Esercizi di teoria dei sistemi

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1 Esercizi di teoria dei sistemi Controlli Automatici LS (Prof. C. Melchiorri) Esercizio Dato il sistema lineare tempo continuo: ẋ(t) 2 y(t) x(t) x(t) + u(t) a) Determinare l evoluzione libera dello stato x(t) a partire dalla condizione iniziale x, 2 T : b) Determinare l evoluzione forzata dell uscita y(t) in risposta ad un ingresso a gradino di ampiezza unitaria u(t). a) Per la determinazione della risposta libera è necessario il calcolo dell esponenziale di matrice e A t, cosa che risulta più agevole portando la matrice in forma di Jordan. Come prima cosa ricaviamo quindi gli autovalori e gli autovettori della matrice A. Il polinomio caratteristico di A è il seguente: λ det(λi A) det λ + 2 λ 2 + 2λ + (λ + ) 2 La matrice A ha quindi un solo autovalore λ con molteplicità algebrica 2. A tale autovalore corrisponde quindi un solo autovettore v che si determina risolvendo il seguente sistema omogeneo: (A λi)v v v v 2 Per ottenere una trasformazione lineare che ci dia la forma di Jordan della matrice A, dobbiamo avere un altro vettore, in particolare un autovettore generalizzato, che si può ricavare risolvendo il seguente sistema lineare: (A λi)v 2 v v2 v 22 v 2 La trasformazione di coordinate x T ˆx che porta il sistema in forma di Jordan è la seguente: T v v 2

2 È necessario ricavare anche la trasformazione inversa T. Utilizziamo per l inversione della matrice T il metodo della matrice aggiunta. T agg(t) det(t) () da cui si ricava: T La matrice  del sistema trasformato ha la seguente forma:  T AT 2 L evoluzione libera x(t) a partire dalla condizione iniziale x si determina come segue: x(t) e At x TeÂt T x e t te t e t x e t + te t te t e t e t x e t + te t te t te t e t te t 2 b) L evoluzione forzata dell uscita y(t) si determina in base alla relazione: y(t) C e A(t τ) Bu(τ)dτ C e t te t 2e t + te t e At Bu(t τ)dτ (2) Utilizzando il risultato ottenuto al punto precedente relativamente al calcolo dell esponenziale di matrice si ha che: y(t) e t + te t te t te t e t te t dτ Quindi la risposta al gradino di questo sistema è identicamente nulla. In particolare si noti che la risposta forzata di questo sistema è identicamente nulla per qualsiasi ingresso. Esercizio 2 Sia dato il seguente sistema non lineare tempo continuo: ẋ x 2 ẋ 2 sin x u(t)cosx a) Linearizzare il sistema nell intorno dell origine e calcolare le matrici (A, B, C) del corrispondente sistema lineare essendo u(t) l ingresso, x x x 2 T lo stato e y x l uscita: Con agg(a) si indica la matrice aggiunta di A che è la trasposta (o la coniugata trasposta nel campo complesso) della matrice dei complementi algebrici degli elementi di A. Il complemento algebrico di a ij è ( ) i+j volte il determinante della matrice (n ) (n ) ottenuta cancellando l i-esima riga e la j-esima colonna di A. 2

3 b) Studiare la stabilità del sistema non lineare nell intorno dell origine utilizzando il criterio di linerizzazione di Lyapunov: c) Calcolare la matrice di transizione dello stato del sistema linearizzato (A, B, C). a) Quando u(t), l unico punto di equilibrio del sistema è x. Linearizzando nell intorno di questo punto di equilibrio si ha: ẋ f x + f u x (,) u (,) cosx + u sinx x + y x Cx b) Gli autovalori della matrice A sono reali e distinti: x + (,) u Ax + Bu cosx (,) u det(λi A) λ 2 (λ + )(λ ) λ,2 ± Quindi, in base al teorema della linearizzazione di Lyapunov, il sistema nell intorno dell origine risulta essere instabile in quanto un autovalore del sistema linearizzato ha parte reale maggiore di. c) Sia T la matrice degli autovettori della matrice A: T v v 2 La matrice di tranzione dello stato del sistema linearizzato è definita come l esponenziale della matrice A: e At TeÂt T e t 2 e t e t + e t e t e t 2 e t e t e t + e t Esercizio 3 Sia data la seguente equazione differenziale del secondo ordine: M p(t) + bṗ(t) + Kp(t) F(t) Assumendo F(t) come ingresso del sistema e p(t) come uscita, scrivere la dinamica del sistema nello spazio degli stati. 3

4 Come indicato nel testo, si pone u(t) F(t) e y(t) p(t). Data la struttura dell equazione differenziale che descrive il sistema, si scelgono come variabili di stato x (t) p(t) e x 2 ẋ (t) ṗ(t). Il vettore delle variabili di stato è quindi x(t) x (t) x 2 (t) T. Il sistema nello spazio degli stati si può quindi scrivere nel seguente modo: Esercizio 4 x (t) x 2 (t) y(t) K M b M x (t) x 2 (t) x (t) x 2 (t) Mostrare come si calcola la catena di autovettori generalizzati associati ad un autovalore λ con molteplicità algebrica ν maggiore di. Si determina l unico autovettore v associato all autovalore λ: (λi A)v e poi si determina la catena di autovettori generalizzati risolvendo in modo ricorsivo il seguente sistema di equazioni lineari: (A λi)v 2 v v (A λi)v 3 v 2 Esercizio 5.. (A λi)v ν v ν Si consideri il seguente sistema non lineare tempo discreto: x (k + ) α sin x 2 (k) + x (k) + M u(t) x 2 (k + ) x (k) + x 2 2 (k)sin x 2(k) a) Si verifichi se il punto x, x 2 è di equilibrio per il sistema. Utilizzando il metodo di linearizzazione di Lyapunov, si studi poi la stabilità di tale punto al variare del parametro α: b) Analizzando direttamente le equazioni alle differenze del sistema dato, mostrare che per α il sistema non può essere asintoticamente stabile nell intorno del punto di equilibrio x, x 2. a) Il punto (x, x 2 ) è di equilibrio per il sistema se in tale punto valgono le seguenti relazioni: x (k) α sinx 2 (k) + x (k) x 2 (k) x (k) + x 2 2 (k)sin x 2(k) (x, x 2 ) è quindi un punto di equilibrio per il sistema dato. Per poter applicare il metodo di linearizzazione di Lyapunov si procede al calcolo dello Jacobiano del sistema: J(x, x 2 ) α cosx2 x 2 2 cosx 2 + 2x 2 sin x 2 J(x, x 2 ) α 4

5 Il polinomio caratteristico è il seguente: Le radici del polinomio caratteristico sono: detzi J z 2 z + α z,2 2 ( ± 4α ) Il punto di equilibrio è asintoticamente stabile se i due autovalori della matrice J sono interni al cerchio unitario, cioè è stabile per tutti i ìvalori di α tali per cui z,2 <. Ciò risulta verificato quando: b) Per α il sistema diventa: x (k) x (k) < α < x 2 (k) x (k) + x 2 2(k)sin x 2 (k) La prima equazione non è influenzata dalla seconda variabile x 2 e rappresenta un sistema lineare semplicemente stabile in quanto ha un polo in z. Ne segue che il punto (x, x 2 ) non può essere asintoticamente stabile. 5