Analisi Matematica 2. Forme differenziali lineari. Forme differenziali lineari 1 / 26

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1 Analisi Matematica 2 Forme differenziali lineari Forme differenziali lineari 1 / 26

2 Forme differenziali lineari Sia F(x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k un campo vettoriale di classe C 1 (V ), V aperto connesso di R 3. Ad F associamo l espressione ω(x, y, z) = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz che si chiama forma differenziale lineare con coefficienti F 1, F 2, F 3. Forme differenziali lineari 2 / 26

3 Se pensiamo al vettore dr = dxi + dyj + dzk come ad un vettore spostamento infinitesimo, allora ω =< F, dr > rappresenta il lavoro effetuato da F in relazione a tale spostamento. Forme differenziali lineari 3 / 26

4 Integrale di seconda specie Sia ω C 1 (V ) e sia γ una curva regolare contenuta in V di equazione r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b] Definizione di integrale curvilineo di ω o integrale di seconda specie Si definisce integrale curvilineo di ω lungo γ F 1 (x, y, z) dx + F 2 (x, y, z) dy + F 3 (x, y, z) dz = b a γ [ F 1 (x(t), y(t), z(t))x (t) + F 2 (x(t), y(t), z(t))y (t)+ ] F 3 (x(t), y(t), z(t))z (t) dt Forme differenziali lineari 4 / 26

5 Interpretazione dell integrale γ ω Se come abbiamo fatto precedentemente consideriamo il campo vettoriale F(x, y, z) = F 1 (x, y, z)i + F 2 (x, y, z)j + F 3 (x, y, z)k e un vettore spostamento infinitesimo dr = dxi + dyj + dzk, allora l integrale γ ω = b a (F 1 x + F 2 y + F 3 z )dt rappresenta il lavoro che il campo F = (F 1, F 2, F 3 ) compie per spostare il suo punto di applicazione da r(a) a r(b) lungo la curva γ. Sono possibili altre interpretazioni e queste sono legate alla natura del Campo F. Forme differenziali lineari 5 / 26

6 Forme differenziali nel piano In modo analogo si definisce una forma differenziale ω nel piano e il suo integrale: ω = F 1 (x, y)dx + F 2 (x, y)dy con F(x, y) = ( F 1 (x, y), F 2 (x, y) ) campo vettoriale di classe C 1 (A), A aperto connesso di R 2, e se γ := (x(t), y(t)) é una curva regolare contenuta in A: γ ω = b a [F 1 (x(t), y(t))x (t) + F 2 (x(t), y(t))y (t)]dt Forme differenziali lineari 6 / 26

7 Data ω = ydx + xdy, calcolare γ ω, dove γ é la circonferenza di centro l origine e raggio 2 Forme differenziali lineari 7 / 26

8 Proprietá delle forme differenziali Siano ω 1, ω 2 forme differenziali lineari di classe C 1 (E) (E aperto connesso di R 3 o R 2 ), γ, γ 1, γ 2 curve regolari a tratti contenute in E, α, β R: 1. Linearitá rispetto all integranda αω 1 + βω 2 = α γ γ ω 1 + β ω 2 ; γ 2. Additivitá rispetto al cammino di integrazione ω = γ 1 γ 2 ω + γ 1 ω; γ 2 Forme differenziali lineari 8 / 26

9 Proprietá delle forme differenziali 3. Se γ 1 é equivalente a γ 2 (cioé si passa da γ 1 a γ 2 con un cambio di parametro che non muta il verso di percorrenza) ω = ω; γ 1 γ 2 4. se l orientazione di γ 1 é opposta a quella di γ 2 (cioé si passa da γ 1 a γ 2 con un cambio di parametro che muta solo il verso di percorrenza) si ha: ω = ω. γ 1 γ 2 Se γ é una curva chiusa si usa il simbolo ω γ Forme differenziali lineari 9 / 26

10 Forme differenziali esatte. Data una forma differenziale di classe C 1 (V ), V aperto connesso, essa si definisce esatta, se esiste una funzione differenziabile f (x, y, z) tale che Questo equivale a dire che df = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz f x = F 1, f y = F 2, f z = F 3 ( f = F). f si chiama funzione potenziale (dalla fisica). Forme differenziali lineari 10 / 26

11 Osservazione. Se f é una funzione potenziale, lo é anche f + c, con c una costante. Teorema (di integrazione delle forme esatte) Se ω é esatta in V e γ é una curva regolare interna a V con parametrizzazione r(t), t [a, b] ω = f (x(b), y(b), z(b)) f (x(a), y(a), z(a)). γ Oss. Se V é un aperto connesso di R 2 allora ω = f (x(b), y(b)) f (x(a), y(a)). γ Dimostrazione. F 1 (x, y, z)dx + F 2 (x, y, z)dy + F 3 (x, y, z)dz = γ Forme differenziali lineari 11 / 26

12 b a [ f x (x(t), y(t), z(t))x (t) + f y (x(t), y(t), z(t))y (t)+ f ] z (x(t), y(t), z(t))z (t) dt = b a d f (x(t), y(t), z(t)) dt = f (x(b), y(b), z(b)) f (x(a), y(a), z(a)). dt Se la forma é esatta l integrale curvilineo non dipende dalla curva, ma solo dagli estremi. Il teorema si generalizza a curve regolari a tratti. Forme differenziali lineari 12 / 26

13 Teorema (di caratterizzazione delle forme esatte) Sia ω di classe C 1 (V ), V aperto connesso (in R 3 o R 2, le seguenti 3 affermazioni sono vere: i) ω é esatta in V ; ii)per OGNI curva chiusa γ V, risulta ω = 0; γ iii) se γ 1 e γ 2 hanno gli stessi estremi e lo stesso verso di percorrenza ω = ω. γ 1 γ 2 Forme differenziali lineari 13 / 26

14 Dimostriamo ad esempio i) ii). Si utilizza il Teorema di integrazione delle forme esatte, dopo aver spezzato la curva chiusa in due parti. ω = ω = (f (P 2 ) f (P 1 )) + (f (P 1 ) f (P 2 )) = 0. γ γ 1 γ 2 Forme differenziali lineari 14 / 26

15 Condizione necessaria Sia ω = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz, con ω C 1 (V ). Condizione necessaria affinché ω sia esatta in V é che risulti ovvero F 3 y = F 2 z F 1 z = F 3 x, F 2 x = F 1 y rot F = 0 La forma ω = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz tale che rot F =0 si chiama forma chiusa. In R 2, ω = F 1 dx + F 2 dy si dice chusa se F 2 x = F 1 y. Forme differenziali lineari 15 / 26

16 Dimostrazione in R 2 Se ω = F 1 dx + F 2 dy é esatta, allora esiste la funzione potenziale f tale che F 1 = f x F 2 = f y. Deriviamo la F 1 rispetto a y e F 2 rispetto a x. Per la f vale il teorema di Schwarz (sull invertibilitá dell ordine di derivazione delle derivate seconde): F 1 y = 2 f x y = 2 f y x = F 2 x. Ne consegue che F 1 y = F 2 x. Forme differenziali lineari 16 / 26

17 Dimostrazione in R 3 Sia ω una forma differenziale esatta in R 3. Allora i j k rot F = x y z F 1 F 2 F 3 = i j k x y z f f = 0 x f y z Forme differenziali lineari 17 / 26

18 Data ω = x 2 dx + ydy + z 3 dz, dimostrare che é chiusa in R 3 Forme differenziali lineari 18 / 26

19 integrabilitá delle forme esatte. Osserviamo che, una volta dimostrato che ω é esatta, essendo l integrale curvilineo di una forma esatta indipendente dalla curva γ, possiamo allora sostituire γ con una curva di comodo, come ad esempio, una spezzata a lati paralleli agli assi. Nel piano costruiamo la funzione potenziale f (x, y) ponendo f (x, y) = x x 0 F 1 (ξ, y 0 )dξ + y y 0 F 2 (x, η)dη. Forme differenziali lineari 19 / 26

20 Nello spazio si avra (ad esempio): f (x, y, z) = x y F 1 (ξ, y 0, z 0 )dξ + F 2 (x, η, z 0 )dη + x 0 y 0 z z 0 F 3 (x, y, t)dt. Forme differenziali lineari 20 / 26

21 Condizione sufficiente affinché ω sia esatta. Condizione sufficiente Sia V un insieme semplicemente connesso ed ω = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz chiusa (rot F = 0), allora ω é esatta in V. Forme differenziali lineari 21 / 26

22 Data la forma differenziale ω = 2x 3 dx + (x 2 y 2 )dy, integrarla lungo la spezzata che é la frontiera del triangolo di vertici (0, 0), (1, 1) e (2, 0), percorsa in senso antiorario. Forme differenziali lineari 22 / 26

23 Data la forma differenziale ω = [sin(x + y) + x cos(x + y)]dx + [x cos(x + y)]dy, 1. dimostrare che é esatta nel suo campo di definizione; 2. trovare la funzione potenziale; 3. integrarla lungo la spezzata che é la frontiera del triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (0, 1), percorsa in senso antiorario. Svolgimento F 1 1. y = cos(x + y) xsin(x + y) = F 2 x. Quindi ω é una forma differenziale chiusa. Il campo di definizione di ω é tutto il piano R che é un insieme semplicemente connesso. Per il teorema sulla condizione sufficiente per la forma esatta abbiamo che ω é esatta. Forme differenziali lineari 23 / 26

24 2. Essendo ω esatta allora esiste la funzione potenziale f (x, y) tale che f x = sin(x + y) + x cos(x + y), f y = x cos(x + y) Dalla relazione f y = x cos(x + y), integrando (rispetto a y) si ricava, a meno di una costante che dipende da x f (x, y) = x sin(x + y) + φ(x). Si trova φ(x) derivando la f rispetto a x ed eguagliandola alla F 1 prima componente della forma: f x = sin(x + y) + x cos(x + y) + φ (x) = F 1, si deduce φ (x) = 0, φ = cost. La funzione potenziale é f (x, y) = x sin(x + y). 3. L integrale vale zero perché la curva é chiusa e la forma é esatta in R 2. Forme differenziali lineari 24 / 26

25 Osservazione. Se la forma non é esatta, l integrale su una curva chiusa puó essere zero o diverso da zero. Forme differenziali lineari 25 / 26

26 Data ω = 2xy 3 dx + 3x 2 y 2 dy 1. dimostrare che é esatta in R 2 ; 2. calcolare la funzione potenziale. Svolgimento 1. La forma ω é chiusa ( F 1 y = F 2 x ) in un aperto semplicemente connesso (R 2, che é anche il suo campo di esistenza). Quindi ω (essendo chiusa in un insieme semplicemente connesso) é esatta. 2. Essendo ω esiste la funzione potenziale f (x, y): f (x, y) = x 0 0 dx + y 0 3x 2 η 2 dη = x 2 y 3. Forme differenziali lineari 26 / 26