Equazioni di grado superiore al II

Transcript

1 Equaioni di grado superiore al II Equaioni binomie Un equaione binomia è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo a n + b 0. Per risolvere una tale equaione, volendo cercare anche le soluioni complesse, occorre: a. scomporre l equaione in fattori. Osservaione: Se l esponente n è pari, ed a e b sono discordi, ha due soluioni reali ed opposte, le altre sono complesse. Se l esponente n è pari, ed a e b sono concordi, l equaione ha solo soluioni complesse. Se l esponente n è dispari, ha sempre una sola soluione reale, le altre sono complesse. 0 0; 8 0 ; ( ) ( + + ) 0 ; b ac b ±, a ± ± ± i + 0 ; ; ( + ) ( + 9) 0 ; b ac 9 7 b ±, a ± 7 ± ± i 8 0 ; 0 ; ( + ) ( ) 0 ; ± ± ± ± i 9 0 ; 0 ; ( + 8) ( 8) 0 ; ( + ) ( + ) ( ) ( + + ) 0 ; ,, ± i ± i Matematica

2 Equaioni trinomie Un equaione trinomia è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo a + b + c 0 con a 0 e n N a. porre n b. risolvere l equaione di II grado ottenuta a + b + c 0 c. sostituire le soluioni trovate e in 8 0 n n e ricavare le soluioni,,,... n Si pone b ±, a ; 8 ; 8 0 ; b ac + 89 ± 89 ±7 8 ; + 0 ; b + 0 ; ac ; ±, ± i ; ; ; b ac ; ( ) ( + + ) ±, ± i 08 ± i 08 Equaioni reciproche Un equaione reciproca è un equaione che, ridotta a forma normale, ha i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi, uguali od opposti, n n n cioè del tipo a + b + c +... ± c ± b ± a 0 L equaione reciproca si dice di I a specie quando i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali. L equaione reciproca si dice di II a specie quando i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti.. Un equaione reciproca ammette sempre soluioni reciproche : e. Matematica

3 Equaioni reciproche di III grado di I a specie Un equaione reciproca di tero grado di I a specie è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo a + b + b + a 0. Essa ammette sempre almeno la soluione. a. scomporre l equaione in fattori (Raccoglimento a fattor comune pariale oppure Metodo di Ruffini) + 0 Si applica il Metodo di Ruffini: ( + ) ( + ) 0 ; b ac 9; ± 9, ± Equaioni reciproche di III grado di II a specie Un equaione reciproca di tero grado di II a specie è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo a + b b a 0 Essa ammette sempre almeno la soluione. c. scomporre l equaione in fattori (Raccoglimento a fattor comune pariale oppure Metodo di Ruffini) d. applicare la legge dell annullamento del prodotto Si applica il Metodo di Ruffini: ( ) ( + ) 0 ; 0 b ac 9 ; ±, ± Matematica

4 Equaioni reciproche di IV grado di I a specie Un equaione reciproca di quarto grado di I a specie è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo: a + b + c + b + a 0. Essa si risolve come nell esempio seguente Non essendo 0 soluione dell equaione si dividono tutti i termini per : Si raccolgono i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi : (*) Si pone cioè + + Da cui si ottiene + Sostituendo nell equaione (*) + e + si ha: ( ) + 0 ; + 0 ; 0 ; ( ) 0 ; Sostituendo in + si ha: + ; + 0 ; + 0 ; ;, ± i + ; + ; + ; + 0; ;, 0 ± Matematica

5 Equaioni reciproche di IV grado di II a specie Un equaione reciproca di quarto grado di II a specie è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo: a + b b a 0. Essa ammette sempre almeno le soluioni., ± a. scomporre l equaione in fattori (Raccoglimento a fattor comune pariale oppure Metodo di Ruffini) + 0 Metodo Si applica il Metodo di Ruffini, con : ( ) ( + ) 0 ; Si applica, di nuovo, il Metodo di Ruffini, con : ( ) ( + ) ( + ) 0 ; ; 89 ; ± 89, ± ± Metodo + 0 Si raccolgono i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi : ( ) ( ) 0 ; ( + ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( + ) ] 0 ; ( ) [ + ] 0 ; ( ) ( + ) 0 ; ; 0 + 0, ± ± ; 89 ;, ± ± Matematica

6 Equaioni reciproche di V grado di I a specie Un equaione reciproca di quinto grado di I a specie è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo: a + b + c + c + b + a 0. Essa ammette sempre almeno la soluione a. scomporre l equaione in fattori di I e II grado Vediamo questo metodo con il seguente esempio Si applica il metodo di Ruffini e si ottiene: + 0 ( + ) ( + + ) 0 ; + La seconda equaione è un equaione reciproca di IV grado di I specie, già risolta precedentemente e che da le soluioni: , ± i, ± Equaioni reciproche di V grado di II a specie Un equaione reciproca di quinto grado di II a specie è un equaione che, ridotta a forma normale, è del tipo: a + b + c c b a 0. Essa ammette sempre almeno la soluione + c. scomporre l equaione in fattori di I e II grado d. applicare la legge dell annullamento del prodotto Vediamo questo metodo con il seguente esempio Si applica il metodo di Ruffini e si ottiene: 0 ( ) ( + + ) 0 ; + La seconda equaione è un equaione reciproca di IV grado di I specie, già risolta precedentemente e che da le soluioni: , ± i +, ± Matematica

7 Equaioni di grado superiore al II generiche Una generica equaione di grado superiore al II è un equaione che non rientra nella casistica esaminata precedentemente. a. scomporre l equaione in fattori di I e II grado Vediamo questo metodo con il seguente esempio ; ( ) 0 Si applica il Metodo di Ruffini: Si trovano i divisori del termine noto D { ±, ±, ±, ± } Si trovano i divisori del I coefficiente D { ±, } ± Si trovano tutte le combinaioni di fraioni con i divisori del termine noto al numeratore, e i divisori del I coefficiente a denominatore L equaione pertanto si scompone : ( + 0) 0 ; ( + 0) 0 ; 0 ; ±, 7 0 (contata volte),,, 8 ± D N D ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, ± Matematica 7