Trasformata di Laplace Antitrasformata Dominio Tempo

Transcript

1 Capitolo Come abbiamo visto nella lezione, il calcolo della risposta di un sistema nel dominio del tempo richiede la soluzione di equazioni differenziali. Quindi bisogna trasformare il problema matematico, spostandosi su un dominio ove esso poteva essere semplificato e gestito più agevolmente. Questo dominio è la Trasformazione di Laplace, o L-trasformata, che ci permette appunto lo spostamento del problema del calcolo della risposta di un sistema dal dominio temporale al dominio di Laplace. Su tale dominio, infatti, risolvere un equazione differenziale corrisponde a risolvere un opportuna equazione algebrica. Dopo questo breve ma necessario riassunto della lezione ci possiamo inoltrare nel vivo dell argomento della nostra lezione che è quello di vedere in modo altrettanto semplice come sia possibile dopo aver usato la Trasformata di Laplace per ottenere la soluzione del problema visto nella lezione, ritornare dal domino di Laplace a quello temporale (t attraverso la Antitraformazione (L -. In altre parole, il problema che ci poniamo in questa seconda lezione si può affrontare / risolvere effettuando dapprima uno spostamento di dominio ( t s e ritornando poi nel dominio in cui il problema era stato formulato (s t. L argomento della lezione si può così schematizzare: ( t s (s t U(s G(s Y(s u(t y(t Trasformata di Laplace Antitrasformata Dominio Tempo in cui U variabile d ingresso ( sollecitazione, G funzione di trasferimento del sistema ( rapporto tra ingresso e uscita e Y variabile di uscita. Adesso vediamo come si procede passo per passo per andare a calcolare la variabile di uscita Y in funzione del tempo. 8

2 Scrivo la Trasformata di Laplace - L, attraverso l uso della tabella di trasformazione: G( s U ( s Funzione azionale Fratta apporti di Polinomi... ( s p ( s... p Possiamo notare che nella nostra Funzione azionale Fratta : al denominatore della funzione di trasferimento compare un polinomio le cui adici sono i Poli del sistema. mentre al numeratore della funzione di trasferimento le radici del polinomio sono dette Zeri del sistema. Decomposizione in Fratti Semplici del denominatore della Y(s: La Decomposizione in Fratti Semplici è la prima operazione necessaria per l'antitrasformazione in cui otteniamo al numeratore e al denominatore: esidui ( s p ( s p n... ( s p n Poli il vantaggio di questa situazione è quella che i contributi legati ai fratti semplici si trovano sulla tabellina delle trasformate di Laplace. 9

3 Abbiamo Decomposto in Fratti Semplici la Y(s in modo da riuscire a calcolare le radici dei Poli e i esidui. Vedremo poi a fine lezione come possiamo calcolare le adici dei Poli e i esidui ( i con l ausilo del calcolatore attraverso il SW Matlab che ci aiuterà a calcolarli entrambi. Applico l Antitrasformata L - per passare dal dominio s al dominio t attraverso l uso delle Tabelle di trasformazione. pt pt Con l antitrasformata ottengo: e e... Unilateralizzo. ( t pt p t y t e p e... ( e... δ ( t In quanto devo considerare solo i segnali che ci interessano a livello ingegneristico che sono quelli positivi. Graficamente si può rappresentare come: u(t Tempo 0

4 Esempio. Partiamo sempre dallo stesso schema visto a inizio lezione: U(s G(s Y(s Sapendo che G funzione di trasferimento del sistema ( rapporto tra ingresso e uscita è: ( s G ( s ( s ( s Vogliamo calcolare y(t quando ho: u ( t δ ( t Gradino con segnale di altezza unitaria Per poter rispondere a questo tipo di esercizio bisogna seguire i passi descritti a inizio lezione: Fare la trasformata di Laplace di Y(s: G( s U ( s per poter far questo dobbiamo trasformare u(t in U(s con la tabellina della trasformata di Laplace in cui vediamo che δ ( è uguale a. s t Quindi avrò: ( s G( s U ( s ( s ( s s ( s s( s ( s alla fine otteniamo una funzione razionale fratta. Passiamo alla Decomposizione in Fratti Semplici: in questo caso la situazione è semplice e si può sviluppare in questo modo: s ( s ( s

5 Antitrasformata L -,usando la tab. di trasformazione di Laplace e ottengo: y( t δ t ( t e e Unilateralizzo. t t y( t δ ( t e e ( e e δ ( t Adesso vedremo come con MatLab possiamo calcolare i esidui e inserirli nel nostro y(t. In figura è rappresentata la videata relativa all inserimento della funzione con Matlab: Attraverso questo comando definisco num come vettore riga di valori [ ] (s 4 Attraverso questo comando definisco den come vettore risultato del prodotto matriciale conv, prima dei due vettori [ 0] [ ] s(s, e successivamente con il vettore [ ] s, per ottenere la funzione: s*(s*(s Attraverso questo comando calcolo i residui, poli e resto relativi alle variabili num e den precedentemente definite

6 4 r Questi sono i residui, e rispettivamente, ed, l ordine dei residui si ricava facilmente analizzando l ordine dei poli associati, è lo stesso p Questi sono i valori dei poli, rispettivamente P, P e P, k [] Questo valore esprime il resto per noi vale sempre 0 t t y( t δ ( t e e ( e e δ ( t t t y( t 0.667δ ( t 0.5e e ( e e δ ( t

7 Esempio. Uso sempre lo stesso schema : U(s G(s Y(s Sapendo che G funzione di trasferimento del sistema ( rapporto tra ingresso e uscita è: ( s G ( s ( s ( s Calcolare y(t quando all'entrata ho: u ( t δ ( t Seguo gli stessi passi che abbiamo svolto per risolvere l'esempio. Trasformata di Laplace di Y(s: G( s U ( s per poter far questo dobbiamo trasformare u(t in U(s con la tabellina della trasformata di Laplace in cui vediamo che δ ( è uguale a. s t Quindi avrò una funzione razionale fratta: ( s ( s G( s U ( s ( s ( s s s( s ( s Passiamo alla Decomposizione in Fratti Semplici: in questo caso la situazione è un pò meno semplice del caso perchè a denominatore abbiamo un polinomio al quadrato. Il polinomio al quadrato si fattorizza così: ( s FATTOIZZAZIONE ( s ( s 4

8 Se il polinomio fosse stato al cubo avrei avuto: ( s FATTOIZZAZIONE ( s ( s ( s e così per tutte le potenze, bisogna scomporre il polinomio in tutte le possibilità possibili. Dopo questa breve spiegazione di come si fattorizzano i polinomi elevati a "n", ritorniamo al nostro caso. Usando la tabella di trasformazione di Laplace e supponendo di avere usato Matlab e quindi di conoscere, e si ottiene che: Antitrasformata. s ( s ( s 4 ( s Adesso uso la tab. di trasformazione di Laplace per ottenere Y(t ed avremo: y( t δ e t ( t e te come visto prima devo fare una considerazione che è quella di andare a considerare solo i segnali che ci interessano a livello ingegneristico che sono quelli positivi. 4 t t t Unilateralizzo. y t ( e e te δ ( ( 4 t A questo punto inseriamo i dati, e attraverso Matlab calcolo residui e poli della funzione; il metodo di inserimento dei dati è analogo all esercizio precedente. r r r4 r p p p4 p I poli associati alla funzione in analisi sono rispettivamente dall alto verso il basso, P, P, P4, P. Il dubbio potrebbe sorgere per l assegnazione dei residui relativi a s e (s ; per ovviare a ciò basta ricordare che Matlab ordina i risultati per potenze crescenti di s, quindi sia il secondo residuo che il secondo polo sono associati a s. Assegnato l ordine ai poli, i residui seguono la sequenza dei poli 5

9 A questo punto possiamo inserire i residui calcolati nella funzione y(t, ottenendo la funzione desiderata: t t t t y( t ( e e 4te δ ( t (0.5 e.5e.5te δ ( t Adesso che iniziamo ad avere le idee molto più chiare sull'antitrasformazione incrementiamo ulteriormente il livello di difficoltà dei nostri esercizi e andiamo ad analizzare il caso in cui abbiamo un Polinomio con Poli con numeri Complessi Coniugato. Esempio. G s ( s ( s Calcolare Y(t quando: u ( t δ ( t Quindi avrò: Trasformata di Laplace: G( s U ( s ( s s s come si può vedere con ( s s ho un polinomio con radici Complesse Coniugate. Passiamo alla Decomposizione in Fratti Semplici: come abbiamo detto prima abbiamo un polinomio con radici complesse coniugate, che sono: b± b 4ac ± 4 s, a s j s j 6

10 per cui la decomposizione in fratti semplici diviene: ( s j ( s j s ( s j ( s j s Antitrasformata. Come si può notare i Fattorizzati semplici con numeri complessi non sono presenti sulla tabella di trasformazione di Laplace quindi bisogna scegliere un'altra strarada per arrivare a y(t. Gli esponenziali complessi si possono rappresentare con delle Cosinusoidi per cui si usa l'antitasfomata per i polinomi complessi coniugato che è: σ M e t cos( ω t ϕ Adesso vediamo come si calcolano i vari componenti dell antitrasformata: M,ω,ϕ Iniziamo col vedere come scrivere i le adici dei Poli e i esidui per poterli usare nel modo più efficiente possibile con i risultati di Matlab. Bisogna ricordarsi che quando ho una coppia di fratti semplici di poli complessi coniugato anche i residui saranno dei complessi coniugato (indicati con ' * '. Quindi bisogna ricordarsi che: P * P j j P P * Quindi iniziamo a vedere il valore di M che è il Modulo dei esidui: M Poi avremo il valore di δ: σ e P e( ( P σ è uguale alla parte reale della radice(p dei poli. La pulsazione ω è uguale al modulo della parte immaginaria delle radici dei poli. ω Im( P Im( P Im( Mentre in fine la ϕ (rotazione del nostro modulo è: ϕ arctg e ( dove è il residuo associato al polo con parte IIm positiva. 7

11 Adesso inseriamo l'antitasfomata nella nostra funzione finale y(t per il polinomio complesso coniugato mentre per gli altri polinomi guardiamo sulla tabella delle trasformazioni di Laplace, per cui avrò: δ t Y t M e cos( ω t ϕ δ ( t ( Unilateralizzo. δ t δ t Y ( t M e cos( ω t ϕ δ ( t ( M e cos( ω t ϕ δ ( t A questo punto analizziamo il sistema attraverso l ausilio di Matlab; come per gli esercizi precedenti inseriamo i dati del sistema, e dall analisi dei poli e residui che trattasi di funzione con residui e poli immaginari; notiamo inoltre che i poli sono complessi coniugati, quindi anche i residui. r r r esidui complessi coniugati p p p Poli complessi coniugati 8

12 A questo punto abbiamo ricavato residui e poli della funzione, attraverso le formule precedentemente definite, utilizziamo Matlab per calcolare M, δ, ω, ϕ. Attraverso questo comando il software elabora il modulo di r( il primo residuo (variabile da noi definita M M Questo comando serve ad assegnare alla variabile sigma (da noi definita, un valore pari al valore della parte reale del polo p( σ e( P Con questo doppio comando assegniamo alla variabile omega (da noi definita, un valore pari al valore del modulo della parte immaginaria del polo p( ω Im( P Attraverso il comando angle, siamo in grado di ottenere la fase (in radianti di una variabile (nel nostro caso r(, che corrisponde alla fase del residuo associato al polo con parte Im>0 ϕ A questo punto abbiamo tutti i parametri per definire la nostra Y(t. Yt e t δ t 0.5 t ( ( cos( ( 9