (3) n = 1 E{b k b ( k + 1)} = E{(a k + a k 1 )(a ( k + 1) + a k+1 1 )} = σ 2 a. (31) 2 b k = se a k = 1 e a k 1 = 1 o viceversa. Questi due eventi mutuamente esclusivi hanno probabilità 1/4. Invece b k = 2 se a k = 1 e a k 1 = 2 e ciò si verifica con probabilità 1/4 = 1/2 1/2 etc. 5

6 n 2 E{b k b ( k + 2)} = E{(a k + a k 1 )(a ( k + 2) + a k+2 1 )} =. (32) Procedendo allo stesso modo si ricava facilmente che per n = 1 si ha R b ( 1) = σ 2 a e ovviamente (per simmetria) R b (n) = per n 2. In modo compatto la funzione di autocorrelazione della sequenza b k può essere scritta come: R b (n) = 2σ 2 aδ(n) + σ 2 aδ(n 1) + σ 2 aδ(n + 1), σ 2 a = 1. (33) Premesso ciò, sostituendo la (33) nella (27) si ottiene: S b (f) = σ 2 a ( 2 + e j2πft + e j2πft ) = 4σ 2 a cos 2 (πft ). (34) Sostituendo la (34) nella (26) si ottiene lo spettro del segnale numerico che viene trasmesso: S s () (f) = 4σ2 a T P (f) 2 cos 2 (πft ), (35) il quale è ottenuto dal prodotto dello spettro della forma d onda di energia P (f) per una funzione che si osservi dipende dalle caratteristiche statistiche della sequenza dei simboli modulanti b k la quale viene ottenuta mediante una operazione di filtraggio, controllabile dal progettista, di una sequenza bianca. 6

7 Esercizio 5 Si consideri la cascata dei due sistemi lineari tempo invarianti indicati in figura. Il primo siste- Figura 1: Cascata dei due dispositivi ma è un attenuatore descritto dalla funzione di attenuazione G 1 (f) = 1/A(f) = 1/A. Il secondo è un amplificatore descritto dalla funzione di guadagno G 2 (f) = G e avente temperatura di rumore T G = 5K. 1. Si calcoli la temperatura di rumore T Q della cascata dei due quadripoli assumendo A = 1dB e G = 2dB. 2. Si calcoli la cifra di rumore F Q della cascata. 3. Si inverta l ordine dei due quadripoli e si ricalcolino la temperatura e la cifra di rumore della nuova cascata. 4. Si calcoli infine la potenza del processo di rumore all uscita della cascata nella ipotesi in cui la banda di esercizio sia B = 1MHz. Soluzione Quesito 1: la temperatura di rumore della cascata di quadripoli in Figura vale: T Q = T A + T G A, (36) in cui T A è la temperatura di rumore dell attenuatore che vale T A = T (A 1) e T = 29K. Sostituendo i valori numerici si ottiene T Q = = 761K. Quesito 2: la cifra di rumore della cascata dei due quadripoli in Figura vale: F Q = F A + (F G 1)A. (37) La cifra di rumore del quadripolo attenuatore vale F A = A = 1 mentre quella dell amplificatore vale: F G = 1 + T G T. (38) Sostituendo i valori numerici in (38) si ottiene F G = Utilizzando questo valore nella (36) si ha F Q = che corrisponde a F Q = 14.34dB. Quesito 3: invertendo l ordine dei quadripoli nella cascata si ottengono le seguenti espressioni per T Q e F Q : T Q = T G + T A G, (39) 7

8 e F Q = F A + F A 1 G. (4) Sostituendo si ottiene: T Q = 526K che è molto minore di 761K che è il valore di temperatura di rumore calcolata al passo precedente. Per la cifra di rumore si ha: F Q = 2.81 che corrisponde circa a 4.34dB che è minore dei db ottenuti in precedenza. Quesito 4: nel caso in Figura, la potenza di rumore della cascata dei due quadripoli può essere calcolata con una delle due seguenti formule: in cui K = J/K o, in alternativa, N out = KB G A T Q, (41) N out = KB G A T (F Q 1) = KB G A T F Q. (42) Sostituendo i valori si ottiene: N out = 19 dbw. Considerando la cascata ottenuta invertendo l ordine dei due quadripoli, si applicano le stesse formule ottenendo N out = 121 dbw che è molto minore del valore ottenuto nel caso precedente. 8

9 Esercizio 6 Si consideri il quadripolo non lineare descritto dalla relazione ingresso uscita: y(t) = g(x) = { 1 e x(t) x(t) 1 + e x(t) x(t) <. (43) 1. Si disegni la caratteristica ingresso-uscita. 2. Si calcoli il guadagno per piccoli segnali. 3. Si fornisca una espressione per l effetto inatteso all uscita del sistema non lineare. Quesito 1: il grafico della caratteristica ingresso-uscita del dispositivo non lineare è indicato in Figura. Quesito 2: il guadagno per piccoli segnali vale: Figura 2: Caratteristica ingresso-uscita del dispositivo non lineare senza memoria g 1 = dg(x) dx x= = 1 x. (44) Quesito 3: considerando g 1 x(t) la componente di segnale desiderato, per definizione l effetto inatteso all uscita del sistema non lineare ha l espressione: ε(t) = g 1 x(t) g(x) = g n x(t) n, (45) n=2 in cui i g n sono legati ai coefficienti dello sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione che descrive la caratteristica ingresso-uscita del dispositivo non lineare considerato. Ricordando l espressione dello sviluppo in serie della funzione esponenziale e x = n= x n n!, (46) sostituendo, si ottiene g n = ( 1) n 1/n! per x e g n = ( 1) (n 1) 1/n! per x <. 9

10 Esercizio 7 Si consideri il quadripolo non lineare descritto dalla relazione ingresso uscita y(t) = x(t) x 3 (t). Assumendo x(t) = A cos(ω t) e ω = 2πf : 1. Si calcoli l espressione del segnale di uscita y(t). 2. Si determini lo spettro del segnale di uscita y(t). Quesito 1: sostituendo l espressione di x(t) nella funzione che descrive la caratteristica ingressouscita si ottiene: ( ) y(t) = A 3A3 cos(ω t) A3 4 4 cos(3ω t). (47) Quesito 2: osservando l espressione di y(t) ci si accorge che considerando soltanto l asse delle frequenze positivo, lo spettro di Fourier di y(t) contiene 3 righe: la prima a frequenza, la seconda a frequenza f e la terza a frequenza 3f. 1

11 Esercizio 8 E assegnato un sistema ricevente supereterodina composto dalla seguente cascata di tre quadripoli lineari: amplificatore a basso rumore con guadagno G A e temperatura di rumore T A (quadripolo A); convertitore di frequenza, equivalente ad un attenuatore, con attenuazione A B (quadripolo B); amplificatore a frequenza intermedia con guadagno G C (quadripolo C). e temperatura di rumore T C Come è noto, la cascata dei tre quadripoli lineari è equivalente ad un unico quadripolo Q con guadagno G Q e temperatura di rumore T Q, entrambe assegnate e pari rispettivamente a G Q = 2 db (ossia 1) e T Q = 12K (dette specifiche del progetto). Si assuma anche che siano noti l attenuazione del quadripolo B, pari a A B = 6 db (ossia 4) e il guadagno e la temperatura di rumore del quadripolo C, rispettivamente pari a G C = 2 db (ossia 1) e T C = 7K. Calcolare il guadagno e la temperatura di rumore del primo quadripolo del sistema ricevente (quadripolo A) in modo da rispettare le specifiche del progetto e le altre assunzioni. Soluzione: la temperatura del convertitore di frequenza vale: T B = T (A B 1) = 29 3 = 87K. (48) La temperatura di rumore del quadrupolo corrispondente alla cascata vale: Il guadagno complessivo della cascata vale: T Q = T A + T B G A + T CA B G A. (49) G Q = G AG C A B. (5) In base alle richieste del problema si deve avere G Q = 2dB e T Q = 12K. Di conseguenza, utilizzando la (5) per ricavare G A e la (49) per ricavare T A, si ottiene G A = G Q + A B G c = = 6dB; (51) e T A = = 282.5K. (52) 4 11

12 Esercizio 9 Si consideri una linea di trasmissione per la quale sono verificate le condizioni di Heavyside. Si calcolino tutti i parametri della linea quando r b = 275Ω/km, l =.64mH/km e l impedenza caratteristica vale R = 5Ω. Soluzione Nelle ipotesi di Heavyside l impedenza caratteristica della linea vale: Z c = R 2 = l c = r b g. (53) da cui si ottengono le rimanenti costanti primarie della linea: c = 256 nf/km e g =.11 Ω 1 /km. La costante di propagazione si ottiene ricordando che: γ(f) = r b R + j 2πfl R = α b(f) + jβ(f). (54) Sostituendo i valori si ottiene: α b (f) = α = 5.5 e β(f) = 2πf1,

13 Esercizio 1 Si calcolino le costanti di propagazione e di fase di una linea di trasmissione bifilare che opera in regime di bassa frequenza e caratterizzata da una conducibilità σ = Ω 1 /m con diametro del conduttore circolare d = 2mm e capacità assiale c = 4nF/km. Soluzione Dalla teoria, le costanti di propagazione della linea valgono: in cui la resistenza assiale r b ha l espressione: α b (f) = β b (f) = πcr b f = k b f, (55) r b = 1 σa, (56) in cui A è l area della sezione del conduttore. Sostituendo i dati assegnati si ottiene: A = pi(d/2) 2 = m 2. La resistenza assiale r b =.55Ω/m e la costante k b vale: k b = / Hz/m. Esercizio 11 Si calcolino le costanti di attenuazione e il ritardo di gruppo di una linea di trasmissione che opera in regime di alta frequenza quando lo spessore di penetrazione δ m (f) =.5mm, il diametro del conduttore vale d = 2mm, la conducibilità σ = Ω 1 /m. Si assuma inoltre: l =.64mH/m e c = 256nF/km. Soluzione Si parte con la verifica della validità dell approssimazione della resistenza ad alta frequenza. Occorre quindi verificare se: Cδ m << A in cui C è il perimetro del conduttore C = πd = Siccome l area del conduttore vale m 2, la precedente condizione risulta ampiamente verificata e quindi si possono adottare le formule per la resistenza assiale in alta frequenza: 1 r a = =.549 Ω/m. (57) σcδ m (f) L impedenza caratteristica della linea ad alta frequenza vale R = l c = 5Ω e α a(f) = 54.9/1 =.55. Il ritardo di gruppo per unit di distanza è proporzionale a lc =

14 Esercizio 12 Si considera una linea di trasmissione del tipo coppia metallica con conducibilità σ = Ω 1 /m e diametro del conduttore d =.5mm e costante primaria l =.1mH/km. Si definisca il modello da utilizzare per studiare il comportamento della linea di trasmissione quando la banda del segnale che viene trasmesso sulla linea vale [1, 5)Hz ovvero [1, 3)KHz. Soluzione Si calcola la frequenza di incrocio relativa ai modelli di bassa e di alta frequenza ottenendo: f x = r b 4πl, (58) in cui r b = 1/σA. Sostituendo i valori indicati nel testo dell esercizio, si ottiene: f x = 7Hz. Di conseguenza nel primo caso [1, 5)Hz si può utilizzare il modello di bassa frequenza della linea. Nel secondo caso quello di alta frequenza. Esercizio 13 Si consideri la coppia coassiale con parametri standard caratterizzata da una costante dielettrica di ε r = 2, 26. Si scelga il diametro del conduttore esterno della coppia coassiale in modo che inviando un segnale a f = 2GHz, si abbia ancora propagazione monomodale. Soluzione La frequenza di taglio del primo modo superiore di un cavo coassiale vale: f t = 2c π(d + d) ε r. (59) Siccome si utilizza una coppia coassiale standard si deve avere D/d = 3.6 e di conseguenza la (59) può essere riscritta come: 2c f t = πd(1 + 1/3.6). (6) ε r in cui l unico parametro che compare è il diametro del conduttore esterno D. Affinchè si abbia propagazione monomodale si deve avere: f t > f = 22GHz. Di conseguenza di deve avere che: 2c D < (1 + 1/3.6)f π =.497 m. (61) ε r 14

15 Esercizio 14 Si calcoli il diametro esterno del conduttore di una coppia coassiale standard operante con segnali in alta frequenza e caratterizzato da una costante dielettrica ε r = 1, 5 e da un diametro del conduttore interno d = 2mm. Soluzione Nel rispetto della condizione D/d = 3, 6 si deve ottenere D = 7, 2mm. L impendenza caratteristica vale: Z a = 77 εr = 63Ω. (62) 15

16 Esercizio 15 Si consideri la costellazione in Figura. Si descriva il tipo di costellazione rappresentata. Si cal- Figura 3: Costellazione coli e si disegni il baricentro della costellazione quando le probabilità di occorrenza dei simboli valgono π 1 = π 3 = 1/4, π 2 = 1/8. Soluzione La costellazione rappresentata è di tipo equienergia. Il suo baricentro vale: E 2, E 1 E , O = E = 4 s i π i (63) m=1 E E 2, E E 2, 3 (64) E E 4 2, 1 (65) 4 2 Siccome la costellazione è di tipo equienergia, l energia media della costellazione coincide con E. Esercizio 16 Si consideri la costellazione in Figura, in cui s 1 è un simbolo con proabilità di occorrenza Figura 4: Costellazione π 1 = 1/3. Si calcoli la coordinata x in Figura in modo che: La costellazione sia equienergia - si calcoli e si disegni il baricentro della costellazione; La costellazione sia a minima energia e si calcoli l energia media della costellazione. Soluzione Per avere la costellazione di tipo equienergia si deve avere x = E. Il baricentro della costellazione vale: O = E2/3 + E1/3. Per avere la costellazione a minima energia si deve avere O = ossia x 2/3 + E1/3 = e di conseguenza si ha x = E/2. L energia media della costellazione in questo secondo caso vale: E m = E/4 2/3 + E 1/3 = E/2. 16

17 Esercizio 17 Si consideri una costellazione binaria con simboli: s 1 (t) = µ(t) µ(t T/2) e s 2 (t) = µ(t T/4) µ(t T ). Si calcolino: il coefficiente di correlazione dei due simboli; S 1 (f) e S 2 (f). Soluzione Il grafico dei due segnali è riportato in Figura. Per definizione il il coefficiente di correlazione tra i due simboli vale: Figura 5: Rappresentazione dei simboli s 1 (t), s 2 (t). ρ 12 = T s 1(t)s 2 (t)dt T s2 1(t)dt. (66) T s2 2(t)dt Si ricava facilmente che T s2 i (t)dt, i = 1, 2 è l area del rettangolo descritto dai relativi segnali in Figura. Si ottiene: T s2 1(t)dt = T/2, T s2 2(t)dt = 3T/4. L integrale relativo al prodotto dei due simboli è l area del rettangolo ottenuto dal prodotto dei due simboli che ha altezza 1 e base che si estende da T/4 a T/2. Di conseguenza si ha T s 1(t)s 2 (t)dt T/4. Il coefficiente di correlazione vale ρ = 12 = 1/ 6. Gli spettri dei due simboli valgono: T/2 T T/4 e j2πft dt = e j2πft dt = [ ] e j2πft T/2 j2πf [ e j2πft j2πf ] T T/4 (67) (68) 17

18 Esercizio 18 Si consideri il codice lineare a blocchi di tipo sistematico (5, 3) in cui indicando con x i, i = 1, 2, 3 i bit in ingresso al codificatore e con y i, i = 1, 2, 3, 4, 5 quelli in uscita, si ha: y 4 = x 1 2 x 3 e y 5 = x 2 2 x 3. Si determinio le parole di codice. Soluzione Siccome il codice è sistematico, i primi tre bit della parola di codice sono uguali alla sequenza di tre bit in ingresso al codificatore. Gli altri due bit y 4 e y 5 si ottengono usando le relazioni assegnate ottenendo: parola di codice 1 -[ ] parola di codice 2 -[1 1] parola di codice 3 -[1 1] parola di codice 4 -[11 1] parola di codice 5 -[1 1] parola di codice 6 -[11 1] parola di codice 7 -[11 11] parola di codice 8 -[111 ] Il peso di una parola di codice coincide con il numero di uni contenuti all interno della parola di codice stessa. L insieme dei pesi delle parole di codice vale: w =, 2, 3, 4. Siccome il codice è lineare la distanza minima tra due parole di codice coincide con il minimo peso contenuto all interno dell insieme w escluso lo. 18

19 Esercizio 19 Si consideri un processo stocastico x(t) stazionario in senso lato, a media nulla e funzione di autocorrelazione R x (τ) = e 2 τ. Il processo x(t) va in ingresso ad un filtro con risposta impulsiva h(t). Si determini la risposta in frequenza del filtro H(f) in modo che il processo di uscita dal filtro y(t) abbia una funzione di autocorrelazione R y (τ) = e τ. Soluzione Passando direttamente nel dominio della frequenza si ha: in cui W x (f) = W y (f) = H(f) 2 W x (f), (69) π 2 f 2 e W y (f) = Dalla (69) si ottiene il seguente vincolo su H(f) 2 : π 2 f 2. (7) H(f) 2 = 2(1 + π2 f π 2 f 2. (71) La scelta di H(f) che rispetta il vincolo in (71) non è univoca. Di seguito vengono indicate due possibili scelte. 2(1+π 1. H(f) = 2 f 2 e ad esempio si potrebbe assumere 1+4π 2 f 2 H(f) =. Siccome in questo caso, ĥ(t) = F{H(f)} = F{ H(f) } risulta non causale, per ovviare a questo inconveniente si considera H(f) = 2πfτ, in cui τ è un ritardo scelto in modo da rendere ĥ(t) causale. 2. H(f) 2 = H(f)H (2)(1 j2πf) (2)(1+j2πf) (2)(1+j2πf) (f) =. Siccome G(f) = corrisponde alla trasformata di una risposta impulsiva causale si può assumere H(f) = (1 jπf) (1+jπf) (1+jπf) G(f). 19

20 Esercizio 2 Si consideri il segnale y(t) = x(t) + n(t) in cui x(t) e n(t) sono due processi stocastici stazionari almeno in senso lato e statisticamente indipendenti con medie η x, η n = e funzioni di autocorrelazione R x (τ) e R n (τ) = σ 2 δ(τ). Si calcolino: 1. le funzioni di autocorrelazione e di autocovarianza del processo y(t); 2. la media e la potenza del processo y(t); 3. lo spettro del processo y(t). Soluzione Siccome i processo sono statisticamente indipendenti si ottiene: R y (τ) = E{y(t)y(t + τ)} = E{(x(t) + n(t))(x(t + τ) + n(t + τ))} = R x (τ) + R n (τ), (72) in quanto E{n(t)x(t + τ)} = E{n(t + τ)x(t)} =. La matrice di covarianza del processo y(t) si ottiene come C y (τ) = R y (τ) η 2 y. La media del processo y(t) vale η y = E{x(t)}+E{n(t)} = η x. La potenza del processo y(t) vale R y () = R x () + R n () = σ 2 x + η 2 x + σ 2. Lo spettro del processo y(t) si ottiene dalla trasformata di Fourier della (72): S y (f) = σ 2 + S x (f) + η 2 xδ(f). (73) 2

21 Esercizio 21 Si consideri il processo stocastico n(t) a media nulla e con funzione di autocorrelazione R n (τ) = 1 2 N δ(τ). Si calcoli la potenza del processo y(t) = h(t) n(t) in cui h(t) = BA sinc(πbt) cos(2πf c t) in cui A = 2, B = 1MHz, N = 3, mw/hz e f c = 1GHz. Soluzione La trasformata di Fourier della risposta impulsiva h(t) vale: Di conseguenza il H(f) 2 vale: H(f) = 1 ( ) f 2 A fc rect + 1 ( ) f + B 2 A fc rect. (74) B H(f) = 1 ( ) f 4 A 2 fc rect + 1 ( ) f + B 4 A 2 fc rect. (75) B Per definizione, la potenza del processo y(t) vale: σ 2 y = S y (f)df, (76) in cui S y (f) = H(f) 2 S n (f) = 1N 2 H(f) 2. Sostituendo si ottiene σy 2 dbw. = BN A 2 /4 =

22 Esercizio 22 Si determinino la media e la sequenza di autocorrelazione del processo tempo discreto y n = x n x n 1 in cui: 1. x n assume valori in { 1, 1} in modo statisticamente indipendente ed equiprobabile; 2. x n assume valori in {, 1} in modo statisticamente indipendente ed equiprobabile; Si supponga che la sequenza {y n } sia utilizzata per costruire il processo stocastico tempo continuo: s(t) = y n p(t nt ), (77) n in cui p(t) è una forma d onda impulsiva. Si calcoli lo spettro del processo s(t) per le due sequenze y n considerate. Soluzione Nel primo case, E{x n } = e di conseguenza E{y n } =. Nel secondo caso E{x n } = 1/2 si ha E{y n } = 1/4. Inoltre si osservi che E{x 2 n} = 1/2. Il calcolo delle sequenze di autocorrelazione di y n, R y (m) = E{y n y n+m } e m intero, nei due casi può essere effettuato ricorrendo al metodo enumerativo. 1. Primo caso: per m = si ottiene R y () = E{x 2 nx 2 n 1} = 1. Inoltre si ricava facilmente che per gli altri valori di m si ha R y (m) =. 2. Secondo caso: per m = si ottiene R y () = E{x 2 nx 2 n 1} = E{x 2 n}e{x 2 n 1} = 1/4. Per m = ±1 si ha ad esempio R y (1) = E{x 2 nx n 1 x n+1 } = 1/8. Per m > 2 si ha R y (m) = R y (2) = E{x n x n 1 x n+2 x n+1 } = 1/16. Ovviamente R y ( m) = R y (m). Una volta nota la sequenza di autocorrelazione del processo y n è immediato calcolare lo spettro di potenza del processo s(t) usando ben note formule (riportate nell esercizio numero 4). Nel primo caso si ottiene: P (f) 2 S s (f) =. (78) T Nel secondo caso si ottiene: S s (f) = P (f) 2 T La (79) può anche essere riscritta come: S s (f) = P (f) 2 T ( e j2πft + e j2πft ) [ ( e j2πft + e ) j2πft e j2πfmt m=,m,±1 ] e j2πfmt m=. (79), (8) il quale può anche essere riscritto mettendo in evidenza la presenza di righe nello spettro di potenza ossia: S s (f) = P (f) 2 T [ ( e j2πft + e ) j2πft T m= ( δ f m ) ]. (81) T 22