Calcolo delle Differenze

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1 Carla Guerrini 1 Calcolo delle Differenze Le differenze finite introdotte nel 17-esimo secolo per il calcolo delle funzioni, si prestano bene ad essere utilizzate in procedimenti e problemi discreti: da un lato le equazioni alle differenze sono fra le tecniche piú usate per approssimare le soluzioni delle equazioni differenziali, dall altra molti fenomeni naturali sono essenzialmente discreti e quindi sono meglio descritti da equazioni alle differenze che da equazioni differenziali. Un semplice problema discreto é quello della somma, finita o infinita, dei termini di una successione. L uso del calcolatore puó essere molto efficace, ma a volte si possono presentare delle sorprese. L operatore differenza finita viene definito nel modo seguente: : Y Y y k = y k+1 y k, y k Y L operatore differenza finita di ordine r r y k = ( r 1 y k ), y k Y intendento con = I e 1 = ove I é l operatore identitá. Applicando l operaore a u k v k si ottiene: (u k v k ) = u k+1 v k+1 u k v k = u k+1 v k+1 u k v k+1 +u k v k+1 u k v k = ( u k )v k+1 +u k (v k ), e ancora applicando ad un quoziente si ha inoltre ( u k v k ) = u k+1 v k+1 u k v k = ( u k)v k u k ( v k ) v k v k+1, (αu k + βv k ) = α u k + β v k. Da queste tre proprietá scaturisce l analogia tra l operatore differenza e l operatore di derivazione. Questa analogia viene ancora piú evidenziata se consideriamo le potenze fattoriali di x: x () = 1, x (m) = (x m + 1)x (m 1), x ( m) = x( m+1) x+m. Si ha quindi che x (m) = x(x 1)(x )... (x m+1); x ( m) = 1 (x+1)(x+)...(x+m). Risulta che x (m) = (x + 1) (m) x (m) = (x + 1)x(x 1)(x )... (x m + ) x(x 1)(x )... (x m + 1) = (x + 1)x (m 1) x (m 1) (x m + 1) = mx (m 1) e analogamente x ( m) = mx ( m 1) m x (m) = m!, m+1 x (m) =

2 11//3 Funzione Γ La funzione gamma introdotta da Eulero é definita da: Γ(x) = t x 1 e t dt, x reale, x, 1,,.... Consideriamo Γ(x + 1), integrando per parti si ha: Γ(x + 1) = t x e t dt = t x e t + x t x 1 e t dt = xγ(x) quindi per la funzione gamma vale la relazione di ricorrenza: Γ(x + 1) = xγ(x). Inoltre Γ(1) = 1 ne segue che per x = k intero positivo Γ(k +1) = k!. Il grafico della funzione per x é riportato in figura. Applicando ripetutamente la relazione precedente si ottiene: Γ(x+1) = xγ(x) = x(x 1)Γ(x 1) =... = x(x 1)... (x m+1)γ(x m+1) da cui Γ(x + 1) Γ(x m + 1) = x(x 1)(x )... (x m + 1) questa relazione puó essere assunta come la definizione di x (m) per m non intero: x m Γ(x + 1) = Γ(x m + 1). Inoltre Γ(x + ) Γ(x + 1) Γ(x m + ) Γ(x m + 1) x (m) = (x + 1) (m) x (m) = = (x + 1)Γ(x + 1) Γ(x m + ) mγ(x + 1) Γ(x m + ) = mγ(x + 1) Γ(x (m 1) + 1) = mx(m 1) γ(x) (x m + 1)Γ(x + 1) Γ(x m + ) = x

3 11//3 3 EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE Sia F : N R n+1 R; si definisce equazione alle differenze di ordine n una relazione del tipo F (k, y k, y k+1,..., y n+k ) =. (1) Essa porta ad una sequenza di numeri generata ricorsivamente usando la regola che lega ciascun numero della sequenza. : la sequenza di Fibonacci I numeri 1, 1,, 3,, 8, 13, 1,... sono generati dalla regola y k+ = y k+1 + y k per k =, 1,, 3... ponendo y = y 1 = 1. Questo é un esempio di eq. alle differenze lineari con coefficienti costanti. Un eq. alle differenze si dice lineare quando F è lineare: a n (k)y k+n + a n 1 (k)y k+n a (k)y k = g(k) () one n é l ordine delle differenze; se le funzioni a i (k) sono costanti si ha una equazione alle differenze a coefficienti costanti. Fissato k, una soluzione delle equazioni alle differenze di ordine n é individuata imponendo n condizioni iniziali, cioé assegnando n valori y i, i = k, k + 1,..., k + n 1, infatti se a n (k) per ogni k k assegnate k condizioni iniziali la soluzione esiste ed é unica e data da: y n+k = 1 n 1 g(k) a j (k)y k+j. (3) a n (k) Quindi ricaviamo in modo univoco i valori di y i per i k + n. Per k l integrale y k = j= x k e x 1 dx soddisfa alla relazione ricorrente y k + ky k 1 = 1, infatti integrando per parti x k e x 1 dx = x k e x 1 1 k x k 1 e x 1 dx e la relazione ricorrente é del primo ordine. Inoltre vale la condizione iniziale y = e x 1 dx = 1 1 e, e dalla relazione ricorrente si possono ricavare i successivi valori della soluzione: y 1 = 1 e, y = 1 e, y 3 = + 6 e,... La possibilitá di calcolare in modo ricorrente la soluzione di una equazione alle differenze lineare fa si che tali equazioni siano molto utilizzate nella matematica computazionale in particolare nella teoria dell approssimazione, nel calcolare la soluzione delle equazioni differenziali ecc.

4 11//3 4 Si conisderi la matrice tridiagonale A k i cui elementi per i, j = 1,,..., k, sono dati da α i se i j = β a i,j = i 1 se i j = 1 (4) γ i se i j = 1 altrimenti Sia d k il determinante di A k. Applicando la regola di Laplace per il calcolo del determinante si ha α 1 γ 1 α 1 γ 1.. β d k = α k det 1 α.. β 1 α γ β. k 1 det γk 3. γ k 3.. β k 1 α. α k k 1 β k γ k 1 da cui d k = α k d k 1 β k 1 γ k 1 d k. () Quindi la successione {d k } k=1,,... é soluzione dell equazione alle differenze del secondo ordine lineare. Tenendo conto che d 1 = α 1, e d = α 1 α β 1 γ 1, i valori d k per k = 3, 4,... si possono ricavare applicando in modo ricorrente la relazione precedente ottenendo cosí: d 3 = α 3 d β γ d 1 = α 1 (α α 3 β γ ) β 1 γ 1 α 3 d 4 = α 4 d 3 β 3 γ 3 d = (α 1 α β 1 γ 1 )(α 3 α 4 β 3 γ 3 ) α 1 β γ α 4 Calcolando la soluzione in modo ricorrente con la (3) possono peró insorgere dei problemi di instabilitá numerica che é bene tener presente. Se nell equazione () é g(k) = per ogni valore di k, allora l equazione si dice omogenea ed ha la forma: n a j (k)y k+j =. j= Studiamo ora il caso delle equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti a j (k) = a j, l equazione algebrica n P (x) = a j x j = (6) j= é detta equazione caratteristica. Indicate con x 1, x,..., x n le radici dell equazione (6) allora la soluzione dell equazione alle differenze possiamo esprimerla con la seguente combinazione: y k = C 1 x k 1 + C x k C n x k n le costanti C 1, C,... C n y, y 1,.... vengono determinate tramite le condizioni iniziali

5 11//3 successione di Fibonacci: descritta dall equazione omogenea del secondo ordine y k+ = y k+1 + y k con le condizioni iniziali y = 1, y = 1 ammette come equazione caratteristica x x 1 =, e radici x 1 = 1, x = 1 + La soluzione generale é quindi della forma C 1 x k 1 + C x k ove i parametri C 1 e C si determinano in base alle condizioni iniziali y = ; y 1 = 1 cioe : da cui risulta C 1 + C =, C 1 1 C 1 = C = 1. + C 1 + = 1 I numeri di Fibonacci si possono ottenere anche da y k = 1 [ ( 1 + ) k ( 1 ] ) k. Nel caso in cui le radici della (6) presentino valori complessi sicuramente avremo come radice anche i corrispondenti valori complessi coniugati. Quindi se x 1 = m + in e x = m in la soluzione sara sempre del tipo y k = C 1 (m + in) k + C (m in) k siccome generalmente interessano soluzioni reali e non complesse osserviamo quanto segue. Prendiamo C 1 = a + ib e C = a ib, ricordiamo inoltre che se z = m + in allora z = ρ(cosθ + isinθ) con ρ = m + n. Vale quindi z k = (m + ib) k = ρ k (cos(kθ) + isin(kθ)). Allora y k = (a + ib)(m + in) k + (a ib)(m in) k = (a + ib)ρ k (cos(kθ) + isin(kθ)) + (a ib)ρ k (cos(kθ) isin(kθ)) = ρ k [acos(kθ) + iasin(kθ) + ibcos(kθ) bsin(kθ)]+ ρ k [acos(kθ) iasin(kθ) ibcos(kθ) bsin(kθ)] = = ρ k [acos(kθ) bsin(kθ)] Sia y k+ y k+1 +y k =, l equazione caratteristica risulta essere x x+ = le cui radici sono x 1 = 1 + i e x = 1 i, allora ρ = =. L angolo θ é tale per cui cosθ = 1/ e sinθ = 1/ perció θ = π/4, y k = ( ) k (acos(kπ/4) bsin(kπ/4)).

6 11//3 6 Se la matrice A k dell esempio (4) ha uguali fra di loro gli elementi posti su ogni diagonale, quindi: α i = α, i = 1,,..., k, β i = β, γ i = γ per i = 1,,..., k 1, l equazione () é a coefficienti costanti: d k αd k 1 + βγd k = La soluzione generale é data da d k = C 1 x k 1 + C x k se le radici dell equazione caratteristica sono distinte e da d k = (C 1 +kc )x k 1 se l equazione caratteristica ha una sola radice di molteplicitá due. I parametri C 1 e C vengono determinati imponendo le condizioni iniziali d 1 = α e d = α βγ. Se ad esempio α =, β = 3, γ = 1/4, allora l equazione caratteristica é 4x 8x + 3 =, e d k = C 1 ( 3 )k + C ( 1 )k. Imponendo le condizioni iniziali si ottengono per i parametri i valori C 1 = 3, e C = 1, quindi il determinante di A k é dato da d k = 1 [3(3 )k ( 1 )k ]. Se α = ; β = 1, γ = 1, l equazione caratteristica x x + 1 = ha la soluzione x = 1 con molteplicitá, per cui d k = C 1 + C k. Imponendo le condizioni iniziali si ottengono per i perametri i valori C 1 = C = 1, per cui il determinante di A k é dato da d k = 1 + k. Se α =, β =, γ =, allora l equazione caratteristica x x + 4 = ha due soluzioni complesse x 1 = (cos( π 3 ) + isin(π 3 )), e x = (cos( π 3 ) isin(π 3 )) per cui d k = k (C 1 cos( kπ 3 ) + C sin( kπ 3 )) Imponendo le condizioni iniziali si ottengono per i parametri i valori C 1 = 1, C = 1 3. Il determinante di A k é dato da d k = k (cos( kπ 3 ) sin( kπ 3 )) Stabilitá del calcolo delle formule ricorrenti Nel corso della risoluzione delle equazioni alle differenze si possono presentare problemi di stabilitá numerica. Si suppone che nell equazione alle differenze sia a n (k) = 1 e a (k) per k k per cui la relazione ricorrente risulta y k+n = g(k) n 1 j= a j (k)y k+j.

7 11//3 7 Una soluzione y k é detta minimale se esiste una soluzione dell equazione omogenea z k tale che y k lim =. k z k Consideriamo la seguente equazione alle differenze x k+1 = 9 4 x k 1 x k 1, ove x 1 = 1 3 ; x = 1 1 il polinomio caratteristico risulta essere: x 9/4x + 1/ = le cui radici sono rispettivamente 1/4 e. L equazione alle differenze ammette come soluzione generale z k = α(1/4) k + β() k imponendo le condizioni iniziali risulta α = 1/3 e β =. Se peró grafichiamo i primi trenta valori della successione in scala logaritmica otteniamo il seguente grafico 1 1 log(x) k Cosa succede?? Supponiamo per semplicitá che gli errori nel calcolo siano commessi all inizio, e successivamente gli elementi della successione siano calcolati esattamente. In pratica supponiamo che β, ma sia β = 7 allora x k = 1 3 (41 k + k 7 ) x 1 = 1 3 (4 + 6 ); x = 1 3 (4 1 + ) Il cambio di direzione avviene quando 4 1 k = k 7 cioé quando k =.