si dirà campo vettoriale (stazionario). j il campo vettoriale si dice piano. Invece la espressione

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1 Campi Vettoriali e Forme Differenziali Prima Parte Tutte le funzioni presenti in questo capitolo sono per ipotesi sufficientemente regolari Terminologia e Notazioni: In questo capitolo ogni funzione si dirà campo ( ) vettoriale (stazionario) Se F, per i =,,, sono le coordinate di F allora il campo si può rappresentare nella forma i F( x, yz, ) = F( xyz,, ) i+ F( xyz,, ) j+ F( xyz,, ) k F : R R Se R e F( x, y) = F( x, y) i+ F( x, y) j il campo vettoriale si dice piano Invece la espressione F ( x, y, z) dx + F ( x, y, z) dy + F ( x, y, z) dz, prende il nome di forma differenziale con coefficienti le funzioni F i L espressione Campo Vettoriale trae origine da svariate applicazioni fisice in cui gli elementi di sono punti dello spazio, mentre i valori della funzione sono vettori applicati (campo di forze, campo delle velocità), e ciò in contrasto con i campi scalari in cui i valori assunti sono numeri reali (pressione, temperatura) f f f Il differenziale (primo) ( df = dx + dy + dz ) di una funzione differenziabile x y z f : R R è una forma differenziale Se F ( x, yz, ) è un campo di forze, F ( x, y, z) dx + F ( x, y, z) dy + F ( x, y, z) dz rappresenta il lavoro ce la forza fa per spostare un corpo dalla posizione ( x, yz, ) alla posizione ( x + dx, y + dy, z + dz) ; tale lavoro spesso è denotato brevemente con il simbolo dl, simbolo ce non potrà (non dovrà) essere confuso con quello utilizzato per denotare il differenziale primo di una funzione differenziabile in quanto qui L non è una funzione questo punto è naturale la seguente definizione Definizione: Sia F ( x, yz, ) un campo in un aperto e una curva parametrizzata regolare contenuta in ; siano inoltre P e Q due punti di Dicesi integrale curvilineo del campo vettoriale F ( x, yz, ) (oppure della forma differenziale F ( x, y, z) dx + F ( x, y, z) dy + F ( x, y, z) dz ) lungo la curva tra i punti P e Q t F dr = F ( x, y, z) dx + F ( x, y, z) dy + F ( x, y, z) dz = F( r ( t)) r ( t) ( PQ, ) ( PQ, ) ( ) m n L espressione campo vettoriale generalmente è riferito a funzioni definite in I R R a valori in R, dove la variabile t I è una variabile temporale L aggettivo stazionario è utilizzato evidenziare il fatto ce il campo è indipendente dal tempo

2 t = [ F( x( t), y( t), z( t)) x ( t) + F( x( t), y( t), z( t)) y ( t) + F( x( t), y( t), z( t)) z ( t) ] dove rt ()( = xt () i + yt () j+ zt () k) è una parametrizzazione della curva, mentre e t sono i parametri dei punti P e Q nella parametrizzazione considerata La nozione di integrale curvilineo si estende facilmente alle curve generalmente regolari, cioè alle curve continue ce sono unione di curve parametrizzate regolari (si pensi per esempio ad una spezzata) Si provano facilmente le seguenti due propretà: F dr + F dr = F dr ( PQ, ) ( QS, ) ( PS, ) (qui è la curva generalmente regolare unione di ( PQ, ) e ( QS, ), ce anno in comune l estremo Q ) F dr = F dr ( PQ, ) ( QP, ) (L integrale lungo una curva ciusa è univocamente individuato se è assegnato il verso di percorrenza Talvolta l integrale lungo una curva ciusa di un campo dicesi circuitazione e come notazione si utilizza il simbolo ) Se il campo vettoriale è un campo di forze, l integrale curvilineo è il lavoro ce la forza fa nello spostare un corpo lungo la curva dal punto P al punto Q Esercizio: ) Calcolare ydx + xdy dove è la circonferenza di centro () e raggio percorsa in senso orario Soluzione: Una parametrizzazione di è rt ( ) = costi + sin tj, t [, π ], ce percorre la circonferenza (al crescere di t ) in senso antiorario llora π ydx + xdy = [ sin t( sin t) + cos t(cos t) ] = 8π x ) Calcolare l integrale del campo F( x, yz, ) = ei+ ( x+ y) j+ ( y+ z) k lungo la curva la cui parametrizzazione è P = (,,) e Q = (,,) ) rt () = t+ t + t, t [,] (qui gli estremi della curva sono implicitamente

3 Soluzione: ( PQ, ) F dr = e + t + t t + t + t t = t ( ) ( ) ) Calcolare la circuitazione del campo F( x, y) = yi+ xj, lungo l ellisse di centro (,) e semiassi e rispettivamente, percorsa in senso antiorario 4) Calcolare l integrale curvilineo del campo t [,] F( x, y) = x i+ xyj lungo la curva rt () = ti + t j, Definizione: Un campo vettoriale F ( x, yz, ) si dice conservativo se esiste un campo scalare U( x, y, z ) (denominato potenziale del campo F ( x, yz, ) ) tale ce (*) = F, = F, = F, x y z o equivalentemente (**) du = F ( x, y, z) dx + F ( x, y, z) dy + F ( x, y, z) dz (Quando la condizione prevista nella definizione è espressa utilizzando la rappresentazione in (**) allora si preferisce l espressione la forma differenziale è esatta o ance integrabile e dicesi integrale della forma differenziale) U( x, y, z) Osservazione (Facoltativa): Il termine Conservativo trae origine dal fatto ce se F ( x, yz, ) è un campo di forze e un corpo sotto la sua azione a come legge oraria la funzione rt ( ), allora l energia totale durante il moto si conserva (rimane costante) Infatti si a essendo v= r () t ( = r () t r () t ) E t = E + E = mv U r t tot () cin pot ( ()), donde detot dr () t du ( r ()) t = mr () t = mr () t r () t U ( r ()) t r () t =, essendo mr ( t) = F( r ( t)) = U ( r ( t)), e quindi l asserto Teorema (prima condizione necessaria per i campi conservativi: indipendenza degli integrali curvilinei dal percorso): Sia F ( x, yz, ) un campo vettoriale conservativo e sia U( x, y, z) un suo potenziale (dunque F = U ) Se una curva parametrizzata regolare e P e Q sono due punti di allora F dr = U ( Q) U ( P), ( PQ, ) (e dunque l integrale curvilineo dipende esclusivamente dai punti P e Q ) Dimostrazione: Intanto si osserva ce se rt ( ) è una parametrizzazione della curva, allora,

4 d ( Urt ( )) = ( Urt ( )) rt ( ) = F( rt ( )) rt ( ) Ora se e t sono i parametri dei punti P e Q, si a ( PQ, ) t F dr = F( r ( t)) r ( t) = U ( r ( t )) U ( r ( t )) = U ( Q) U ( P) Nelle ipotesi del teorema, l asserto continua a valere se la curva è generalmente regolare (cioè come già detto continua e regolare a tratti), inoltre se è ciusa allora l integrale è nullo Il precedente teorema fornisce una condizione necessaria percé un campo sia dotato di potenziale Il seguente teorema invece mostra ce, in particolari regioni, la condizione necessaria è in realtà ance sufficiente Teorema (Prima condizione sufficiente percé un campo sia conservativo): Sia F ( x, yz, ) un campo vettoriale definito in un aperto (evidentemente tra loro equivalenti): connesso tale ce sussista una delle seguenti condizioni L integrale curvilineo del campo lungo una curva generalmente regolare dipende soltanto dagli estremi; L integrale curvilineo del campo lungo una curva generalmente regolare ciusa è nullo llora il campo vettoriale è dotato di potenziale Inoltre un potenziale si può costruire nel modo seguente: Si fissa un punto P (arbitrariamente) in e si pone U( P) = F dr, essendo una ( P, P) qualunque curva generalmente regolare alla quale appartengono P e P (una siffatta curva esiste in quanto è connesso) Dimostrazione: Si prova ce = F La prova delle altre due uguaglianze = F x y procede in modo del tutto analogo z e = F Siano ( x, y, z ) e ( x, yz, ) le coordinate cartesiane di P e P rispettivamente, allora si a: U Ux ( + yz,, ) Uxyz (,, ) ( xyz,, ) = lim = lim x (dove P = ( x+, y, z) ) F dr F dr ( P, P ) ( P, P) F dr F dr F( x + t, y, z) (,,) ( PP, ) s( PP, ) = lim = lim = lim 4

5 (nella seconda uguaglianza la curva ( PP, ) è stata sostituita con il segmento congiungente i due punti, certamente contenuta in in quanto i due punti sono sufficientemente vicini; sarà inoltre utile ricordare ce la rappresentazione parametrica del segmento è rt ( ) = ( x+ tyz,, ), t [,] ) = lim F( x+ t, y, z) = lim F( x+ t, y, z) = F ( x, y, z) Teorema (Seconda condizione necessaria per i campi conservativi): Sia F ( x, yz, ) un campo vettoriale conservativo (dunque esiste U( x, y, z) tale ce F = U ) llora si a F F F F F F (*) =, =, = y x z x z y F F (Per campi piani la precedente condizione diventa semplicemente = y x ) Dimostrazione: Essendo F = U, utilizzando il teorema di Scwartz sull invertibilità dell ordine di derivazione, si a: F U U F = y y x = = = = y x x u x y x Le altre due uguaglianze si provano allo stesso modo Definizione: I campi vettoriali ce soddisfano la condizione (*) si dicono irrotazionali (una giustificazione del termine utilizzato si trova nella osservazione ce segue) Quando la condizione (*) è riferita ai coefficienti di una forma differenziale, si dice ce la forma è ciusa Osservazione (facoltativa): Si segnale un modo equivalente per esprimere la precedente condizione (per campi vettoriali piani e in vettoriali Si a: R ) e si introduce un nuovo operatore sui campi F F F F F F =, =, = y x z x z y = x y z F F F destra del segno di equivalenza il determinante va interpretato in modo formale; esso definisce un campo vettoriale ce è denominato rotore del campo F e denotato con il simbolo rot F ; dunque rot F = x y z F F F 5