unità immaginaria, rappresentata dal simbolo i e che si definisce comeunnumeroilcuiquadratoèugualealnumeroreale 1, ossia:

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1 I NUMERI COMPLESSI

2 Perché i numeri complessi? Perché i numeri complessi? Risolviamo l equaione di Risolviamo l equaione di grado:. grado: x x? ± ± x? x unità immaginaria, rappresentata dal simbolo i e che si definisce comeunnumeroilcuiquadratoèugualealnumeroreale 1, ossia: 1 i 1 ± i ( ) i i i i i x ± ± ± ± ± ± ±

3 Potena ad esponente intero positivo Poiché le potene si ripetono periodicamente ogni 4 volte, le potene di i formano un gruppo ciclico di ordine 4. i 4n i 0 1 i 4n +1 i 1 i i 4n + i -1 I 4n +3 i 3 -i

4 Esempi Calcolare le seguenti potene di i: a) i 1 b) i 7 c) i 41 d)1/i 15 e) i 34 (a) i 1 (i 4 ) 3 1 (a) i 1 (i 4 ) 3 1 (b) i 7 i 4 i 3 i 3 i (c) i 41 i 40 i i (d) i 34 i 3 i i 1

5 I NUMERI COMPLESSI (forma algebrica) I numeri complessi a + ib individuano le coppie (a,b) che rappresentano le coordinate di punti nel piano R chiamato piano di Argand-Gauss I numeri complessi si possono rappresentare con un vettore centrato nell origine degli assi cartesiani r r ur v ax + b y b v P(a,b) a + i b C a parte reale b parte immaginaria a

6 OPERAZIONI FRA VETTORI SOMMA (si sommano le parti reali e quelle immaginarie) La regola dell addiione corrisponde alla regola (5, 5) del parallelogramma (1, 3) relativa alla risultante dei vettori (4, ) 1 + ur uur v1 ( a1; b1 ) + v ( a ; b ) uuuuuuur v + v ( a + a ; b + b ) (4+i) + (1+3i) 5+5i

7 PRODOTTO PER UNO SCALARE ur uuur k v( a; b) k v( ka; kb) Se k>0 Se k<0 kv v v kv

8 PRODOTTO PER i (unità immaginaria) r i v( a; b) i ( a + ib) ia + i² b b + ia v ur 1 ( b ; a ) iv b v P(a,b) a La moltiplicaione per i fa ruotare il vettore di 90 in senso antiorario

9 Coniugato di un numero complesso E utile definire a questo punto anche il numero complesso coniugato di un numero come quel numero, indicato con, come quel numero complesso che ha la stessa parte reale di e parte immaginaria opposta: a ib

10 Reciproco di un numero complesso Ogni elemento a + ib, con a e b non contemporaneamente nulli, ammette in C un simmetrico rispetto alla moltiplicaione, che si chiama reciproco di, dato da 1 1 a b i a + ib a + b a + b

11 LE COORDINATE POLARI b ρ ϑ a P(a;b) ρ a² + b² 0 ϑ π MODULO ARGOMENTO PRINCIPALE quindi Per le regole trigonometriche si ha che a b ρ cosϑ ρsenϑ ρ ϑ ϑ (cos + i sen )

12 PASSAGGIO DALLLE COORDINATE TRIGONOMETRICHE A QUELLE CARTESIANE a ρ cosϑ b ρsenϑ PASSAGGIO DALLLE COORDINATE CARTESIANE A QUELLE TRIGONOMETRICHE ρ a² + b² a cosϑ a² + b² b senϑ a² + b²

13 ESERCIZI Trasformare i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella trigonometrica e posiionarli sul piano di Gauss: 1 i i i π π cos + isen 6 6 π π 5 cos isen 4 4

14 PRODOTTO DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA Dati due numeri complessi ρ ϑ ϑ (cos + i sen ) ρ (cos ϑ + i senϑ ) Eseguendo la moltiplicaione e ricordando le formule di addiione del coseno e del seno ρ 1ρ[cos( θ1 + θ) + isin( θ1 + )] 1 θ Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica è un numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti

15 DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA ALGEBRICA + 1 x1 iy1 + x iy ( 0) 1 x x 1 x + + y y y 1 + i x y 1 x + x y y DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA 1 ρ1(cosθ1 + i sinθ1) ρ(cosθ + isinθ) ( ) 0 ρ + ρ ( cos( ϑ ϑ ) isen( ϑ ϑ )) 1 1 Il modulo si ottiene dividendo i moduli L argomento si ottiene sottraendo gli argomenti

16 POTENZA DI DUE NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA n n ( ) ( ) ρ ϑ ϑ (cos n + i sen n )

17 RADICE N.ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO ρ(cos ϑ + i senϑ ) Dato il numero complesso si dice RADICE N-ESIMA di un qualunque numero complesso w tale che n w Da cui di ricava che esistono n soluioni : w k n ϑ + kπ ϑ + kπ ρ cos + isen n n con k0,1,,,n-1

18 I numero complessi w hanno lo stesso modulo, ma diverso argomento; quindi individuano punti di una stessa circonferena di raggio uguale al modulo. Si può dimostrare che essi individuano i vertici di un poligono regolare di n lati. Esempi 1) w 1 1 n ρ 1 ϑ kπ 0 + kπ w 1 cos + isen k 0,1

19 w w 0 1 ( isen ) ( π isenπ ) 1 cos cos + w1 w0 3 ) w 1 1 w0 1( cos 0 + isen0) n 3 w1 1 cos π + isen π ρ ϑ w 1 cos π + isen π 3 3

20 SOLUZIONE EQUAZIONI POLINOMIALI IN C x³ ha tre soluioni in C. Quali? 4 x ha quattro soluioni in C. Quali?

21 Risoluione algebrica delle equaioni di secondo grado α Consideriamo l equaione dove α è un numero reale. Si devono distinguere due casi; nel primo porta a determinare due soluioni reali ( ± α ), il secondo in cui, che conduce a due soluioni complesse coniugate, dette immaginarie ( ). ± i α Quando invece si deve risolvere la generica equaione di secondo grado a + b + c 0, con a, b, c R, si può seguire, una volta raccolto il coefficiente a, il metodo del completamento del quadrato, che fornisce le soluioni con operaioni elementari sulle variabili e sui coefficienti reali: b c b b 4ac a a a 4a a b c a a

22 Posto, si hanno due casi: 0, allora <0, allora w b w ± 4ac 4a b 4ac a i 4ac b w ± a e e ± b b 4ac Nel caso in cui l equaione di partena sia a coefficienti complessi, allora per risolvere l equaione di secondo grado si risolve il sistema ottenuto uguagliando separatamente le parti reali dell equaione e le parti immaginarie tra loro. aa b ± i 4ac b a

23 Forma esponeniale dei numeri ϕ e i cosϕ + isenϕ complessi ( cosϕ + ϕ) ρ a + ib ρ isen e iϕ e i e + i 1 ϕ ϕ1 ϕ i

24 Operaioni tra numeri complessi in moltiplicaione 1 ρ ρ e e iϕ 1 iϕ forma esponeniale i( ϕ 1 + ϕ ) 1 ρ1ρ e 1 1 i( ϕ 1 ϕ ) ρ ρ e n n inϕ ρ e n n ρ e ϕ π i + k n n

25 Forma polare dei numeri complessi

26 Estraione di radice L estraione della radice quadrata di un numero complesso è sempre possibile e si ottiene utiliando la seguente formula: a ± ib a + b + a ± i Per la radice ennesima si applica la formula che segue. Se il numero di cui estrarre la radice è scritto in forma algebrica è necessario convertirlo in forma canonica: a + b a n ρ(cosϕ ± isenϕ) n ϕ ρ cos + k n π n ± ϕ isen + k n π n

27 Formula di De Moivre [ ( )] n n ρ cosϕ ± jsenϕ ρ ( cosϕ n ± jsenϕ n)