Introduzione ai sistemi dinamici

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1 Introduzione ai sistemi dinamici Prof. G. Ferrari Trecate, Prof. D.M. Raimondo Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione (DIII) Università degli Studi di Pavia Fondamenti di Automatica Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 1 / 14

2 Variabili di un sistema dinamico Variabili di ingresso e uscita Variabili di ingresso (o ingressi): u 1 (t) R, u 2 (t) R,..., u m (t) R. m: numero di ingressi Variabili di uscita (o uscite): y 1 (t) R, y 2 (t) R,..., y p (t) R. p: numero di uscite Osservazione Ingressi/uscite = interfaccia col resto del mondo Ingressi = cause. Uscite = effetti. Ma non necessariamente ingresso = afflusso (di massa, energia...) o uscita = efflusso Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 2 / 14

3 Variabili di un sistema dinamico Problema Sia t 0 R un istante iniziale e t t 0. Basta conoscere u 1,..., u m tra t 0 e t per calcolare y 1 (t),..., y p (t)? In generale NO Esempio: ẏ 1 = u 1 c bisogna conoscere y 1(t 0 ) per calcolare y 1 (t) Variabili di stato (o stati) Variabili del processo la cui conoscenza all istante t 0 unita a quella degli ingressi tra t 0 e t permette di calcolare y 1 (t), y 2 (t),..., y p (t) Stati: x 1 (t) R, x 2 (t) R,..., x n (t) R. n= numero di stati = ordine del sistema Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 3 / 14

4 Equazioni di un sistema dinamico Equazioni di stato ẋ 1 (t) = f 1 (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t), t) ẋ 2 (t) = f 2 (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t), t). ẋ n (t) = f n (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t), t) Sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Incognite = stati. Gli ingressi sono fissati. Dato t 0 R, bisogna specificare gli stati iniziali x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 ),..., x n (t 0 ) al fine di calcolare gli stati per t t 0 Gli argomenti delle funzioni f 1,,..., f n sono, al più, stati, ingressi e tempo Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 4 / 14

5 Equazioni di un sistema dinamico Trasformazioni di uscita y 1 (t) = g 1 (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t), t) y 2 (t) = g 2 (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t), t). y p (t) = g p (x 1 (t),..., x n (t), u 1 (t),..., u m (t), t) Equazioni algebriche Le uscite al tempo t possono essere calcolate a partire da stati e ingressi allo stesso istante di tempo Gli argomenti delle funzioni g 1,,..., g p sono, al più, stati, ingressi e tempo Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 5 / 14

6 Notazione vettoriale x 1 (t) u 1 (t) y 1 (t) x(t) =., u(t) =., y(t) =. x n (t) u m (t) y p (t) f 1 (x(t), u(t), t) g 1 (x(t), u(t), t) f (x(t), u(t), t) =., g(x(t), u(t), t) =. f n (x(t), u(t), t) g p (x(t), u(t), t) Sistema dinamico ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) y(t) = g(x(t), u(t), t) Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 6 / 14

7 Movimento di stato Definizione Il movimento di stato generato da x(t 0 ) = x 0 e u(t), t t 0 è la soluzione x(t), t t 0, delle equazioni di stato. Il corrispondente movimento d uscita è la funzione y(t), t t 0, calcolata tramite le trasformazioni d uscita. Notazione ove φ è detta funzione di transizione. x(t) = φ(t, t 0, x 0, u) Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 7 / 14

8 Classi di sistemi dinamici ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) y(t) = g(x(t), u(t), t) x(t 0 ) = x 0, t t 0 x(t) R n u(t) R m y(t) R p Sistema SISO (Single-Input Single-Output) se m = p = 1. Sistema MIMO (Multi-Input Multi-Output) altrimenti. Sistema strettamente proprio se g non dipende da u. Se no, proprio Sistema statico se g non dipende da x descritto dalle sole trasformazioni di uscita y(t) = g(u(t), t). Si può assumere n = 0. Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 8 / 14

9 Classi di sistemi dinamici ẋ(t) = f (x(t), u(t), t) y(t) = g(x(t), u(t), t) x(t 0 ) = x 0 x(t) R n u(t) R m y(t) R p Sistema tempo-invariante se f e g non dipendono esplicitamente da t ẋ(t) = f (x(t), u(t)) y(t) = g(x(t), u(t)) Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 9 / 14

10 Classi di sistemi dinamici Sistema tempo-invariante Proprietà chiave Siano ẋ(t) = f (x(t), u(t)) y(t) = g(x(t), u(t)) t 1 > t 0 e Δt = t 1 t 0 x(t) = φ(t, t 0, x 0, u) e y(t) il movimento d uscita corrispondente x(t) = φ(t, t 1, x 0, ũ), ove ũ(t) = u(t Δt), t t 1 e ỹ(t) il movimento d uscita corrispondente Allora x(t) = x(t Δt) e ỹ(t) = y(t Δt) Conseguenza L istante iniziale non modifica le proprietà delle traiettorie. Non è limitativo assumere t 0 = 0. Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 10 / 14

11 Classi di sistemi dinamici Sistema tempo-invariante ẋ(t) = f (x(t), u(t)) y(t) = g(x(t), u(t)) u u ~ t 0 1 t t x x ~ t 0 1 t t Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 11 / 14

12 Classi di sistemi dinamici Sistema lineare Un sistema è lineare se f e g sono funzioni lineari in x e u ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) A(t), B(t), C(t), D(t) matrici Sistema Lineare Tempo Invariante (LTI) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) A, B, C, D matrici Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 12 / 14

13 Classi di sistemi dinamici Sistemi a dimensione infinita I sistemi precedenti sono anche detti a dimensione finita (o a parametri concentrati) perchè x(t) è costituito da n < + componenti Un sistema è a dimensione infinita (o a parametri distribuiti) se lo stato è x(t, ξ) ove ξ R q sono parametri addizionali Usualmente le equazioni di stato sono equazioni differenziali alle derivate parziali t,,..., ξ 1 ξ q Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 13 / 14

14 Classi di sistemi dinamici Un sistema a dimensione infinita Il ritardo di tempo è il sistema SISO descritto dalla relazione di ingresso-uscita y(t) = u(t τ), τ > 0 Esempio: nastro trasportatore che si muove con velocità costante v ove u(t) e y(t) sono le portate di sabbia in ingresso e uscita τ = l v. Stato: densità di sabbia x(t, ξ 1 ) in ogni punto ξ 1 del nastro. Fenomeno di trasporto: stato e ingresso sono legati da un equazione differenziale alle derivate parziali Ferrari Trecate, Raimondo (DIII) Introduzione ai sistemi dinamici Fondamenti di Automatica 14 / 14