01CXGBN Trasmissione numerica. parte 10: Interferenza intersimbolica

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1 CXGBN rasmissione numerica parte : Interferenza intersimbolica

2 Interferenza intersimbolica Data una costellazione monodimensionale, ad esempio con baricentro nell origine, abbiamo visto che lo spettro di potenza del segnale trasmesso s() t = a[ n] p( t n) n è dato dalla G s 2 P( f) ( f) = σ a 2 Di conseguenza, se p(t)= b (t) ha dominio temporale finito, il segnale trasmesso s(t) ha un occupazione in frequenza illimitata. 2

3 Interferenza intersimbolica Per superare questo problema dovremmo trasmettere segnali elementari con dominio temporale illimitato (impossibile in pratica, utile come caso di riferimento). Finora, abbiamo considerato costellazioni di segnali con dominio temporale limitato [,[. Cerchiamo di capire come cambiano le cose se rilasciamo questo vincolo ed ammettiamo segnali di dominio temporale qualsiasi, eventualmente infinito (ma con energia finita). 3

4 Interferenza intersimbolica Data una costellazione M di segnali con durata infinita, possiamo trovare la sua base in modo analogo a quanto fatto finora (per ispezione diretta o applicando Gram Schmidt). Per semplicità, supponiamo che si tratti di una costellazione monodimensionale con un solo versore b (t). Si noti che, poiché i segnali di M hanno dominio temporale infinito, anche il versore b (t) avrà dominio temporale infinito. 4

5 Interferenza intersimbolica Supponiamo di trasmettere un solo vettore binario di informazione v () Ad esso, il labeling binario associa uno dei segnali di M, ovvero il simbolo trasmesso a[] {α,α 2,,α m } Di conseguenza, il segnale trasmesso sarà del tipo (al solito p(t)=b (t)) s() t = a[] p() t Supponiamo di trasmettere questo segnale su AWGN e ricevere rt () = st () + nt () 5

6 Interferenza intersimbolica Dato il segnale ricevuto r(t) dobbiamo calcolarne la proiezione sul versore b (t): + ρ[] = rtb ( ) ( tdt ) (dove ora il dominio di integrazione non è più limitato tra e ) Si vede subito che anche in questo caso di dominio temporale illimitato questa proiezione si può calcolare mediante un filtro adattato con risposta all impulso qt () = b ( t) 6

7 Interferenza intersimbolica R = / qt () = b( t ) qt () rt () yt () ρ[] ρ [ n ] Infatti, indicando l uscita del filtro adattato con y(t) si ha, similmente a quanto dimostrato per il caso di dominio temporale [,[: + + yt ( ) = r( τ ) qt ( τ) dτ = r( τ) b( t+ τ) dτ e quindi: + yt ( = ) = r( τ ) b( τ) dτ = ρ[] 7

8 Interferenza intersimbolica Supponiamo di avere un canale completamente ideale: H(f)= n(t)= Di conseguenza, il segnale ricevuto coincide con quello trasmesso rt () = st () Per le proprietà del filtro adattato e dei versori, si vede subito che il simbolo ricevuto coincide con quello trasmesso: ρ [] = a[] Infatti, se r(t)=s(t) segue, essendo s(t)=a[]p(t)=a[]b (t): ρ[] = r( τ) b( τ) dτ = s( τ) b( τ) dτ = a[] b( t) b( τ) dτ = a[] 8

9 Interferenza intersimbolica Di conseguenza, nel caso di trasmissione di un solo simbolo, aver rilasciato il vincolo temporale di durata finita [,[ per i segnali della costellazione non comporta nessun problema. 9

10 Interferenza intersimbolica Dopo aver visto la trasmissione di un solo simbolo, consideriamo la trasmissione di una sequenza infinita di simboli: s(t) + = ampt [ ] ( m) m= (per semplificare la trattazione, supponiamo di trasmettere una sequenza infinita di bit che parte da infinito)

11 Interferenza intersimbolica In ricezione, supponiamo di usare un ricevitore con filtro adattato: R = / qt () = b ( t ) qt () rt () yt () ρ [ n] L n-esimo simbolo ricevuto si ottiene campionando l uscita del filtro adattato y(t) nell istante (n+) (alla fine dell n-esimo intervallo): ρ [ n] = y( + n)

12 Interferenza intersimbolica L n-esimo campione ricevuto si ottiene campionando y(t) : In condizioni ideali si avrebbe ρ [ n] = y( t + n) t = A volte scriveremo t = + D Dove D è un ritardo che tiene conto di vari fattori quali: - Ritardo di propagazione - Ritardi introdotti in fase implementativa (ad esempio per causalizzare alcune risposte all impulso) In ricezione, il circuito per il recupero del sincronismo di simbolo ricostruisce esattamente, a partire dal segnale ricevutor(t) siala frequenzaesattar che la sua fase (ovvero identifica esattamente l istante t ottimo di campionamento). 2

13 Interferenza intersimbolica Di nuovo, supponiamo di avere un canale completamente ideale: H(f)= n(t)= Di conseguenza, il segnale ricevuto coincide con quello trasmesso rt () = st () 3

14 Interferenza intersimbolica L uscita del filtro adattato è data dalla: yt () = rt () qt () Poichè il segnale ricevuto coincide con quello trasmesso abbiamo + yt () = rt () qt () = ampt [ ] ( m) qt () = m= + = amxt [ ] ( m) m= Dove abbiamo posto xt () = pt () qt () 4

15 Esempio Costellazione monodimensionale con versore b () t = P () t p() t = b () t = P () t qt () = p ( t) = P () t (in questo caso il filtro adattato coincide con il versore) x() t x() t = p() t q() t 2 5

16 Esempio u s () t s() t = a[ m] p( t m) m 6

17 Esempio u questo esempio chiarisce che y(t)=r(t)*q(t) è ottenuto soomando i contributi elementari di ciascun simbolo a[m] yt () yt () = amxt [ ] ( m) m 7

18 Interferenza intersimbolica L uscita del filtro adattato è data dalla: + yt () = amxt [ ] ( m) m= Dove xt () = pt () qt () 8

19 Interferenza intersimbolica L n-esimo simbolo ricevuto vale quindi: ρ [ n] y( n) a[ m] x( n m) a[ n i] x( i) + = Xian [] [ i] i= + + = + = + = + = m= i= Dove abbiamo posto Xi [] = x ( + i) 9

20 Interferenza intersimbolica Abbiamo quindi ottenuto questa relazione: + ρ [ n] = X[ i] a[ n i] i= che lega l n-esimo simbolo ricevuto ρ[n] al corrispondente simbolo trasmesso a[n]. Esplicitando la sommatoria si ha: + = + + ρ [] n X[][] an Xian [][ i] Xian [][ i] i= i= Contributo simboli precedenti Contributo simboli futuri 2

21 Interferenza intersimbolica Abbiamo: + ρ[ n] = X[ i] a[ n i] = i= = X[] a[ n] + + X[][ a n ] + X[2][ a n 2] X[ ] a[ n+ ] + X[ 2] a[ n+ 2] +... Contributo simbolo trasmesso Contributo simboli precedenti Contributo simboli futuri Nel caso generale si ha quindi interferenza intersimbolica (ISI): il simbolo ricevuto ρ[n] non dipende solo dal corrispondente simbolo trasmesso a[n], ma anche da tutti gli altri simboli, precedenti e futuri. 2

22 Interferenza intersimbolica Stiamo trasmettendo su un canale ideale (risposta in frequenza ideale e senza rumore), e quindi dovremmo avere: ρ [ n] = a[ n] (simbolo ricevuto = simbolo trasmesso) Questo si verifica se e solo se la funzione x(t) soddisfa questa proprietà: ovvero Xi [] = se i= Xi [] = se i ( ) ( ) x+ i = se i= x+ i = se i condizioni di NO ISI 22

23 Interferenza intersimbolica Dopo aver rilasciato il vincolo di durata temporale finita (tra e ) per i segnali della costellazione, abbiamo ottenuto questa relazione: + ρ [ n] = X[ i] a[ n i] i= che lega l n-esimo simbolo ricevuto ρ[n] al corrispondente simbolo trasmesso a[n]. Esplicitando la sommatoria si ha: + ρ [ n] = X[] an [ ] + Xian [ ] [ i] i ISI=contributo degli altri simboli trasmessi 23

24 Interferenza intersimbolica Stiamo trasmettendo su un canale ideale (risposta in frequenza ideale e senza rumore), e quindi dovremmo avere: ρ [ n] = a[ n] (simbolo ricevuto = simbolo trasmesso) Questo si verifica se e solo se la funzione x(t) soddisfa questa proprietà: ovvero Xi [] = se i= Xi [] = se i ( ) ( ) x+ i = se i= x+ i = se i condizioni di NO ISI 24

25 Interferenza intersimbolica AENZIONE: quando avevamo ricavato la teoria della decisione per segnali di durata temporale finita [,[, avevamo osservato l assenza di interferenza intersimbolica: ogni intervallo di simbolo faceva storia a sè e poteva essere risolto indipendentemente. L uscita del filtro adattato, campionato alla fine dell n-esimo intervallo, cioé nell istante +n, forniva l n-esimo simboloricevutoche, in assenzadi rumore, coincideva con quello trasmesso: ρ [ n] = a[ n] Questo significa che la condizione di NO ISI sulla funzione x(t) deve essere automaticamente verificata quando si usano versori di durata temporale finita [,[. 25

26 Verifica. Siano: Interferenza intersimbolica b (t) un versore con dominio limitato [,[ p(t)= b (t) q(t)=p(-t) p() t = b() t pt () b () t qt () = b( t) = b t qt () = b ( t ) Consideriamo Si ha: x() t = pt ()* qt () = p( τ ) qt ( τ) dτ. per t x( t) = x ( ) = p( τ) q ( τ) dτ = b( τ) b( + τ) dτ = 3. per t x( t) = + 26

27 Interferenza intersimbolica Di conseguenza sono verificate le condizioni ( ) ( ) xt+ i = se i= xt+ i = se i con t = ovvero Xi [] = se i= Xi [] = se i le condizioni di NO ISI sulla funzione x(t) sono automaticamente verificate quando si usano versori di durata temporale finita [,[. 27

28 Interferenza intersimbolica Esempio Costellazione monodimensionale con versore b () t = P () t p() t = b () t = P () t qt () = p ( t) = P () t (in questo caso il filtro adattato coincide con il versore) x () t x() t = p() t q() t 2 28

29 Interferenza intersimbolica xt () 2 Questa funzione x(t) soddisfa in effetti la condizione di NO ISI (t =) ( ) ( ) x+ i = se i= x+ i = se i Il generico simbolo ricevuto ρ[n], ottenuto campionando y(t) in (+n), dipende solo dal corrispondente simbolo trasmesso a[n]: ρ [ n] = y( + n) = a[ n] Xi [] = se i= Xi [] = se i 29

30 Interferenza intersimbolica u s () t s() t = a[ n] p( t n) n 3

31 Interferenza intersimbolica u yt () yt () = anxt [ ] ( n) n ρ [ n] = y( + n) = a[ n] ASSENZA DI ISI 3

32 Interferenza intersimbolica Consideriamo un esempio dove il versore ha dominio Esempio 2 temporale diverso da [,[ Costellazione monodimensionale con versore pt () b() t = P2 () t 2 p() t = b() t 2 q '( t) q'( t) = p( t) 2 La risposta all impulso di questo filtro non è causale. Per renderla realizzabile la possiamo ritardare di D=: qt () = q'( t ) qt () 2 32

33 Interferenza intersimbolica x () t x() t = p() t q() t /2 Per non avere ISI dovremmo avere: ( ) ( ) In questo caso abbiamo invece: xt+ i = se i= xt+ i = se i ( ) ( ) ( ) xt+ i = se i= xt+ i = /2 se i= i= xt+ i = se i i i con t = + D= 2 Xi [] = se i= Xi [] = /2 se i= i= Xi [] = se i i i 33

34 Interferenza intersimbolica x () t x() t = p() t q() t / Si verifica interferenza intersimbolica: ρ [ n] = y( t + n) = a[ n] + a[ n ] + a[ n+ ] a[ n] 2 2 Se ad esempio trasmettiamo una sequenza binaria... i simboli ricevuti sono sempre uguali a zero, quindi equidistanti dai due simboli trasmessi: per questa sequenza si ha una probabilità di errore uguale a ½ anche senza rumore. 34

35 Criterio di Nyquist Data la funzione La condizione di NO ISI è xt () = pt ()* qt () ( ) ( ) xt+ i = se i= xt+ i = se i Idealmente t =. In pratica t >. uttavia, per semplicità poniamo t = (discuteremo questa scelta in seguito). La condizione di NO ISI diventa: xi ( ) = se i= xi ( ) = se i La chiameremo criterio di Nyquist nel tempo 35

36 Criterio di Nyquist Secondo teorema di Nyquist Se una funzione x(t) verifica il criterio di Nyquist nel tempo allora xi ( ) = se i= xi ( ) = se i xt () δ ( t i) = δ () t i Passando alle trasformate di Fourier: n X( f) δ f = n cheèilcriterio di Nyquist in frequenza n n X f = 36

37 Criterio di Nyquist Data una funzione x(t), per verificare se soddisfa il criterio di Nyquist in frequenza, dobbiamo: considerare tutte le repliche di X(f) centrate attorno alle frequenze multiple di / sommarle tutte assieme Il risultato della somma deve essere una costante sull asse delle frequenze n n X f = 37

38 Criterio di Nyquist xi ( ) = se i= xi ( ) = se i n n X f = Quali sono le funzioni x(t) che soddisfano il criterio di Nyquist? Consideriamo: Funzioni x(t) con trasformata X(f) a supporto infinito. Funzioni x(t) con trasformata X(f) a supporto finito. 38

39 Criterio di Nyquist Funzioni x(t) con trasformata X(f) a supporto infinito. Ci sono infinite soluzioni. ra queste, sappiamo già che vi sono certamente tutte le funzioni del tipo x(t)=p(t)*q(t) con p(t) = versore con dominio temporale [,[ q(t) =p(-t) (Esisteranno poi altre infinite funzioni x(t) con trasformata X(f) a supporto infinito che soddisfano Nyquist, ma non ci interessano in questo corso.) 39

40 Criterio di Nyquist Functioni x(t) con trasformata X(f) a supporto finito [-f max, f max ] Esistono delle soluzioni? 4

41 Criterio di Nyquist, caso Caso : f max < 2 X ( f ) 2 f max f max 2 2 In questo caso è impossibile soddisfare il criterio di Nyquist (restano dei buchi attorno alla frequenza /2 e ai suoi multipli) n n X f = 4

42 Criterio di Nyquist, caso 2 Caso 2: f max = 2 X ( f ) 2 f max f max

43 Criterio di Nyquist, caso 2 Caso 2: f max = 2 Esiste un unica soluzione: il filtro passa basso ideale, con risposta in frequenza X(f) costante e pari a tra (-/2) e (+/2). X ( f ) n n X f = Se si considerano tutte le repliche di X(f) centrate attorno ai multipli di / e si sommano assieme si ottiene una costante pari a su tutto l asse delle frequenze. 43

44 Filtro passa basso ideale Filtro passa basso ideale xt () = sin( πt/ ) ( πt/ ) Nota: chiaramente soddisfa il criterio di Nyquist nel tempo xi ( ) = if i= xi ( ) = if i t/ 44

45 Filtro passa basso ideale Filtro passa basso ideale X ( f ) 2 2 È la funzione che soddisfa Nyquist con la minima occupazione spettrale Se si trasmette una sequenza di simboli, per avere assenza di interferenza intersimbolica, la minima banda occupata si ottiene con il filtro passa basso ideale. 45

46 Sull implementazione pratica Sull implementazione pratica x(t) = filtro passa basso ideale xt () = sin( πt/ ) ( πt/ ) Non causale Di durata illimitata Realizzazione esatta: impossibile Approssimazione: impossibile (es. Progetto filtro FIR mediante tecnica di windowing Non si riesce ad approssimare bene (fenomeno di Gibbs)) 46

47 Criterio di Nyquist, caso 3 Caso 3: f max > 2 X ( f ) f max 2 f max 2 Ci sono molte soluzioni. 2 47

48 Filtri a coseno rialzato Filtri a coseno rialzato Esempio (molto importante per le applicazioni) xt () = sin( πt/ ) cos( απt/ ) 2 ( πt/ ) (2 αt/ ) coefficiente di roll-off α α Si noti che. Chiaramente, soddisfa il criterio di Nyquist nel tempo xi ( ) = if i= xi ( ) = if i 2. Per α= si ritrova il filtro passa basso ideale 48

49 Filtri a coseno rialzato. alfa=.2 alfa= xt () = sin( πt/ ) cos( απt/ ) 2 ( πt/ ) (2 αt/ ) t/ 49

50 Filtri a coseno rialzato X(f)/. alfa=.2 alfa=.8 Risposta in frequenza ( α) X( f) = for f 2 π ( α) ( + α) X( f) = sin f for f 2 α ( + α) X( f) = for f f banda totale occupata (bilatera) pari a ( +α ) compresa tra ( α) banda passante (bilatera) dove la risposta è piatta pari a f 2 ( +α ) 2 e + ( +α ) 2 5

51 Sull implementazione pratica Sull implementazione pratica x(t) = filtro coseno rialzato xt () = sin( πt/ ) cos( απt/ ) 2 ( πt/ ) (2 αt/ ) Non causale Di durata illimitata Realizzazione esatta: impossibile Approssimazione: ottima Realizzazione mediante filtro digitale FIR Progetto mediante tecnica di windowing: si riesce ad approssimare decisamente bene (ex: bastano 6 intervalli, con una frequenza di sampling 4R sono 64 taps) 5

52 Sul ritardo Finora abbiamo studiato soluzioni per t = ρ [ n] = y( t + n) con t = xi ( ) = se i= xi ( ) = se i uttavia, data una funzione x(t) che soddisfa il criterio per t =, la funzione x (t) = x(t-t ) soddisfa il criterio per ogni t (nota: In ricezione, il circuito di recupero di sincronismo di simbolo recupera automaticamente qualsiasi t introdotto: campionamento in mezzo al diagramma ad occhio) 52

53 Filtri di trasmissione e ricezione Abbiamo studiato le proprietà della funzione x(t), dove x(t)=p(t)*q(t) Se x(t)=filtro passa basso ideale o filtro a coseno rialzato, come sono fatte p(t) e q(t)? 53

54 Filtri di trasmissione e ricezione In pratica, le p(t) utilizzate ricadono quasi sempre in una di queste due situazioni:. p(t) tale che per il filtro adattato si ha q(t) = p(-t)=p(t) Èquestoilcasoad esempiodellaportarettangolarep (t) o della porta rettangolare per il coseno. 54

55 Filtri di trasmissione e ricezione 2. p(t) è una funzione pari p(t)=p(-t) In questo caso abbiamo uttavia, possiamo realizzare q(t) = p(-t)=p(t-) q(t) = p(t) il ritardo aggiuntivo è recuperato in t dal circuito di recupero di sincronismo di simbolo Di conseguenza, nella stragrande maggioranza delle applicazioni pratiche si ha: q(t) = p(t) 55

56 Filtri di trasmissione e ricezione Abbiamo X( f) = P( f) Q( f) Se q(t)=p(t) segue Q(f)=P(f) e X f P f P f Q f X f 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) Possiamo quindi separare la funzione x(t) in due funzioni identiche, dette filtro di trasmissione p(t) e filtro di ricezione q(t) 56

57 Filtri di trasmissione passa basso ideale Per il filtro passa basso ideale xt () = sin( πt/ ) ( πt/ ) si ottiene pt () = sin( πt/ ) ( πt/ ) Chiaramente è ancora un filtro passa basso ideale, cambia solo la costante, con occupazione spettrale uguale a quella di x(t) e pari a /=R (bilatera) [ si dimostra che p(t) è un versore: energia unitaria] 57

58 Filtri di trasmissione RRC Per il filtro a coseno rialzato xt () = sin( πt/ ) cos( απt/ ) 2 ( πt/ ) (2 αt/ ) si ottiene Root Raised Cosine (RRC) pt () = t t t sin( π ( α)) + 4α cos( π ( + α)) t t 2 π ( (4 α ) ) Non è più un filtro a coseno rialzato, ma la sua occupazione spettrale è uguale a quella di x(t) e pari a /(+α)=r(+α) (bilatera): approssimeremo la sua P(f) con un trapezio [ si dimostra che p(t) è un versore: energia unitaria] 58

59 Filtri di trasmissione passa basso ideale Filtro di trasmissione p(t): passa basso ideale X ( f ) 2 2 Minima occupazione di banda pari a 2 59

60 Filtri di trasmissione RRC Filtro di trasmissione p(t): RRC con roll off α X ( f ) ( +α ) 2 ( +α ) 2 ( +α ) Occupazione di banda pari a ( ) 2 +α 6