Elementi di Teoria dei Sistemi. Sistemi dinamici a tempo discreto

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1 Parte 2, 1 Elementi di Teoria dei Sistemi Sistemi dinamici a tempo discreto

2 Introduzione e motivazione Parte 2, 2 Necessità di introdurre una nuova classe di sistemi dinamici: i sistemi dinamici a tempo discreto. La variabile tempo è discreta: Modelli a tempo discreto molto usati in ambito economico, gestionale, ambientale, sociologico (controllo, previsione), nell elaborazione e trasmissione di segnali. Utili nella descrizione dei sistemi di controllo digitale: controllore/calcolatore digitale sistema dinamico controllato + strumentazione di interfaccia

3 Parte 2, 3 Segnali a tempo discreto

4 Parte 2, 4 Alcuni segnali canonici a tempo discreto Sia data una sequenza di istanti di tempo Si definisce segnale a tempo discreto una successione di valori associati alla successione temporale considerata Se vale che allora

5 Parte 2, 5 Impulso unitario Per semplicità in ciò che segue trascuriamo di indicare esplicitamente l intervallo

6 Parte 2, 6 Impulso traslato Una sequenza qualsiasi a tempo discreto può venir sempre espressa come sommatoria di segnali δ opportunamente traslati

7 Parte 2, 7 Gradino unitario La sequenza 1(k) è utile per evidenziare che una sequenza w(k) è identicamente nulla per istanti di tempo negativi

8 Parte 2, 8 Segnale esponenziale Nel caso di campionamento Rampa unitaria Nel caso di campionamento

9 Parte 2, 9 Polinomio fattoriale di ordine h Si definisce ricorsivamente Si vede facilmente che

10 Parte 2, 10 la sequenza sarà fondamentale nello studio dei sistemi dinamici a tempo discreto!

11 Parte 2, 11 Altra notazione possibile: i coefficienti binomiali con

12 Parte 2, 12 Segnale sinusoidale Nel caso di campionamento

13 Parte 2, 13 Equazioni alle differenze

14 Parte 2, 14 Definizione A partire dalla sequenza elaborare una seconda sequenza discreta si vuole Il campione generico della sequenza viene calcolato nel medesimo istante in cui viene acquisito un nuovo campione di La legge di calcolo del nuovo valore di è ricorsiva.

15 Parte 2, 15 Supponiamo ora che il termine generico dipenda soltanto da un numero finito di valori passati sia della sequenza che della sequenza In tal caso l equazione si dice equazione alle differenze di ordine n, dove n è la distanza temporale massima tra gli elementi della sequenza incognita, che compaiono nell equazione. Rappresenta l analogo a tempo discreto delle equazioni differenziali nel caso a tempo continuo.

16 Parte 2, 16 Ricapitolando, un equazione alle differenze finite è un equazione che ha come incognita una funzione a tempo discreto. L equazione alle differenze esprime il legame tra la successione incognita ed altre successioni note, eventualmente assegnando anche opportune condizioni iniziali. Il legame viene espresso tramite una relazione che lega tra loro e/o alle successioni note i valori della successione incognita ad istanti discreti di tempo diversi:

17 Parte 2, 17 Il termine equazione alle differenze deriva dal fatto che è possibile definire le differenze finite Differenza di ordine 1 Differenza di ordine 2 Differenza di ordine 3 Differenza di ordine n

18 Parte 2, 18 I termini ecc. si possono allora esprimere in funzione delle differenze finite appena definite [una sorta di rapporti incrementali]

19 Parte 2, 19 Sostituendo nell equazione si ottiene Le due espressioni sono equivalenti, ma quella ricorsiva è più conveniente maggiore facilità d implementazione

20 Parte 2, 20 Un semplice esempio Partiamo dall equazione alle differenze di ordine 2 Sostituiamo ai termini le espressioni Si ottiene l equazione equivalente

21 Parte 2, 21 Osservazioni e definizioni Nel caso in cui la funzione sia lineare si ottiene una equazione lineare alle differenze di ordine n: Le equazioni lineari alle differenze rappresentano l analogo delle equazioni differenziali lineari del caso a tempo continuo, studiato nel corso di Fondamenti di Automatica. In generale i coefficienti dell equazione possono variare, al variare dell istante di tempo considerato:

22 Parte 2, 22 Ancora definizioni Consideriamo un equazione lineare alle differenze: Se i valori dei coefficienti sono costanti, si ha un equazione lineare alle differenze a coefficienti costanti. Questa particolare classe di equazioni alle differenze sarà quella di maggior interesse nel corso di Controllo Digitale.

23 Parte 2, 23 Come si risolve un equazione alle differenze, lineare, a coeff. costanti? Si può dimostrare che la soluzione è unica qualora siano noti i valori iniziali della sequenza incognita (le altre sequenze che compaiono nell equazione devono essere note) e l istante iniziale [cioè le condizioni iniziali]. Per ottenere campione per campione la sequenza incognita è possibile risolvere ricorsivamente l equazione. Non è una tecnica efficiente! Esistono metodi più efficaci! Se ne riparlerà nel prosieguo del corso

24 Parte 2, 24 Esempio Si vuole risolvere l equazione a partire dall istante, con condizioni iniziali La sequenza risulta essere allora ( sequenza di Fibonacci )

25 Parte 2, 25 Esempio (continua ) Script in Matlab per determinare i primi 10 campioni N = 10; % i primi N valori della sequenza u0 = 1; u1 = 1; % valori iniziali u_km2 = u0; u_km1 = u1; % inizializzazione for k = 2 : N uk = u_km1 + u_km2; % valore attuale della sequenza u_km2 = u_km1; % aggiorna valore "a 2 passi prima" u_km1 = uk; % aggiorna valore "al passo prima" messaggio = sprintf('al passo %d valore di u_k %.2f',k,uk); disp(messaggio); % visualizza risultato end % for

26 Parte 2, 26 Esempio (continua ) Risultato visualizzato in Matlab **************************************************** Soluzione di u(k) = u(k-1) + u(k-2), u(0) = u(1) = 1 **************************************************** al passo 2 valore di u_k 2.00 al passo 3 valore di u_k 3.00 al passo 4 valore di u_k 5.00 al passo 5 valore di u_k 8.00 al passo 6 valore di u_k al passo 7 valore di u_k al passo 8 valore di u_k al passo 9 valore di u_k al passo 10 valore di u_k >>

27 Parte 2, 27 Esercizio per casa Data l equazione alle differenze di ordine 1 dove scrivere uno script Matlab (oppure un programma utilizzando un qualsiasi linguaggio di programmazione) che permetta di calcolare i primi 20 campioni della sequenza incognita, a partire dall istante

28 Parte 2, 28 Soluzione dell esercizio per casa I primi 20 campioni della sequenza incognita, nelle condizioni descritte, sono al passo 0 valore di u_k 0.00 al passo 1 valore di u_k al passo 2 valore di u_k 2.00 al passo 3 valore di u_k al passo 4 valore di u_k 4.00 al passo 5 valore di u_k al passo 6 valore di u_k 6.00 al passo 7 valore di u_k al passo 8 valore di u_k 8.00 al passo 9 valore di u_k al passo 10 valore di u_k al passo 11 valore di u_k al passo 12 valore di u_k al passo 13 valore di u_k al passo 14 valore di u_k al passo 15 valore di u_k al passo 16 valore di u_k al passo 17 valore di u_k al passo 18 valore di u_k al passo 19 valore di u_k al passo 20 valore di u_k 20.00

29 Parte 2, 29 Osservazioni La formulazione presentata finora per le equazioni alle differenze non è l unica possibile. L espressione esprime una relazione ricorsiva all indietro, che fornisce il valore all istante attuale della successione incognita in funzione di valori passati della successione stessa e di quella assegnata. È una formulazione utile ad esprimere algoritmi da eseguire in real time, quali elaborazione di segnali campionati (es. tramite DSP quali filtraggio, cancellazione d eco ecc.) ed algoritmi di controllo.

30 Parte 2, 30 Esiste anche la possibilità di esprimere le equazioni alle differenze tramite una relazione ricorsiva in avanti Questa relazione fornisce allora un valore nel futuro della sequenza incognita [in particolare n passi nel futuro, se n è l ordine dell equazione alle differenze], in funzione di valori futuri ed all istante attuale sia della sequenza che di quella assegnata. È una formulazione utile a descrivere algoritmi di previsione, cioè modelli matematici utilizzati per predire l evoluzione futura di fenomeni e/o grandezze ecc.

31 Parte 2, 31 Ancora altre osservazioni Per una equazione alle differenze di ordine n descritta da una relazione ricorsiva all indietro, in cui la sequenza incognita abbia inizio all istante, le condizioni iniziali saranno

32 Parte 2, 32 Per una equazione alle differenze di ordine n descritta da una relazione ricorsiva in avanti, in cui la sequenza incognita abbia inizio all istante, le condizioni iniziali saranno

33 Parte 2, 33 Sistemi dinamici a tempo discreto

34 Parte 2, 34 Sistema dinamico a tempo discreto Ingresso Uscita

35 Parte 2, 35 Cosa significa Dinamico?? è univocamente determinata? Se la risposta è no Sistema dinamico Cfr. le considerazioni fatte per i sistemi dinamici a tempo continuo

36 Esempio 1) Parte 2, 36 Le spese nell anno k sono proporzionali al reddito nell anno k Non dinamico Esempio 2) Le scorte di magazzino del prossimo mese sono proporzionali alle scorte attuali, alla quantità prodotta e venduta nel mese attuale Dinamico

37 Parte 2, 37 Variabili di stato Variabili da conoscere in per determinare a partire da Ordine del sistema (variabili di stato) (vettore di stato)

38 Sistemi dinamici a tempo discreto Parte 2, 38 Equazioni di stato Trasformazione d uscita

39 Parte 2, 39 Attenzione! Non tutti i sistemi dinamici a tempo discreto ammettono una rappresentazione in equazioni di stato! Quelli che la ammettono si dicono sistemi a dimensione finita, oppure sistemi a parametri concentrati. Esistono casi in cui lo stato al tempo t k è costituito da una funzione di una o più variabili [non da un numero finito n di scalari!]. In tal caso si parla di sistemi a dimensione infinita, oppure a parametri distribuiti.

40 Parte 2, 40 Usando la notazione vettoriale: e per brevità di notazione scriveremo spesso

41 Parte 2, 41 Alcune importanti definizioni: - Sistema strettamente proprio se non dipende da - Sistema tempo-invariante (o stazionario) se non dipendono da - Sistema lineare se - Sistema monovariabile (SISO) se sono funzioni lineari in (1 ingresso, 1 uscita) - Sistema multivariabile (MIMO) se e/o (più ingressi e/o più uscite)

42 Parte 2, 42 Sistemi dinamici a tempo discreto stato ingresso uscita

43 Parte 2, 43 Esempio 1) Le spese nell anno k sono proporzionali al reddito nell anno k Non dinamico Non è necessaria l introduzione di variabili di stato

44 Parte 2, 44 Esempio 2) Le scorte di magazzino del prossimo mese sono proporzionali alle scorte attuali, alla quantità prodotta e venduta nel mese attuale - Primo ordine - MIMO - Stazionario - Str. proprio - Lineare

45 Parte 2, 45 Esempio 3) Modello preda predatore di Lotka e Volterra: Il numero delle prede al tempo (k+1) è pari a quello nel periodo precedente, aumentato della quantità di prede immesse e di una quantità che tiene conto della natalità e della limitazione delle risorse nutritive, diminuito del numero di prede uccise dai predatori (proporzionale al numero di predatori). Il numero di predatori al tempo (k+1) è pari a quello nel periodo precedente, diminuito del numero di predatori morti per mancanza di nutrimento ed incrementato di una quantità che tiene conto della presenza di prede e della natalità.

46 Parte 2, 46 Esempio 3) - Secondo ordine - SISO - Stazionario - Str. proprio - Non lineare

47 Parte 2, 47 Rappresentazione di stato stato ingresso uscita

48 Parte 2, 48 Scelta delle variabili di stato - Criteri? - La scelta è univoca? - L ordine è fissato? Cfr. le considerazioni fatte per le variabili di stato dei sistemi dinamici a tempo continuo

49 Un criterio ingegneristico Parte 2, 49 Variabili di stato Grandezze associate ad accumuli di Cfr. le considerazioni fatte per le variabili di stato dei sistemi dinamici a tempo continuo

50 Un criterio matematico Parte 2, 50 Supponiamo di aver ricavato un eq. alle differenze di ordine Associamo ai valori passati della successione incognita le variabili di stato (n per la precisione) nel modo seguente

51 Parte 2, 51 Utilizzando le variabili di stato appena definite è possibile scrivere

52 Esempio Parte 2, 52 Si abbia l eq. alle differenze di ordine 3 Ponendo e

53 Proviamo a risolvere l eq. alle differenze a partire dall istante k=0, con condizioni iniziali Parte 2, 53 e come segnale {u(k)} utilizziamo un gradino unitario (sempre applicato a partire dall istante k=0). La sequenza {w(k)} allora è

54 Parte 2, 54 Proviamo a risolvere in modo ricorsivo l eq. alle differenze utilizzando le equazioni di stato con condizioni iniziali Per come abbiamo definito le variabili di stato, i valori all istante k=0 di x 1, x 2 e x 3 coincidono con i valori w(-1), w(-2), w(-3) della sequenza {w(k)}.

55 Parte 2, 55

56 Parte 2, 56 Rappresentazioni di stato equivalenti

57 Parte 2, 57 Movimento dello stato e dell uscita Movimento dello stato Movimento dell uscita

58 Parte 2, 58 Calcolo del Movimento Due passi: a) soluzione eq. di stato b) Sostituzione di nella trasformazione d uscita

59 Parte 2, 59 Osservazione importante: Per sistemi stazionari è lecito assumere senza ledere la generalità

60 Esempio Vogliamo determinare il movimento dello stato per il sistema Parte 2, 60 supponendo che Utilizzo la Z-Trasformata!

61 Parte 2, 61 Il movimento dell uscita coincide con quello dello stato.

62 Parte 2, 62 Equilibrio (sistemi stazionari) - Stato di equilibrio movimento costante di con - Gli stati di equilibrio si trovano tutti al variare di - Uscita di equilibrio movimento costante di con

63 Parte 2, 63 Calcolo dell equilibrio - Risolvere l equazione algebrica - Sostituire nella trasformazione d uscita

64 Esempio 1) Parte 2, 64 Consideriamo ancora il sistema lineare MIMO Se succede che: allora In particolare

65 Esempio 2) Consideriamo il sistema SISO non lineare Parte 2, 65

66 Sistemi dinamici a tempo discreto Parte 2, 66 Sistemi dinamici a tempo discreto che ammettono equazioni di stato Sistemi dinamici - lineari - stazionari

67 Parte 2, 67 Sistemi lineari stazionari SISO Combinazioni lineari di variabili di stato e del controllo

68 Parte 2, 68 Sistemi lineari stazionari SISO

69 Parte 2, 69 Equilibrio (sistemi lineari stazionari)

70 Parte 2, 70 Equilibrio (sistemi lineari stazionari) Guadagno statico

71 Parte 2, 71 Equilibrio (sistemi lineari stazionari)

72 Parte 2, 72 Movimento (caso scalare - )

73 Parte 2, 73 Cenno di dimostrazione: Per semplice sostituzione, partendo da Ricordiamo: Quindi:

74 con le Z-trasformate: Parte 2, 74 usando la proprietà e la trasformata notevole

75 Z-Trasformata di un vettore Parte 2, 75

76 Parte 2, 76 Movimento (caso generale - ) Lo si confronti con l analogo risultato per i sistemi dinamici lineari tempo-invarianti a tempo continuo

77 Parte 2, 77 Movimento dello stato Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente

78 Parte 2, 78 Movimento dell uscita Movimento libero: dipende da linearmente Movimento forzato: dipende da linearmente

79 Parte 2, 79 Principio di sovrapp. degli effetti Nota: la proprietà vale anche per sistemi non stazionari purché lineari.

80 Parte 2, 80 Sistemi lineari stazionari MIMO Le formule valide nel caso SISO si applicano con ovvi cambiamenti.

81 Parte 2, 81 Rappresentazioni di stato equivalenti Notazione:

82 Parte 2, 82 Esercizio per casa Considerare due descrizioni in equazioni di stato equivalenti per un sistema dinamico lineare a tempo discreto Mostrare che: - se il guadagno statico non cambia - se il movimento non cambia

83 Parte 2, 83 Linearizzazione Idea di base: vogliamo studiare il comportamento di un sistema dinamico a tempo discreto, non lineare, nell intorno di una condizione d equilibrio, descritta da

84 Definiamo gli scostamenti rispetto all equilibrio: Parte 2, 84

85 dove evidentemente: Parte 2, 85

86 Vediamo la trasformazione d uscita: Parte 2, 86

87 dove: Parte 2, 87

88 Parte 2, 88 Sistema linearizzato:

89 Esempio Consideriamo ancora il sistema SISO non lineare Parte 2, 89 Determiniamo le espressioni dei sistemi linearizzati in corrispondenza dell ingresso e degli stato d equilibrio considerati.

90 Quindi: Parte 2, 90

91 Parte 2, 91

92 Poi (tutte queste quantità non dipendono dallo stato di eq.): Parte 2, 92