Antitrasformando questa funzione, otteniamo l'andamento dell'uscita nel tempo:

Transcript

1 INTRODUZIONE Si definisce sistema (elementare) del primo ordine un sistema (lineare tempoinvariante) che sia caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma seguente: G s = K s a Si tratta cioè di una funzione razionale strettamente propria avente il denominatore di 1 grado. La costante di tempo è quella, come si vedrà in seguito, che caratterizza il comportamento dinamico del sistema. Essa determina anche l'unico polo della funzione H(s), che è s= a RISPOSTA AL GRADINO UNITARIO Per studiare il comportamento di un simile sistema, lo si eccita mediante uno dei segnali canonici (gradino, impulso, rampa e rampa parabolica). Per esempio, supponiamo di porre in ingresso al sistema il gradino unitario x(t)=u(t): la sua trasformata di Laplace è U(s)=1/s per cui, nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle, l'uscita assume l'espressione Y(s) = U (s)x (s) k Y s = s s a Antitrasformando questa funzione, otteniamo l'andamento dell'uscita nel tempo: y t =k 1 exp t da cui si comprende quanto detto prima a proposito della costante. L'andamento nel tempo di y(t) è del tipo raffigurato nella figura seguente, dove la scala dei tempi (in ascisse) è stata normalizzata in rapporto alla costante di tempo : Pag. 1 di 8

2 Quando t=τ, la risposta assume un valore pari al 63.2% del valore finale di regime, che si raggiunge approssimativamente dopo 5τ ; per t=2τ, il valore è pari all'86.5% del valore finale, mentre per t=3τ si passa al 95%. Si definisce tempo di assestamento del sistema, il tempo necessario perché y(t) rimane entro il 5% del valore finale. Analiticamente, il tempo di risposta corrisponde all'istante t S che verifica la condizione y y t s = Abbiamo dunque trovato che il tempo di risposta di un sistema del 1 ordine è pari a circa 3τ. Per t=5τ, l'uscita raggiunge il 99.3% del valore di regime, mentre, per t=7τ, si arriva al 99.91%. E' interessante osservare che (non viene dimostrato), otteniamo la velocità con cui parte la risposta (corrispondente alla tangente ad y(t) nell'origine) ed è uguale a 1/ τ Quindi, la velocità con cui parte la risposta del sistema ad un gradino unitario è il reciproco della costante di tempo (e corrisponde dunque al valore assoluto del polo della funzione di trasferimento): ciò significa che la risposta parte tanto più velocemente quanto minore è τ. RISPOSTA ALLA RAMPA Vediamo adesso cosa succede applicando in ingresso al sistema non più il gradino unitario, ma la rampa unitaria x(t)=g(t)r(t): la sua trasformata di Laplace è 1/s 2 per cui, sempre nell'ipotesi di condizioni iniziali nulle, l'uscita assume l'espressione k Y s =G s X s = s 2 s a Pag. 2 di 8

3 Antitrasformando questa funzione, otteniamo l'andamento dell'uscita nel tempo. Per effettuare l'antitrasformazione possiamo procedere mediante l'espansione in fratti semplici. ESEMPIO: Consideriamo un semplice circuito RC serie: Applicando l'operatore trasformata di Laplace, otteniamo dunque E s =RI s 1 cs I s I s = 1 1 V s = RCs 1 E s = 1 RC R 1 Cs E s 1 s 1 RC E s La costante di tempo è dunque τ=rc e quindi il polo della funzione di trasferimento è s= 1/RC. Pag. 3 di 8

4 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Si definisce sistema del secondo ordine un sistema che sia caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma seguente: n 2 H s = s 2 2 n s 2 n Si tratta cioè di una funzione razionale avente denominatore di 2 grado e numeratore di grado 0. Compaiono in questa frazione 2 importanti parametri: il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale ω n. Il valore di questi parametri influenza la posizione dei due poli della funzione di trasferimento, in accordo a quanto illustrato nella figura seguente: Le espressioni analitiche dei due poli si ottengono evidentemente ponendo =0 il denominatore di H(s) e trovando le due soluzioni della corrispondente equazione: = n ± j n 1 2 Abbiamo cioè, in generale due poli complessi e coniugati. Pag. 4 di 8

5 Esempio Consideriamo un sistema meccanico costituito da una massa M collegata ad una parete verticale attraverso una molla di costante k ed uno smorzatore con attrito viscoso di costante B: Alla massa M è applicata una forza F che tende ad allontanarla dalla parete. Vogliamo descrivere la dinamica del sistema, ossia vogliamo descrivere la posizione della massa rispetto ad un riferimento arbitrariamente fissato:dobbiamo dunque legare l'uscita (cioè appunto la posizione) all'ingresso (rappresentato dalla forza F ). Esempio 2 Consideriamo adesso un semplice circuito RLC serie: Considerando E(s) come ingresso e la tensione V(s) sul condensatore come uscita, otteniamo: Pag. 5 di 8

6 E s =RI s LsI s 1 Cs I s I s = 1 Risposta temporale di sistemi del primo e secondo ordine R Ls 1 Cs E s quindi deduciamo che la funzione di trasferimento del sistema è: V s = 1 Cs I s = 1 1 Cs R Ls 1 E s Cs H s = V E = 1 LCs 2 RCs 1 = 1 LC s 2 R L s 1 LC POSIZIONE DEI POLI DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Abbiamo visto che le espressioni analitiche dei due poli della funzione di trasferimento di un sistema del secondo ordine sono = n ± j n 1 2 Da questa relazione si intuisce che la posizione dei due poli è strettamente legata al valore del coefficiente di smorzamento. I casi possibili sono i seguenti: il primo caso è quello in cui δ=0: si ha in questo caso che, = n ossia che i due poli sono puramente complessi ed hanno modulo pari alla pulsazione naturale; il secondo caso è quello in cui 0<δ <1: si ha che genericamente che = n ± j n 1 2 quindi si deduce che i poli sono complessi (coniugati) e che il loro modulo è ω n 2, ossia una quantità costante pari al quadrato della pulsazione naturale; ω n Pag. 6 di 8

7 Il terzo caso è quello in cui δ =1: si ha questa volta che = ω n, ossia due poli reali coincidenti negativi di valore assoluto pari alla pulsazione naturale; Il quarto ed ultimo caso è quello in cui δ>1: in questo caso, la quantità 1 δ 2 è negativa, per cui i due poli possono essere espressi nella forma = n ± j n 2 1 si tratta dunque di due poli reali situati simmetricamente rispetto all'origine. RISPOSTA AL GRADINO UNITARIO Cominciamo adesso ad esaminare il comportamento di un sistema del secondo ordine. Supponiamo, in particolare, di porre in ingresso al sistema il gradino unitario x(t)=h(t): la trasformata della risposta del sistema a quella sollecitazione assume l'espressione n 2 Y s =H s X s = s n s n 1 s = A s Bs C s n s n Si individua anche questa volta una costante di tempo, che è chiaramente τ= 1/ δω n. La figura seguente mostra l'andamento di y(t) per vari valori del coefficiente di smorzamento e con scala dei tempi normalizzata in rapporto all'inverso della pulsazione naturale ω n : Pag. 7 di 8

8 Un caso assolutamente particolare è quello in cui δ=1in cui non si ha dunque alcuna sovraelongazione (intesa come differenza positiva tra il valore raggiunto dall'uscita ed il valore finale di regime), visto che non c'è più il termine sinusoidale: y(t) tende asintoticamente al valore finale H(t) senza mai superarlo. Massima sovraelongazione Può adesso interessare la relazione esatta tra il coefficiente di smorzamento ed il valore della massima sovraelongazione, ossia la differenza tra il massimo raggiunto dall'uscita ed il valore finale. Per ricavare questa relazione, troviamo i punti in cui y(t) raggiunge i suoi valori massimi e minimi. Pag. 8 di 8