Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini)

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1 Analisi Matematica II (Prof. Paolo Marcellini) Università degli Studi di Firenze Corso di laurea in Matematica Esercitazione del /3/4 Michela Eleuteri web.math.unifi.it/users/eleuteri Nel seguito indichiamo con [MS] il testo: P. Marcellini, C. Sbordone : Esercitazioni di Matematica, volume, parte seconda, Liguori Editore, 995. Formule di Gauss-Green premessa: (vedi [MS], pag. 374 e segg.) Per ogni A dominio regolare di R, e f = f(x, y) funzione di classe C (A), valgono le seguenti relazioni, dette formule di gauss-green f dx dy = f dy () A x A + f dx dy = f dx () y A + A dove A + è la frontiera di A orientata positivamente. Mettendo insieme le due formule, si ha che data una forma differenziale con coefficienti di classe C del tipo ω = (P, Q), allora ω = P dx + Q dy = (Q x P y ) dx dy, (3) γ + γ + A dove γ è il bordo di A orientato positivamente. all esercizio 6.3 si possono ricavare le formule per esprimere l area di ogni dominio regolare, in questo modo area(a) = dx dy = A x dy γ + (4) e anche È vietata la diffusione e la riproduzione di questo materiale o parte di esso (particolarmente a fini commerciali) senza il consenso della sottoscritta. Queste note, che riprendono in parte gli esercizi svolti durante le ore di esercitazioni frontali, costituiscono parte integrante (ma non esclusiva!) del corso di Analisi II e pertanto, ai fini dell esame, devono essere adeguatamente integrate con il materiale indicato dal docente titolare del corso.

2 area(a) = dx dy = A ( y) dx γ + (5) o anche mettendo insieme (4) e (5) (oppure direttamente dalla (), ponendo Q = x e P = y, da cui Q x = e P y = ) area(a) = dx dy = ω (6) A γ + dove ω(x, y) = ( y, x) (si noti si tratta di una forma NON esatta, altrimenti tutti gli integrali fatti lungo curve chiuse sarebbero stati nulli). Osserviamo pertanto che le formule di Gauss-Green possono essere usate in due direzioni possibili: usando integrali doppi per calcolare integrali curvilinei (di forme differenziali); usando integrali curvilinei (di forme differenziali) per calcolare integrali doppi (ad esempio: area di domini piani, magari racchiusi da curve) In particolare noi vedremo esercizi che vanno in entrambe queste direzioni. Esercizio.. Usare le formule di Gauss-Green per valutare l integrale: γ + (y dx + xdy) dove: (i) γ è il bordo del quadrato di vertici (, ), (, ), (, ), (, ); (ii) γ è l ellisse x /a + y /b =. (i) Usiamo la formula (3); nel nostro primo caso il dominio A è dato dal quadrato e γ è il perimetro del quadrato. Inoltre P = y e Q = x da cui Q x = e P y = y. Pertanto si ha (y dx + xdy) = ( y) dx dy = ( y) dx dy = [y ] dx =. γ + A (ii) Le premesse sono le stesse che nel punto precedente, solo che in questo caso A è l ellisse x /a + y /b = in forma canonica che possiamo parametrizzare nel seguente modo: x = aρ cos θ y = bρ sin θ J = a b ρ (7) essendo J il modulo del determinante della matrice Jacobiana corrispondente alla trasformazione. Pertanto π (y dx + xdy) = ( y) dx dy = a b ρ ( bρ sin θ) dρdθ γ + π π = a b ρ a b ρ sin θ dρ dθ

3 = π a b a b ( = π a b + = π a b. ) ( π ) ρ dρ sin θ dθ Alternativamente si poteva osservare, prima di passare in coordinate polari, che la seconda parte della funzione integranda y è ovviamente una funzione dispari nella variabile y mentre il dominio (l ellisse) è ad esempio simmetrico rispetto all asse y, pertanto il contributo dovuto a quella parte di integrale risulta nullo; rimane pertanto l integrale di sull ellisse cioè l area dell ellisse che vale dunque π a b. Confronteremo questo risultato con quello dell esercizio successivo. Esercizio.. Usare le formule di Gauss-Green per valutare l area dell ellisse x /a + y /b =. Usando la formula (6), dove nel nostro caso A è l ellisse (bordo dell ellisse, non la parte interna!) che si può pertanto descrivere parametricamente con x = a cos θ y = b sin θ θ [, π); (8) si noti la differenza tra (7) e (8)! La prima rappresenta parametricamente tutta la parte interna dell ellisse, ed è pertanto descritta da una trasformazione del piano in sé; la seconda descrive il bordo dell ellisse, quindi una curva e pertanto un solo parametro varia. Alla fine dunque si ottiene Esercizio.3. area(a) = = π π ( b sin θ, a cos θ) ( a sin θ, b cos θ) dθ (a b sin θ + a b cos θ) dθ = π a b dθ = π a b. Calcolare l area racchiusa dalla curva piana (astroide) di equazioni parametriche { x = cos 3 θ y = sin 3 t [, π]. θ Usiamo la formula (6). Indicata con A l astroide si ha area(a) = = = 3 = 3 6 γ + ( y dx + x dy) = π π 4π π (3 cos θ sin 4 θ + 3 sin θ cos 4 θ) dθ = [ ] sin(θ) dθ = 3 π sin (θ) dθ 8 sin z dz = 3 [ z 6 ] 4π sin z cos z ( sin 3 θ, cos 3 θ) ( 3 cos θ sin θ, 3 sin θ cos θ) dθ π = 3 8 π. 3 cos θ sin θ[sin θ + cos θ] dθ 3

4 Esercizio.4. Sia γ una curva chiusa semplice e regolare di equazione polare ρ = f(θ), θ [θ, θ ]. Se γ è la frontiera di A, dimostrare che: area(a) = θ θ [f(θ)] dθ. Se la curva data è espressa in forma polare allora una curva parametrica è data da { x(θ) = f(θ) cos θ γ(θ) = y(θ) = f(θ) sin θ da cui si ottiene γ (θ) = A questo punto, usando la formula (6) si deduce area(a) = = = Esercizio.5. θ θ θ θ θ θ { x (θ) = f (θ) cos θ f(θ) sin θ y (θ) = f (θ) sin θ + f(θ) cos θ. ( f(θ) sin θ, f(θ) cos θ) (f (θ) cos θ f(θ) sin θ, f (θ) sin θ + f(θ) cos θ) dθ [ f(θ)f (θ) sin θ cos θ + f(θ) sin θ + f(θ)f (θ) cos θ sin θ + f(θ) cos θ] dθ [f(θ) ] dθ. Calcolare l area del dominio piano compreso tra la curva di equazioni parametriche x = t t, y = t, t, e l asse y. Il dominio piano richiesto dal testo è formato dalla parte di piano contenuto nel primo quadrante e compreso tra la curva data e l asse y. Se t = allora x() = e y() = mentre se t = /, x(/) = mentre y(/) = /4. Quindi il bordo di tale dominio è costituito dalla curva x(t) = γ (t) = t t t y(t) = t percorsa nel verso antiorario che coincide con il verso di percorrenza di t (cioè dal punto O = (, ) al punto P = (, /4)), unita alla curva γ costituita dal segmento OP percorso dal punto P al punto O; pertanto ad esempio prendendo la parametrizzazione γ (t) = (, t) t /4 si dovrà considerare un segno meno nell integrale di linea corrispondente a causa del differente verso di parametrizzazione necessario. 4

5 Riassumendo si ha Area(A) = ( y dx + x dy) = ( y dx + x dy) ( y dx + x dy) γ + γ γ = / ( t, ) ( ) t t t, t dt /4 ( t, ) (, ) dt = / t dt = Si provi per esercizio che lo stesso risultato si poteva ottenere semplicemente usando le formule (4) e/o (5). Esercizio.6. ati i punti O(, ), A(, ), B(, ), sia γ la curva chiusa data dall unione del segmento OA, dall arco di circonferenza di centro O e raggio che congiunge A con B e dal segmento BO. Calcolare l integrale curvilineo γ ω (usando la definizione) dove γ è orientata in senso antiorario e ω è la forma differenziale ω = 3x x + y + dx 3y x + y + dy. Successivamente verificare il risultato ottenuto usando le formule di Gauss-Green. Parametrizziamo la curva γ. Si ha: dove γ = γ + γ + γ 3 γ (t) = (t, ) t γ (t) = (, ) γ (t) = (cos t, sin t) t π/ γ (t) = ( sin t, cos t) γ 3 (t) = (, t) t γ 3 (t) = (, ) dove però (attenzione ai segni!) A questo punto Analogamente Infine γ ω = γ 3 ω = = γ ω = π/ ω(γ (t)) γ (t) dt = γ ω = ω + γ ω γ ω. γ 3 ω(γ 3 (t)) γ 3(t) dt = π/ ω(γ (t)) γ (t) dt = 3t t + dt = 3 log(t + ) 3t t + dt = 3 log(t + ) π/ ( 3 cos t 3 sin t cos t dt = 3 [sin t] π/ = 3. 5 = 3 log. ( sin t) 3 sin t = 3 log. ) cos t dt

6 unque riassumendo, e tenendo conto dei segni davanti agli integrali si ha ω = log. γ Verifichiamo ora il risultato ottenuto applicando la formula di Gauss-Green (3). obbiamo calcolare il seguente integrale doppio ( ) 3y x x + y ( ) 3x xy + y x + y dx dy = + (x + y dx dy, + ) dove è il quarto di cerchio racchiuso dalla curva γ. Abbiamo due possibilità: primo modo: vediamo il quarto di cerchio come dominio normale rispetto a uno degli assi, per esempio: = {(x, y) R : x, y x } da cui xy (x + y dx dy = + ) ( = 3x + 6x x + x dx ) dx = xy (x + y + ) dy = [ 3 ] x + 3 log(x + ) secondo modo: passiamo in coordinate polari. Si ha: da cui [ 6x dx x + y + = log. = {(ρ, θ) R + [, π) : ρ, θ π/} ( ) xy π/ ( ρ 3 ) (x + y dx dy = sin θ cos θ dθ + ) (ρ + ) dρ. Occupiamoci prima di tutto dell integrale nella variabile ρ. Osserviamo che ( ) d dρ (ρ + ) = 4ρ + 4ρ 3 d e dρ (ρ = ρ + ) (ρ + ) da cui quindi riassumendo ρ 3 (ρ + ) dρ = 3 4ρ + 4ρ 3 (ρ + ) dρ 6 = 3 [ log[(ρ + ) ] ] [ ] ρ ρ (ρ + ) dρ = 3 log = 6 log 3. ( ) xy π/ ( (x + y + ) dx = ρ 3 ) sin θ cos θ dθ (ρ + ) dρ = [ cos(θ)]π/ [6 log 3] = log. 4 ] x 6

7 Esercizio.7. Si calcoli l integrale della forma differenziale ω(x, y) = (sin(y + x)dx + cos(x y)dy) lungo la curva data dai lati del triangolo di vertici (, ), (, ) e (, ), percorsi in senso antiorario. Questo esercizio può essere risolto in due modi. primo modo. Siano γ = {(x, y) R : y = x x } γ = {(x, y) R : x = y } γ 3 = {(x, y) R : y = x } Troviamo una parametrizzazione di questi tre segmenti. Si ha { x = t γ (t) = y = t { x = γ (t) = y = t t γ (t) = (, ). t γ (t) = (, ). γ 3 (t) = { x = t y = t 3 γ 3(t) = (, ). A questo punto ω = ω + ω + ω = {sin[( t) + t] ( ) + cos[( t) t] } dt γ γ γ γ {sin[( t) + ] + cos(t + ) ( )} dt {sin[t + ] + cos(t ) } dt = cos(t ) dt + 3 sin(t ) dt = sin sin( t) sin(t ) + sin( ) cos + = sin cos. cos(t ) [ sin + cos( t)] dt 3 = sin sin( ) + sin 7

8 secondo modo. Usiamo la formula (3). Nel nostro caso P = sin(y + x), Q = cos(x y), A è il triangolo di vertici (, ), (, ) e (, ). Allora γ ω = [ sin(x y) cos(y + x)] dx dy = A = + x cos(y + x) dy dx = ( cos(x + x) + cos x) dx + = [ ] sin(x ) x [ cos(x y)] sin(x y) dx dy x ( sin + sin x) dx + sin x sin + ( cos x) dx + [ sin(y + x)] x dx = sin + sin( ) + sin sin cos + = cos sin. Esercizio.8. Si consideri la curva γ in R chiusa, regolare, semplice, parametrizzata da Calcolare l area della regione limitata da γ. γ(t) = (t t, t t 3 ) t [, ]. Utilizzando ad esempio la formula (6), si ha che, detta E la regione limitata da γ Area(E) = x dy y dx. A questo punto + E γ (t) = ( t, 3t ) per cui, avendo osservato che la parametrizzazione proposta descrive la curva in senso antiorario ( esercizio) si ha Area(E) = + E x dy y dx = = [(t 3 t) ( t) + (t t )( 3t )] dt (t 4 t 3 + t ) dt = ( 5 + ) = 3 6. Il risultato conferma che l orientazione della curva era corretta (il valore dell area non può essere negativo). 8

9 Esercizio.9. Sia Quanto vale E = {(x, y) R : x + y 6, (x ) + y >, (x + ) + y > }. 3 y dx + x dy? 4 + E Utilizzando una conseguenza della formula di Gauss-Green nel piano, si ha che Area(E) = x dy y dx quindi applicandola al nostro caso E + E x dy y dx = 3 Area(E). Quindi essendo E la parte esterna ai due cerchi di raggio e rispettivamente di centro e e interna al cerchio di centro l origine e raggio 4, avrà area Area(E) = 6π π = 4π, quindi quello che si richiede è 3/Area(E) = π. Esercizio.. Sia la regione piana delimitata dall asse x e dall arco di parabola y = 4 x con x. Calcolare le coordinate del baricentro supponendo la densità costante e trasformando gli integrali doppi in integrali di linea. Ricordiamo le coordinate del baricentro ( x, ȳ) per un dominio piano come l insieme x = x dx dy ȳ = y dx dy. Parametrizziamo il bordo, dando un orientazione positiva, ossia in senso antiorario. segmento si ha γ (t) = (t, ) t [, ] da cui γ (t) = (, ). Per il altra parte, per la parte di curva il cui sostegno è la parabola, possiamo usare la seguente parametrizzazione e poi cambiare di segno all integrale corrispondente: γ (t) = (t, 4 t ) t [, ] con γ (t) = (, t). 9

10 A questo punto allora, usando per esempio la prima formula di Gauss-Green Q x dx dy = Q dy (9) si ottiene = = dx dy = + (, t) (, ) dt + x dy = x dy γ x dy γ (, t) (, t) dt = + t dt = 3 [t3 ] = 3 3. altra parte, per la simmetria del problema, il valore dell ascissa del baricentro dovrebbe essere zero. Ritroviamo questo risultato usando di nuovo la formula (9). Si ha x = x dx dy = 3 x 3 + γ dy = x γ dy x dy = t 3 dt =, perché integrale di una funzione dispari su un dominio simmetrico. Infine, usando stavolta la seconda formula di Gauss-Green P y dx dy = P dx + si ottiene ȳ = y dx dy = 3 y 3 + dx = = 3 (6 8t + t 4 ) dt = 3 [ 6t t3 + t5 5 Esercizi proposti dal testo [MS] γ y ] dx = 3 (4 t ) dt 3 ( = ) = Gli esercizi del testo [MS] sono tutti fortemente consigliati; in particolare si raccomanda di svolgere i seguenti: Esercizi: 6.7 (teorema della divergenza), 6.8 (formula di integrazione per parti), 6.9 (teorema di Stokes nel piano), 6.3 (area di domini regolari), 6.3, 6.34, 6.36, 6.37, 6.38, 6.39, 6.4, 6.4, 6.4, 6.43, Esercizi tratti da temi d esame di anni precedenti Esercizio 3.. tema d esame del maggio 4 Calcolare l area del dominio R delimitato dal segmento P Q di estremi P = ( 3π, ) e Q = ( π, ) e dal tratto di spirale di Archimede γ(t) = (t cos t, t sin t) con gli stessi estremi.

11 Un primo modo di risolvere l esercizio può essere trovato alla pagina del Prof. E. Paolini (che contiene anche il disegno dell insieme ) Qui riportiamo un modo alternativo di risolvere l esericizio attraverso l uso delle formule di Gauss-Green (nello specifico faremo uso della formula (6)). Nel nostro caso, il bordo del dominio è costituito dall unione di due curve: il tratto di spirale di Archimede e il segmento che unisce i punti P e Q. Per quanto riguarda la porzione di spirale, si verifica facilmente che la parametrizzazione proposta dal testo va in senso antiorario. Osserviamo che per t = π si ha γ(π) = ( π, ) = Q mentre per t = 3π si ha γ(3π) = ( 3π, ) = P, quindi la variabilità del parametro risulta π t 3π. Pertanto, essendo γ (t) = ( t sin t + cos t, t cos t + sin t) si ottiene = γ( ydx+xdy) 3π π ( t sin t, t cos t) ( t sin t+cos t, t cos t+sin t) dt = 3π π t dt = 3 3 π3. altra parte, per ricavare una parametrizzazione del segmento, possiamo ad esempio considerare la seguente γ(t) = (t, ) 3π t π γ (t) = (, ). Osserviamo però che tale parametrizzazione unisce (nell ordine) P con Q, mentre per percorrere il bordo del nostro dominio in senso antiorario, avremmo bisogno di considerare il verso opposto. Per tener conto di questo, basta considerare un segno meno nel corrispondente integrale curvilineo. altra parte si ha π ( ydx + xdy) = (, t) (, ) dt = γ quindi, indipendentemente dal verso della parametrizzazione, l area richiesta vale 3 3 π3. Esercizio 3.. 3π tema d esame del 7 settembre 6 Calcolare l integrale γ ω della forma differenziale ω = ydx xdy sulla curva γ = + che percorre, in senso antiorario, il bordo del settore circolare = {(x, y) R : x + y, x y }. Innanzitutto osserviamo che, da un confronto con la formula (6), si ha che, detto I = ω = area(). () + Ora descriviamo l insieme per esempio per mezzo delle coordinate polari = {(ρ, θ) R + [, π) : ρ, θ π/4 7/4π θ π}. Per ragioni di simmetria di sin θ e cos θ, questo è equivalente a considerare π/4 θ π/4.

12 A questo punto allora da cui, dalla () area() = dx dy = π/4 I = π. π/4 ρ dρ dθ = π 4 Verifichiamo che questo risultato è corretto calcolando direttamente l integrale I con la definizione. Chiamiamo γ = + il bordo del settore circolare orientato positivamente. Si ha γ = γ γ γ 3 dove γ (t) = (cos t, sin t) π/4 t π/4 γ (t) = ( sin t, cos t) γ (t) = (t, t) t γ (t) = (, ) γ 3 (t) = (t, t) t γ 3 (t) = (, ) e (si notino i segni dovuti all orientazione che deve essere positiva, cioè in senso antiorario!) I = ω γ ω + γ ω. γ 3 A questo punto allora mentre e analogamente γ ω = π/4 π/4(sin t, cos t) ( sin t, cos t) dt = π γ ω = γ 3 ω = e si ritrova il risultato desiderato. Esercizio 3.3. / / (t, t) (, ) dt = ( t, t) (, ) dt = tema d esame del 7 gennaio 7 Si consideri il dominio piano C = [, 3] [, 3] \ (, 3] (, ). Calcolare C + (x + y ) dy. Possiamo usare la formula (3) dove nel nostro caso si ha P =, Q = x + y quindi Q x = e (x + y ) dy = dx dy = area(c) C + C

13 ma l area di C si calcola con metodi elementari (si tratta dell area di un rettangolo a cui si sottrae l area di un quadrato) e pertanto semplicemente C + (x + y ) dy = 6 = 5. Esercizio 3.4. tema d esame del 7 gennaio 7 opo averla disegnata, calcolare l area della regione di piano racchiusa dalla curva γ(t) = (sin(t), sin t) t [, π] Si veda la soluzione alla pagina web del Prof. Paolini Esercizio 3.5. tema d esame del 7 giugno Per mezzo della formula di Gauss-Green f dx dy = f dx y + calcolare l integrale doppio dx dy y esteso alla regione R del piano (x, y) delimitato al di sopra della retta di equazione y = / e al di sotto dell arco di ciclioide x(t) = t sin t y(t) = cos t t [, π] Prima di tutto osserviamo che intersecando la retta con la cicloide otteniamo y(t) = / cos t = / t = π 3 t = 5 3 π da cui x := x(t ) = π 3 3 x := x(t ) = 5 3 π + 3. Quindi + è costituito da due curve: γ che è il segmento della retta y = / compresa tra i valori x e x e γ che rappresenta il tratto di cicloide compreso tra i valori t e t (ma percorso in senso opposto alla parametrizzazione suggerita dal testo). Si ha dunque (attenzione ai segni!) + = γ γ dx dy = y + ( y 3 ) dx = γ ( dx + dy y ) γ ( dx + dy y )

14 A questo punto γ (t) = ( t, ) γ (t) = (t sin t, cos t) Riassumendo si ha dunque + y dx = 5/3π+ 3/ π/3 3/ 5/3π ( ) dt π/3 cos t π 3 3 t π + γ (t) = (, ) π 3 t 5 3 π γ (t) = ( cos t, sin t) ( cos t) dt = 8 3 π π = 4 3 π