Analisi a più variabili: Integrazione sulle curve e superfici, forme differenziali

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1 Analisi a più variabili: Integrazione sulle curve e superfici, forme differenziali 1

2 Definizione (Parametrizzazione di T): T R n, una sua parametrizzazione è una coppia φ, con = a, b intervallo di R e φ: R n continua φ = T Possiamo indicarla con la notazione γ φ,, T Definizione (Parametrizzazione di classe C k ): γ C k φ C k Se è chiuso allora γ C k esiste un intervallo aperto I γ φ, I, T C k Definizione (Parametrizzazione regolare): γ φ,, T C 1 è detta regolare se φ t 0 in R n t Se φ è C 1 a tratti (Ma globalmente C 0 ) deve essere regolare su ogni tratto di una partizione. Definizione (Parametrizzazione semplice): Una parametrizzazione γ φ,, T è semplice se φ: R n è iniettiva. Se è chiusa dobbiamo dimostrare che valgono le proprietà per un I aperto e φ estensione. Definizione (Parametrizzazioni equivalenti): Date due parametrizzazioni: γ 0 φ 0, 0, T γ 1 φ 1, 1, T Tali che Imm φ 0 = Imm φ 1, allora: φ è equivalente a φ X: 0 1 diffeomorfismo, di classe C 1 e invertibile, con X t 0 t 0 tale che φ 0 t = φ 1 X t Definizione (Curva orientata): Fissata l'immagine T di una parametrizzazione è la classe di equivalenza delle parametrizzazioni su quell'immagine. La notazione per indicare una curva è mediante una qualsiasi delle sue parametrizzazioni φ equivalenti. Definizione (Orientamento): Se due parametrizzazioni sono equivalenti e X è positiva si dice che l'orientamento è coincidente. Se due parametrizzazioni sono equivalenti e X è negativa si dice che l'orientamento è opposto. Quindi abbiamo due classi di equivalenza distinte. Curva regolare e curva semplice seguono dalla definizione di parametrizzazione regolare e semplice. 2

3 Lemma di equivalenza (ND pagina 7): Dati due intervalli chiusi 0 ; 1, se: φ 0 : 0 T R n regolare e semplice e φ 1 : 1 T R n funzione di classe C 1 allora sono equivalenti: φ 1 s 0 s 1 γ 0 φ 0, 0, T ~γ 1 φ 1, 1, T Lemma (ND pagina 8): φ, a, b, T ~ φ 0, 0,1, T Inoltre le due parametrizzazioni della curva hanno la stessa orientazione. Somma fra due cammini (Curve orientate): Date due curve C 1 ; C 2 con estremi coincidenti la somma è la curva riparametrizzata dal primo punto della prima al secondo della seconda. Si indica con C 1 + C 2 Data una curva C si può trovare sempre un'altra curva che sommata alla prima dia una curva chiusa, si indica con C Curve rettificabili: Data una partizione dell'intervallo possiamo definire la lunghezza di un elemento della partizione e dunque la lunghezza della poligonale è: n i=1 φ t i, φ t i 1 Definiamo perciò la lunghezza della curva come: n L φ = sup Partizioni φ t i, φ t i 1 i=1 Se questo valore è finito diciamo che la curva è rettificabile. La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione La lunghezza non dipende dall'orientazione L C 1 + C 2 = L C 1 + L C 2 b a Formula pratica per curve C 1 φ t dt 3

4 Integrale curvilineo di 1 a specie (Integrale di linea): Υ = φ: a, b = R n Curva ; f: R n R continua, φ C 1, l'integrale curvilineo di prima specie è definito come: f Υ b a f φ t φ t dt Proprietà: Υ 1, Υ 2 C 1 con φ 1 b 1 = φ 2 a 2 Υ C 1 Υ f = f Υ Υ 1 +Υ 2 f = f Υ 1 L'integrale di 1 a specie non dipende dall'orientazione. + f Υ 2 Integrale curvilineo di 2 a specie: Υ = φ: a, b = R n ; F: R n R continua, φ C 1, l'integrale curvilineo di seconda specie è definito come: F Υ F t dt Υ b = F φ t, φ t a Proprietà: Υ 1, Υ 2 C 1 con φ 1 b 1 = φ 2 a 2 Υ C 1 Υ F = F Υ Dipende dall'orientazione. Υ 1 +Υ 2 dt F = F Υ 1 + F Υ 2 4

5 Forme differenziali: Dato lo spazio R n dotato della base canonica e 1,, e n, definiamo il funzionale: dx j e j con dx j e i = δ ji Questi formano una base dello spazio duale, generano dunque tutti i funzionali. Definizione (Forma differenziali di grado 1): E' una applicazione x ω x definita su di un aperto U R n a valori nel duale R n ω: R n R lineare, ω è una forma differenziali di grado 1 in R n ha una rappresentazione locale: ω = n j =1 ω j x dx j con ω j x C u aperto Integrale di una forma differenziale: Υ = φ: a, b = R n ; φ C 1, l'integrale curvilineo è definito come: n Υ ω j =1 ω j dx Υ j = j =1 ω j φ t φ j t dt a Proprietà: Υ 1, Υ 2 C 1 con φ 1 b 1 = φ 2 a 2 Υ C 1 Υ ω = ω Υ Dipende dall'orientazione. n b Υ 1 +Υ 2 ω = ω Υ 1 + ω Υ 2 Definizione (Forma esatta): Se F ω = F (Equivalente ω j = j F) la forma si dice esatta. Proprietà (D1 3 1 Lemma di Poincarè ; 1 2 ; 4.22): Se ω è una 1-forma di classe C n sono equivalenti: 1) ω è esatta. 2) curva chiusa Υ di classe C 1 (o C 1 a tratti) vale ω Υ 3) Υ 1, Υ 2 con φ 1 a = φ 2 a ; φ 1 b = φ 2 b risulta: ω Υ 1 = ω Υ 2 (Il cammino dipende solo dagli estremi) Definizione (Forma chiusa): n Sia ω = j =1 ω j x dx j C 1 in un aperto U R n ω è una forma chiusa se x k ω j x = x j ω k x Osservazioni: Forma esatta Forma chiusa Una forma chiusa su di un semplicemente connesso è esatta. 5

6 Integrale di funzioni complesse: Data una funzione f: U C si dice olomorfa se è differenziabile in senso complesso in ogni punto z 0 di un aperto U di C. f x, y = u x, y + iv x, y olomorfa allora (Equazioni di Cauchy Riemann): le derivate parziali. Vale u = v ; u = v x y y x Esempi: f z = cos z f z = sin z f z = pol z f z = e z Composizione di olomorfe è olomorfa. 6

7 Integrale di superficie: Definizione (Superficie): E' uno spazio T2 tale che x 0 esiste V aperto tale che x 0 V ed esiste un omeomorfismo φ: U R 2 V ; φ 1 : V U Definizione (Carta locale o parametrizzazione di ): E' una coppia φ, U con φ: U continua. La notazione con cui si indica è σ φ, U Definizione (Parametrizzazione di classe C k ): Se φ C k U Definizione (Parametrizzazione regolare di R 3 ): Se è di classe C 1 e φ u ha rango 2 per ogni u U Definizione (Parametrizzazioni equivalenti): σ 0 φ 0, U 0 e σ 1 φ 1, U 1 sono equivalenti σ 0 ~σ 1 se esiste un diffeomorfismo: X: φ 0 1 V 01 φ 1 1 V 01 Con V 01 = φ 0 U 0 φ 1 U 1 Se rispettano: φ 0 u = φ 1 X u ; u φ 0 1 V 01 det X u 0 ; u φ 0 1 V 01 Definizione (Orientazione): Se il Jacobiano è positivo hanno la stessa orientazione. Se il Jacobiano è negativo hanno orientazione opposta. Definizione (Superficie regolare): Sia R n ; n 3 ed F = σ k φ k, U k, W k, k = 1,, una famiglia di parametrizzazioni (Atlante) tali che: 1) U k, W k sono aperti φ k : U k W k è una funzione C 1 U k tale che φ k u ha rango 2 per ogni u U k 2) W k B x k, r k dove B x k, r k = x R n ; x x k < r k e k B x k, r k cioè sono un ricoprimento di 3) U k sono intervalli aperti in R 2 4) i j tale che W k W j esiste un diffeomorfismo: X jk : φ j 1 W k W j φ k 1 W k W j tale che: φ j u j = φ k X jk u j ; u j φ j 1 W j W k Allora, F si chiama superficie regolare. Se è compatto allora l'atlante può essere scelto finito. 7

8 Aggiungere due parole pagina 64, partizione dell'unità e superfici orientabili, superfici con bordo, superfici con bordo orientabili 8

9 Integrale di superficie di 1 a specie: Date: Una superficie con parametrizzazione φ: U R 2 R n Una funzione f: R n R fds = f φ u, v U u φ u, v v φ u, v dudv Osservazioni: La seconda parte è l'area, infatti: Area U = ds = U u φ u, v v φ u, v dudv U Non dipende dall'orientazione. Osservazione (Prodotto vettore): i j k a 2 b 3 a 3 b 2 a b = det a 1 a 2 a 3 = a 3 b 1 a 1 b 3 b 1 b 2 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Lemma (ND ; 3.76): Date due parametrizzazioni 1 φ, U e 2 θ, V equivalenti e tali che φ U = θ V allora esiste un diffeomorfismo X: U V con det X u 0, u U ; φ u = θ X u Inoltre se f è una funzione continua allora 1 fds = fds 2 L'integrale di superficie di 1 a specie non dipende dalla parametrizzazione e dall'orientazione. 9

10 Forme differenziali di grado 2 nello spazio euclideo: Definizione (Forme bilineari): E' una mappa φ: R n R n R che sia lineare su entrambe le componenti. Definizione (Forme antisimmetriche): φ v, w = φ w, v Indichiamo con A 2 R n lo spazio vettoriale delle forme bilineari antisimmetriche di R n Ogni forma bilineare antisimmetrica può essere rappresentata come: φ u, v = u, Av ; A t = A Lemma (ND ; 4.79): Una forma è antisimmetrica se e solo se φ v, v = 0 v R n Lemma (ND): Se φ è una forma bilineare antisimmetrica, v 1, v 2 due vettori in R n allora abbiamo la relazione: 2 k 1,k 2 =1 b k1,k 2 φ v k1, v k2 = det B φ v 1, v 2 Per ogni matrice B = b 11 b 12 b 21 b 22 Osservazione (Scomposizione): Ogni matrice antisimmetrica si scrive come: 0 a 12 a 13 A = a 12 0 a 23 a 13 a 23 0 Dunque ammette una scomposizione della forma: A = a 12 J 12 + a 13 J 13 + a 23 J 23 Con: J 23 = ; J 13 = ; J 12 =

11 Definizione (dx 1 dx 2 ): Sia dx 1 dx 2 A 2 R 3 la forma bilineare antisimmetrica che corrisponde a J 12. Se e 1, e 2, e 3 è una base canonica di R 3 e v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ; w = w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 sono due vettori allora: dx 1 dx 2 v, w = v, J 12 w Definizione (dx k1 dx k2 ): Questa base delle forme bilineari antisimmetriche in R n è definita come: dx k1 dx k2 A 2 R n ; n 3 con: dx k1 dx k2 e j1, e j2 = 0 se j 1, j 2 k 1, k 2 1 se j 1 = k 1 ; j 2 = k 2 1 se j 1 = k 2 ; j 2 = k 1 Osservazioni: dx k1 dx k2 = dx k2 dx k1 dx k dx k = 0 Ogni forma bilineare si può scrivere come: φ = dx k dx j Definizione (2-forma): Una 2-forma è un'applicazione x a x definita su di un aperto U R n che ad ogni x U associa una forma bilineare antisimmetrica a x = a jk dx j dx k Osservazione (Differenziale di una 1-forma): Data la 1-forma ω = ω j x dx j Siccome dω dω j x dx j e dω j = xk ω j x dx k otteniamo: dω = xk ω j x xj ω k x dx k dx j Osservazione (Forma esatta): La 2-forma a si dice esatta se esiste una 1-forma ω tale che a = dω Pull Back delle forme differenziali: ROBA ROVA ROBA Lemma (ND ; 4.84): Lemma (ND ; 4.85): Lemma (ND ; 4.86): 11

12 Integrali delle forme differenziali di grado 2 sulle superfici: ROBA Definizione (Integrale di superficie di ω): ROBA Dipende dall'orientazione. MANCA UN MUCCHIO DI ROBA 12

13 Formula di Stokes - Green: Lemma (D ; 4.93): Se il punto x, W intorno di x con parametrizzazione φ: U R 2 W ed a una forma con coefficienti con supporto in W allora: da W = 0 Lemma (D ; 4.94): Se il punto x, W intorno di x con parametrizzazione φ: U R 2 W ed a una forma con coefficienti con supporto in W allora: da W = a W Formula di Stokes - Green (D ; 4.96): Se = R n ; n 3 è una superficie regolare orientabile con bordo e a x è una 1-forma allora: da = a 13

14 Formula di Stokes - Gauss in R 3 : Sia U R 3 un aperto connesso e limitato con frontiera regolare di classe C 1 tale che U = 1 n unione disgiunta di superfici regolari e connesse. Data una 2-forma ω = ω 1 x dx 2 dx 3 ω 2 x dx 1 dx 3 + ω 3 x dx 1 dx 2 sappiamo che il differenziale di ω è: dω = 2 j =1 xj ω j x dx 1 dx 2 dx 3 Formula di Stokes nello spazio (D?????): N Se U aperto R 3 e U = j =1 j superfici regolari, compatte e connesse allora: dω = U ω U 14

15 Formula di Gauss - Green: Sia U R 3 un aperto connesso e limitato con frontiera regolare di classe C 1 tale che U = 1 unione disgiunta di superfici regolari e connesse. Dato un campo vettoriale: A x : U R 3 ; A x = A 1 x, A 2 x, A 3 x Siccome Digitare l'equazione qui. n ROBA ROBA ROBA Lemma (D ; 4.114): Formula di Gauss- Green (D ; 4.115): Se U aperto R 3 15