Teoria dei Segnali Ila Prova Intracorso Prof. Francesco A. N. Palmieri giovedi 23 novembre 2017

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1 UNIVERSITA' DEGLI STUDI DELLA CAMPANIA Luigi Vanvitelli SCUOLA POLITECNICA E DELLE SCIENZE DI BASE Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell'informazione Corso di Laurea in Ingegneria Elettronia e Informatica Teoria dei Segnali Ila Prova Intracorso Prof. Francesco A. N. Palmieri giovedi novembre [llpt] Si consideri il seguente processo aleatorio Y(t) X(t - ) + X(t) sin 81rft, dove X(t) e un processo aleatorio SSL avente spettro di potenza Px(f) A ( y) + A ( f) (f O > > ). Calcolare e schizzare autocorrelazione e spettro di potenza di X(t). Commentare sulla stazionarieta di Y(t) valutando e schizzando autocorrelazione e spettro di potenza..[llpt] Siano x(t) e n(t) due processi aleatori incoerenti SSL aventi autocorrelazioni R x (T) e R n (T). Valutare la autocorrelazione e lo spettro di potenza di y(t) (h1 * x)(t) + (h * x)(t) + n(t), dove h1(t) e h(t) sono le risposte impulsive di due sistemi lineari tempoinvarianti..[llpt] Un segnale aleatorio avente spettro di potenza e trasmesso su un canale avente funzione di trasferimento dell'energia IH c (f)l A ( ij) e che introduce rumore additivo avente spettro Pn (f) l II ( ). Segnale e rumore sono incoerenti. Calcolare il rapporto segnale--rumore all'uscita del sistema (senza tener conto della distorsione). Proporre e schizzare filtri di enfasi e de-enfasi per il sistema. 1

2 1) Lo spettro di potenza di X(t) fornito può essere espresso graficamente come di seguito L autocorrelazione di X(t), che essendo SSL dipenderà da τ, può invece essere valutata attraverso il calcolo dell antitrasformata di Fourier dello spettro di potenza, ossia ponendo R X (τ) F 1 {P X (f)} F 1 {Λ ( f ) + Λ (f + )} e jπτ sinc τ + e jπτ sinc τ sinc τ cos πτ L autocorrelazione si annullerà quindi ad ogni istante τ multiplo del periodo del coseno (che è pari ad ½) potendo essere espressa graficamente come di seguito Per ciò che concerne la stazionarietà di Y(t) cominciamo innanzitutto a valutarne la media E{Y(t)} E{X(t ) + X(t) sin 8πf t} E{X(t )} + E{X(t)} sin 8πf t dove il fatto che la media di X(t) sia nulla si desume semplicemente dall osservazione dello spettro di potenza, ovvero dalla mancanza nello stesso di una delta in zero. Ricordando che sin 8πf t 1 1 cos 16πf t

3 possiamo calcolare l autocorrelazione di Y(t) ponendo R Y (t; τ) E{Y(t)Y(t τ)} E {[X(t ) + X(t) X(t) cos 16πf t] [X(t τ) + X(t τ) E{X(t )X(t τ)} + E { X(t τ) cos 16πf (t τ)]} X(t )X(t τ) } X(t)X(t τ) X(t )X(t τ) E { } cos 16πf (t τ) + E { } X(t)X(t τ) X(t)X(t τ) +E { } E { } cos 16πf (t τ) X(t)X(t τ) X(t)X(t τ) E { } cos 16πf t E { } cos 16πf t X(t)X(t τ) +E { } cos 16πf t cos 16πf (t τ) R X (τ) + 1 R X(τ ) 1 R X(τ ) cos 16πf (t τ) + 1 R X(τ + ) + 1 R X(τ) 1 R X(τ) cos 16πf (t τ) 1 R X(τ + ) cos 16πf t 1 R X(τ) cos 16πf t + 1 R X(τ) cos 16πf t cos 16πf (t τ) 5 R X(τ) + 1 R X(τ ) 1 R X(τ ) cos 16πf (t τ) + 1 R X(τ + ) 1 R X(τ) cos 16πf (t τ) 1 R X(τ + ) cos 16πf t 1 R X(τ) cos 16πf t R X(τ) cos 16πf (t τ) R X(τ) cos 16πf τ formula di Werner Poiché l autocorrelazione di Y(t) dipende da t il processo stesso non risulta essere SSL. Tuttavia, è possibile osservare che tale dipendenza è periodica di periodo 1 8f, rendendo Y(t) ciclostazionario. Il calcolo dell autocorrelazione mediata su un periodo fornisce infatti R Y(τ) 8f 1 16f 1 16f R Y (t; τ) dt 5 R X(τ) + 1 R X(τ ) + 1 R X(τ + ) R X(τ) cos 16πf τ

4 A questo punto è possibile valutare lo spettro di potenza (medio) di Y(t), ottenendo P Y(f) F{R Y(τ)} 5 P X(f) + 1 e jπf P X (f) + 1 ejπf P X (f) che è rappresentato graficamente di seguito [P X(f 8f ) + P X (f + 8f )] ( 5 + cos πf) P X(f) P X(f 8f ) P X(f + 8f ) ) Le regole della convoluzione permettono di scrivere y(t) (h 1 x)(t) + (h x)(t) + n(t) ((h 1 + h ) x)(t) + n(t) (h x)(t) + n(t) pertanto, avendo posto h(t) h 1 (t) + h (t), otteniamo che dove z(t) (h x)(t) mentre R z (τ) (r h R x )(τ) ed P z (f) H(f) P x (f) r h (τ) [h 1 (t) + h (t)][h 1 (t τ) + h (t τ)] dt + h 1 (t)h (t τ) dt + h (t)h 1 (t τ) dt r h1 (τ) + r h1 h (τ) + r h h 1 (τ) + r h (τ) h 1 (t)h 1 (t τ) dt + h (t)h (t τ) dt

5 Quindi otteniamo che R y (τ) R z (τ) + R n (τ) [r h1 (τ) + r h1 h (τ) + r h h 1 (τ) + r h (τ)] R x (τ) + R n (τ) mentre in frequenza P y (f) P z (f) + P n (f) H(f) P x (f) + P n (f) [ H 1 (f) + H 1 (f)h (f) + H (f)h 1 (f) + H (f) ]P x (f) + P n (f) Allo stesso risultato si perviene osservando che H(f) H(f)H (f) [H 1 (f) + H (f)][h 1 (f) + H (f)] H 1 (f) + H 1 (f)h (f) + H (f)h 1 (f) + H (f) ) Rappresentando l intero sistema nella forma seguente si ottiene che z(t) (h c s)(t) d(t) + n(t) e pertanto P z (f) H c (f) P s (f) P d (f) + P n (f) Graficamente, supponendo α > 1, si osserva quanto mostrato di seguito 5

6 Il calcolo della potenza per il segnale d(t) può quindi essere effettuato ponendo B P d P d (f) df α B B ( 1 B f + f) df α B [ 1 f B + f B ] α B B 6 αb mentre la potenza del rumore è banalmente pari ad P n η B η B Il rapporto segnale-rumore all uscita del sistema (senza tener conto della distorsione, e pertanto considerando come segnale quello a valle della stessa) sarà quindi ( S N ) P d P n αb η B α 9η L applicazione di filtri di enfasi e de-enfasi, rispettivamente sul lato trasmittente e ricevente, è realizzata ponendo il sistema nella forma presentata di seguito 6

7 Le soluzioni per la risposta de filtri di enfasi e di de-enfasi, relativamente alla banda d interesse, sono quindi ricavabili come segue H E (f) a P n (f) H C (f) P s (f) a η a η B α 1 B f + 1 α f ]; B[ B f 1 B f + f a η a η B α 1 { B f + 1 α f ] B; [ B f { 1 B f f f ]; B[ f ] B; [ H D (f) P s (f) a H C (f) P n (f) a 1 B f + 1 { a 1 B f + 1 α B f η f ]; B[ α B f η f ] B; [ a α η B 1 B + 1 f a α η B 1 { B 1 f f [; B[ f ] B; ] le cui rappresentazioni grafiche (essendo i numeratori costanti) sono le seguenti 7