Metodi matematici: HowTo

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1 Metodi matematici: HowTo α b3by ω 2 novembre 29 Il seguente documento è stato scritto mediante l uso di L A TEX 2ε. Indice Scomposizione in fratti semplici 3. Poli semplici Poli multipli Poli complessi coniugati Poli semplici complessi coniugati Poli multipli complessi coniugati Calcolo di integrali - teoria dei residui 5 2. Funzione in C Funzione razionale reale Funzione razionale per un esponenziale, mod. A Funzione razionale per un esponenziale, mod. B Trasformata Zeta per equazioni ricorrenti 7 4 Problema di Cauchy - trasformata di Laplace 8 5 Trasformata e serie di Fourier di segnali replicati 8 5. Esempio - Trasformata e serie di Fourier

2 Riferimenti Il seguente prontuario è stato scritto sulla base dei testi delle prove d esame del professor Vincenzo Ferone, docente di Metodi Matematici per l Ingegneria all università Federico II di Napoli, facoltà di Ingegneria Informatica. Non si ha in questa sede la pretesa di voler illustrare la teoria che compone i modelli risolutivi degli esercizi proposti, sebbene si sia cercato di mantenere rigore e formalismo. Chiedo anticipatamente scusa per gli errori che potrebbero essere presenti nel testo. Per critiche, commenti o segnalazioni potete scrivere a: babylacqua@fastwebnet.it anto.bevilacqua@studenti.unina.it Banalmente...l integrale vale Pi. Vincenzo Ferone 2

3 Scomposizione in fratti semplici Data una funzione razionale del tipo F (s) = P n(s) Q m (s) (.) con P n (s) polinomio di grado n e Q m (s) polinomio di grado m, la si vuole scomporre in una somma di termini (polinomiali o razionali) del tipo: A (s s ) k oppure B (s σ ) 2 + ω 2 oppure C s (s σ ) 2 + ω 2 dove A, B e C sono termini dipendenti dal numeratore, k è un intero positivo. In merito alla funzione razionale di partenza, risulta utile distinguere tre casi: - Q(s) presenta poli semplici; - Q(s) presenta poli multipli; - Q(s) presenta poli complessi coniugati, semplici o multipli; Per scomporre la (.) in fratti semplici occorre dunque conoscerne i poli, mediante la risoluzione dell equazione Q(s) =.. Poli semplici Q(s) si annulla nei punti s, s 2,..., s m. Si riscrive la funzione come: F (s) = Q n m (s) }{{} se n m + A s s + A 2 s s A m s s m (.2) Il termine Q n m (s) è il quoziente del rapporto tra P n (s) e Q m (s), ed è presente solo nel caso in cui si abbia n m. Le costanti A, A 2,..., A m si ottengono mediante il calcolo dei reisidi della funzione nei poli corrispondenti: A i = Res F (s) (s i ) i =, 2,..., m Riscritta in questi termini, la funzione scomposta in fratti diventa poli semplici F (s) = Q n m (s) + Res F (s)(s ) + Res F (s)(s 2 ) Res F (s)(s m ) (.3) }{{} s s s s 2 s s m se n m.2 Poli multipli Si valuta il presentarsi di un unico polo multiplo: i risultati si possono estendere al caso in se ne trovino diversi. Ci si trova dunque nel caso in cui F (s) = Pn(s) q m(s) sia tale che Q m (s) presenta un polo di ordine m in s, con P n (s ). poli multipli 3

4 F (s) = Q n m (s) + A m }{{} (s s ) m + A m (s s ) m A 2 (s s ) 2 + A (s s ) (.4) se n m Anche in questo caso, il termine Q m n (s) è presente solo per n m. I coefficienti A m sono quelli dello sviluppo in serie di Laurent, calcolati come segue: A m = Res s s m F (s)(s ) = C m A m = Res s s m 2 F (s)(s ) = C m+... coefficienti di Laurent A 2 = Res s sf (s)(s ) = C 2 A = Res F (s) (s ) = C Come si può ricordare dal calcolo dei residui, i termini A i si calcolano mediante la formula d (i ) A i = (i )! ds i (s s i) m i P n(s) Q m (s).3 Poli complessi coniugati s=si Come per i poli reali, così i poli complessi possono essere semplici oppure multipli. In particolare, si nota che a poli complessi coniugati corrispondono residui complessi coniugati. Si valutano i casi in cui l ordine dei poli di Q m (s) sia oppure Poli semplici complessi coniugati Data una coppia di poli semplici complessi coniugati s = σ + jω s = σ jω anche i residui della funzione in corrispondenza dei suddetti poli sono complessi coniugati. Preso Res F (s) (s ) = α + jβ il residuo di F (s) in s, la scomposizione in fratti semplici è del tipo s σ ω F (s) = Q n m (s) +2α }{{} (s σ ) 2 + ω 2 2β (s σ ) 2 + ω 2 se n m (.5) poli semplici complessi coniugati Chiaramente, risulta necessario il calcolo di un unico residuo, indifferentemente in s o in s. α = R [ Res F (s) (s ) β = I [ Res F (s) (s ) α = R [ Res F (s) ( s ) β = I [ Res F (s) ( s ) 4

5 .3.2 Poli multipli complessi coniugati Data una coppia di poli multipli complessi coniugati s = σ + jω s = σ jω presi del secondo ordine, si valutano i seguenti residui: α + jβ = Res F (s) (s ) a + jb = Res (s s)f (s)(s ) (.6) La scomposizione in fratti semplici della (.) avrà la forma: poli multipli complessi coniugati s σ ω F (s) = Q n m (s) +2α 2β + }{{} (s σ ) 2 + ω 2 (s σ ) 2 + ω 2 (s ω 2 2a (s + ω 2 se n m [ d 2a ds s σ σ ) 2 + ω σ ) 2 (.7) dove vale, come visto in precedenza α = R [ Res F (s) (s ) β = I [ Res F (s) (s ) a = R [ Res (s s)f (s)(s ) β = I [ Res (s s)f (s)(s ) 2 Calcolo di integrali - teoria dei residui Il calcolo integrale di funzioni razionali complesse (o reali, nel caso in cui compaiano esclusivamente variabili reali), si avvale del teorema dei residui e, più in generale, della teoria dei residui. La metodologia risolutiva adottata si differenzia a seconda del tipo di funzione integranda f. 2. Funzione in C Si consideri una generica funzione complessa f(z), della quale si voglia calcolare l integrale curvilineo sul bordo orientato di un dominio D. L applicazione diretta del teorema dei residui consente di determinare il valore dell integrale mediante il solo calcolo dei residui di f(z) nei punti di singolarità contenuti nella parte interna del dominio D. f(z) dz = 2πj Res f(z) (z k ) z k D (2.) + D k funzione complessa Tale integrale, trattandosi di una misura in C, può contenere j. Inoltre, il risultato finale può valere zero. Si ricorda in aggiunta che nel caso in cui f(z) ammetta solo un numero finito di singolarità al finito z, z, z 3... z n allora vale n Res f(z) ( ) = Res f(z) (z k ) k= z k D 5

6 2.2 Funzione razionale reale Si consideri la funzione razionale f(x) = P (x) Q(x) con P (x) di grado p e Q(x) di grado q. Se p q 2, allora vale: [ + n P (x) dx = 2πj Res f(x) (z k ) + m Res f(x) ( z h ) Q(x) 2 con I(z k ) > I( z h ) = k= h= poli complessi sul semipiano superiore poli reali (2.2) funzione razionale reale 2.3 Funzione razionale per un esponenziale, mod. A Si consideri la funzione razionale f(t) = P (t) Q(t) ejat con P (t) di grado p e Q(x) di grado q, dove p < q. Inoltre sia a R, a, s = t + jω, t, ω R. Gli zeri della f(t) sono ripartiti nel seguente modo: - s k zeri di Q(s), k n, I(s k ) >, P (s k ). - s i zeri semplici di Q(s), i m, I( s i ) =, P ( s k ). - s h zeri di Q(s), h r, I( s h ) <, P ( s h ). In base al lemma di Jordan posso dunque calcolare il valore dell integrale della f(t): [ n 2πj k= Res f(x)(s k ) + m 2 i= Res f(x)( s i ) a > P (t) Q(d) ejat dt = 2πj [ n h= Res f(x)( s h ) + m 2 i= Res f(x)( s i ) a < (2.3) Come si nota dai residui calcolati all interno delle sommatorie, l integrale cambia a seconda del segno della a, se questo è positivo, allora si considerano nella sommatoria i poli reali e i poli complessi a parte immaginaria positiva; in caso contrario si considerano nella sommatoria i poli reali e i poli complessi a parte immaginaria negativa. funzione razionale per un esponenziale, mod. A 2.4 Funzione razionale per un esponenziale, mod. B Si consideri la funzione razionale f(t) = P (s) Q(s) ets con P (x) di grado p e Q(x) di grado q, dove p < q. Inoltre sia t R, t, s = σ + jω con σ, ω R. Se il denominatore Q(s) è analitico per Rs = σ, gli zeri della f(t) sono ripartiti nel seguente modo: 6

7 - s k zeri di Q(s), k n, R(s k ) > σ, P (s k ). - s i zeri di Q(s), i m, R( s i ) < σ, P ( s i ). In base al lemma di Jordan posso dunque calcolare il valore dell integrale della f(t): σ j σ +j P (t) Q(d) est dt = 2πj n k= Res f(x)(s k ) t < 2πj n i= Res f(x)( s i ) t > (2.4) funzione razionale per un esponenziale, mod. B 3 Trasformata Zeta per equazioni ricorrenti Si vuole risolvere un problema ai valori iniziali per un equazione algebrica alle differenze finite, ottenuto discretizzando un problema di Cauchy a tempo continuo. { ax[n bx[n + + cx[n = f x[ = k x[ = k 2 In base alle regole di trasformazione della Zeta, per le quali vale Z [ x[n + =zz [ x[n zx[ Z [ x[n + 2 =zz [ x[n + zx[ = =z 2 Z [ x[n z 2 x[ zx[ (3.) si trasforma l equazione del problema, ottenendo: az [ x[n + 2 = a [ z 2 X z 2 k zk 2 bz [ x[n + 2 = b [ zx 2k cz [ x[n = cx Z [ f = F Riscrivendo l espressione dopo aver trasformato si ha a [ z 2 X z 2 k zk 2 + b [ zx zk + cx = F ; az 2 X az 2 k axk 2 + bzx bzk + cx = F ; X [ az 2 + bz + c = F + az 2 k + azk 2 + bzk ; X = F az 2 + bz + c + az2 k + azk 2 + bzk az 2 + bz + c (3.2) Antitrasformando l espressione ottenuta secondo la definizione di antitrasformata Zeta si ottiene: x(n) = [ F 2πj az 2 + bz + c + az2 k + azk 2 + bzk az 2 z n dz (3.3) + bz + c γ successione definita per ricorrenza Tale integrale è risolvibile mediante la teoria dei residui. 7

8 4 Problema di Cauchy - trasformata di Laplace Si vuole risolvere un problema di Cauchy definito all interno di un intervallo del tipo [, + [: { y + ay + by = x(t) y() = k, y () = k 2 (4.) Applicando le regole di trasformazione di Laplace, ed in particolare la derivazione in t per la quale vale L [ y (t) = L [ ay (t) = a = y () + s y (t)e st dt = y (t)e st + [y(t)e st + = y () sy() + s 2 Y (s) = ay() + asy (s) + s y (t)e st dt = ay(t)e st + si trasforma l equazione del problema: + s y (t)e st dt + as y (t)e st dt = = y(t)e st dt = L [ y + ay + by = s 2 Y + asy + by y()s y () ay() = X(s) Y (s) = s 2 + as + b X(s) + y()s + y () + ay() s 2 + as + b (4.2) L espressione ottenuta deve essere scomposta in fratti semplici e successivamente antitrasformata secondo le regole di antitrasformazione di Laplace. Vedi il capitolo per la scomposizione in fratti semplici. 5 Trasformata e serie di Fourier di segnali replicati Si vogliono determinare la trasformata e la serie di Fourier del prolungamento periodico secondo il periodo T di un segnale x (t), del quale viene fornito il comportamento entro un certo intervallo. Trasformazione Si esplicita x (t) nella sua forma più semplice e si trasforma secondo Fourier, eventualmente avvalendosi delle proprietà di derivazione nel tempo. Discontinuità Si calcola X (ω) nei punti di discontinuità ω in R, applicando la definizione di trasformata di Fourier. Periodicizzazione Dopo aver determinato ω = 2π/T si esplicita X (nω ), sostituendo nω a ω. 8

9 F -trasformata Si calcolano le condizioni iniziali come c = ω X ( ω) 2π e si scrive la trasformata del segnale: X(ω) = c + ω + n= (5.) X (nω )δ(ω nω ) (5.2) Segnale Si scrive l espressione del termine c n del segnale x(t) come c n = ω X (nω ) 2π e tramite quello si scrive il segnale ricercato: (5.3) x(t) = c + + n= c n e jωnt (5.4) In tal sede risulta utile allegare un esempio di calcolo di serie e trasformata di un prolungamento periodico di una funzione. 5. Esempio - Trasformata e serie di Fourier Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 4, della funzione 2t t [, x (t) = 2t 4 t [, 3 2 t [3, 4 Trasformazione Esplicitiamo il segnale, andandolo a derivare fin quando non saranno scomparsi tutti i gradini. x (t) = 2t[u(t) u(t ) + (2t 4)[u(t ) u(t 3) + 2[u(t 3) u(t 4) x (t) = 2[u(t) u(t ) 2t[δ(t) δ(t ) + 2[u(t ) u(t 3)+ + (2t 4)[δ(t ) δ(t 3) + 2[δ(t 3) δ(t 4) = = 2[u(t) u(t ) + 2δ(t ) + 2[u(t ) u(t 3) 2δ(t )+ 2δ(t 3) + 2δ(t 3) 2δ(t 4) (t) = 2[δ(t) δ(t ) + 2δ (t ) + 2[δ(t ) δ(t 3) 2δ (t ) 2δ (t 4) = = 2δ(t) + 2δ(t ) + 2[δ(t ) δ(t 3) 2δ (t 4) = x = 2δ(t) + 4δ(t ) 2δ(t 3) 2δ (t 4) Trasformiamo il segnale ottenuto, avvalendoci della proprietà di derivazione nel tempo, per la quale F [x (t) = jωx(ω). Allora: (jω) 2 X (ω) = 2 + 4e jω 2e 3jω 2jωe 4jω Riscrivendo: X (ω) = 2 + 4e jω 2e 3jω 2jωe 4jω ω 2 9

10 Discontinuità Si osserva che la funzione trasformata ottenuta è discontinua nel punto ω =. Applichiamo quindi la definizione di trasformata di Fourier al segnale originale x (t) : X () = 2t dt + 3 (2t 4) dt dt = = t 2 + (t 2 4t) Periodicizzazione Sapendo che T = 4 e che ω = 2π T, allora ω = π 2. Possiamo a questo punto periodicizzare la trasformata ottenuta in precedenza: X (nω ) = X ( nπ 2 = ) = 2 + 4e j nπ 2 2e 3jn 3 2 π jnπe jn2π n 2 π 2 / e j nπ 2 2e 3jn 3 2 π jnπ n 2 π 2 /4 F -trasformata Si calcolano le condizioni iniziali sostituendo i risultati finora ottenuti: c = ω X () = 2π 4 Si scrive a questo punto la F -trasformata: X(ω) = 4 + π 2 + n= X (nω )δ(ω nω ) Segnale L espressione del termine generale c n del segnale x(t) è c n = ω X (nω ) 2π Sommando le condizioni iniziali: x(t) = n= = X (nω ) 4 c n e jωnt = 3 + 2t 4 = 3 Ricordando che e =