Controlli Automatici LA Funzione di trasferimento

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1 Controlli Automatici LA Analisi dei sistemi dinamici lineari stabilita dei sistemi lineari proprietà generali della risposta al gradino DEIS-Università di Bologna Tel URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Stabilità dei sistemi lineari Riferimenti bibliografici Indice Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 2 Trasformata di Laplace Ai fini del controllo è interessante sapere come il sistema risponde nel tempo a sollecitazioni esterne non volendo ricorrere a costosi e talora pericolosi esperimenti si può basare l'indagine sull'uso di un modello bisogna risolvere le equazioni differenziali che lo compongono cosa complicata Metodo alternativo Uso della Trasformata di Laplace la trasformata di Laplace consente di trasformare una equazione differenziale in una corrispondente equazione algebrica detta funzione di trasferimento (f.d.t.) l'analisi della f.d.t. consente di ricavare le stesse informazioni dell'analisi diretta della equazione differenziale informazioni importanti sulla risposta del sistema a sollecitazioni esterne si possono ricavare dallo studio delle radici di polinomi associati alla f.d.t. operazione assai più facile Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 3 1

2 Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace di equazioni integro /differenziali - un esempio proprietà utilizzate linearità si trasformano i singoli addendi teoremi della trasformata della derivata e dell'integrale condizione iniziale se l'ingresso è applicato all'istante t=0 si separano le variabili e si raccolgono i termini comuni Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 4 Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace di equazioni integro /differenziali - un esempio continua risolvendo per Y(s) si ha la funzione trasformata della risposta forzata trasformata della risposta libera è detta Funzione di Trasferimento (f.d.t.) Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 5 Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace di equazioni integro /differenziali - un esempio se il sistema è inizialmente in quiete y(0) = 0 equazione algebrica equivalenti dal punto di vista informativo metodo alternativo per lo studio di equazioni differenziali lineari Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 6 2

3 Funzione di Trasferimento Da equazione differenziale a Funzione di trasferimento y(t) è l'uscita; u(t) è l'ingresso a i coefficienti; a n 0 n = ordine dell'equazione differenziale n m fisica realizzabilità condizioni iniziali risposta forzata risposta libera equazione algebrica Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 7 Dalla Rappresentazione di stato alla Funzione di trasferimento Y ( s)= G( s)u ( s) x ( t)= Ax( t)+ Bu( t) Adj si A y( t)= Cx( t)+ Du( t ) G( s)= C det( si A) B + D qualunque sia il punto di partenza equazione differenziale di ordine n sistema di n equazioni di primo grado (forma di stato) la funzione di Trasferimento (f.d.t.) è un modello equivalete del sistema dinamico a meno di possibili cancellazioni tra radici del numeratore (zeri) e radici del denominatore (poli) della f.d.t. se ci sono cancellazioni il contenuto informativo della f.d.t. è inferiore a quello delle altre rappresentazioni differenziali non cattura dinamiche che non hanno effetto sulla relazione ingresso uscita Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 8 Dalla rappresentazione di Stato alla funzione di trasferimento (f.d.t.) sistemi lineari stazionari SISO poiché le variabili di stato, ingresso, uscita ( x(t), u(t), y(t)) sono segnali corrispondenti a grandezze fisiche si possono definire le loro trasformate di Laplace X ( s):= L x( t ) Y ( s):= L y( t ) U ( s):= L u( t ) trasformate dei segnali utilizzando le proprietà di linearità della trasformata di Laplace e ricordando che L dx t dt = sx ( s) x 0 Il modello in forma di stato x ( t)= Ax( t)+ Bu( t) y( t)= Cx( t)+ Du( t) diventa sx ( s) x( 0)= AX ( s)+ BU s Y ( s)= CX ( s)+ DU ( s) Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 9 3

4 Dalla rappresentazione di Stato alla funzione di trasferimento (f.d.t.) sx ( s) x( 0)= AX ( s)+ BU ( s) ( si A) X ( s)= BU ( s)+ x( 0) Y ( s)= CX ( s)+ DU s Y ( s)= CX ( s)+ DU ( s ) X ( s)= ( si A) 1 BU ( s)+ ( si A) 1 x( 0) Y ( s)= C( si A) 1 B + D U ( s)+ C( si A) 1 x( 0) evoluzione forzata evoluzione libera stato uscita G( s):= C( si A) 1 B + D funzione di trasferimento trasformata dell'uscita in Y ( s)= G( s)u ( s)+ C( si A) 1 funzione della x( 0) trasformata dell'ingresso e dello Controlli Automatici LA stato Laplace iniziale e strumenti collegati 10 Esempio Sistema SISO del 2 ordine con condizione iniziale nulla (x(0) = 0) 1 solo ingresso 1 sola uscita 1 solo ingresso 1 sola uscita A = a a a 21 a 22 B = b 1 b 2 C = c c 1 2 G( s):= C( si A) 1 B + D ( si A)= s a a aggiunta di A a 21 s a 22 s a 22 a 12 a ( si A) 1 21 s a 11 = s 2 ( a 11 + a 22 )s + a 22 a 11 a 12 a 21 determinante di A Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 11 Esempio funzione di trasferimento A = a a B = b 1 a 21 a 22 b 2 G( s):= C( si A) 1 B + D s a 22 a 12 s 2 ( a ( si A) a 22 )s a 12 a 21 s 2 ( a 11 + a 22 )s a 12 a 21 = a 21 s a 11 s 2 ( a 11 + a 22 )s a 12 a 21 s 2 ( a 11 + a 22 )s a 12 a 21 n 1 n 1 In generale p 11 p 12 si A det n det n p n-1 ii polinomio generico di grado n-1 n 1 n 1 p 21 p det n determinante di (si-a) di grado n 22 n dimensione del vettore di stato (matrice A) det n det n 1 = Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 12 4

5 Esempio funzione di trasferimento caso con D = 0 A = a a B = b 1 a 21 a 22 b 2 n 1 n 1 p 11 p 12 ( si A) 1 = det n det n n 1 n 1 p 21 p n 1 n 1 22 p det n det n 11 p 12 det n det n b 1 n 1 n 1 p 21 p 22 b 2 det n det n combinazione lineare di polinomi di grado n-1 grado n-1 C( si A) 1 B = b c p n 1 n 1 + c 1( p 21 )+ b 2 c 1 p n 1 n 1 ( 12 + c 2 p grado n-1 22 ) det n C( si A) 1 B = c 1 c 2 Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 13 Esempio funzione di trasferimento caso con D 0 A = a a B = b 1 a 21 a 22 b 2 G( s):= C( si A) 1 B + D G( s):= C( si A) 1 B + D = b c p n 1 n 1 1( + c p 21 )+ b 2 c 1 p n 1 n 1 ( 12 + c 2 p 22 ) + d det n G( s)= b c p n 1 n 1 1( + c p 21 )+ b 2 c 1 p n 1 n 1 ( 12 + c 2 p 22 )+ d det n det n grado n In generale: la G(s) ha denominatore di grado n (dimensione del vettore di stato) se D = 0 la G(s) ha numeratore con grado n-1 se D 0 la G(s) ha numeratore con grado = n Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 14 Struttura della f.d.t. combinazione lineare dei termini di (si-a) -1 matrice i cui termini sono funzioni razionali in s numeratore di grado < n (matrice aggiunta) denominatore di grado n (determinante) (n=deg(a)) grado < n grado = n grado = n grado = n Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 15 5

6 la f.d.t. rappresenta il legame tra la trasformata di Laplace dell'ingresso (la causa forzante) e quella dell'uscita (l'effetto) la f.d.t. è una funzione razionale fratta (rapporto di polinomi) le proprietà della risposta dipendono essenzialmente dalle radici del polinomio a denominatore poli del sistema anche le radici del polinomio a numeratore influenzano la risposta zeri del sistema la maggior parte dei sistemi fisici ha funzione di trasferimento senza zeri, ma molto spesso nel progetto del regolatore ci farà comodo inserire degli zeri L'influenza degli zeri sulla risposta andrà quindi attentamente valutata Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 16 e rappresentazione a blocchi X(s) G(s) Y(s) G(s) si dice propria se m n G(s) si dice strettamente propria se m<n Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 17 Rappresentazioni fattorizzate e parametri della f.d.t. i polinomi a numeratore e denominatore possono sempre essere scritti in forma fattorizzata prodotto delle radici radici reali radici complesse coniugate radici nulle Im(s) Re(s) Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 18 6

7 Rappresentazioni fattorizzate e parametri della f.d.t. passaggio dalla formulazione generica a quella standard per polinomi del 2 ordine la formulazione standard dei termini di 2 ordine delle f.d.t. è comoda perchè, come vedremo, i coefficienti δ e ω n hanno un preciso significato fisico forma generica forma standard nei controlli si eguagliano i coefficienti dei termini si risolve il sistema corrispondenti Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 19 relazione tra la posizione dei poli dei termini di 2 grado e le pulsazioni naturali (α ni, ω ni ) ed i coefficienti di smorzamento (ς i, δ i ) = ρ ( s + z k ) s 2 2 k i ( + 2ζ i α ni s + α ni ) s g ( s + p k ) s 2 2 ( + 2δ i ω ni s + ω ni ) G s acos( δ i ) k ω ni 1 δ i 2 i δ i = 0 ω ni ω ni δ i < 0 0 < δ i <1 δ i =1 δ i = 1 δ i ω ni 2 reali coincidenti Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 20 Rappresentazioni fattorizzate e parametri della f.d.t. k k G( s)= ρ s + z k s g s + p k k k G( s)= µ 1+T k s s g 1+ τ k s s 2 2 i ( + 2ζ i α ni s + α n1 ) s 2 2 i ( + 2δ i ω ni s + ω ni ) 1+ 2ζ i s / α ni + s 2 2 i ( / α n1 ) 1+ 2δ i s / ω ni + s 2 2 i ( / ω ni ) alternative I polinomi elementari hanno i termini noti unitari Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 21 7

8 Rappresentazione e parametri della f.d.t. esempio f.d.t. in forma fattorizzata radici f.d.t. in forma fattorizzata normalizzata i termini noti dei fattori sono unitari Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 22 Rappresentazione non fattorizzata della f.d.t. m n D( s)= det( si A) i poli (radici del denominatore) della f.d.t. coincidono con gli autovalori della matrice di stato A a meno di eventuali cancellazioni con zeri (radici del numeratore) dello stesso valore Se non ci sono cancellazioni poli/zeri, la rappresentazione di stato e la funzione di trasferimento hanno identico contenuto informativo. In presenza di cancellazioni, alcune informazioni che si riferiscono al comportamento interno del sistema e che non hanno effetto sulla relazione ingresso/uscita, vanno perse nella f.d.t.. Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 23 Calcolo dell'andamento temporale dell'uscita utilizzando la trasformata di Laplace a partire dall'ingresso e dallo stato iniziale funzioni razionali fratte con lo stesso denominatore per la proprietà di linearità della antitrasformata di Laplace le antitrasformate dei due termini (la risposta libera e quella forzata) possono essere calcolate separatamente se stiamo considerando il modello di un sistema fisico U(s) è certamente una funzione razionale fratta trasformata di una funzione reale del tempo il prodotto di due funzioni razionali fratte (G(s) e U(s)) è una funzione razionale fratta per il calcolo di y(t) occorre antitrasformare due funzioni razionali fratte, corrispondenti ciascuna al rapporto di due polinomi Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 24 8

9 G( s)= K Formulazioni alternative della f.d.t. forma polinomiale m ( s + z i ) i=1 n ( s + p i ) i=1 forma fattorizzata se m < n si può ottenere una ulteriore formulazione detta sviluppo in fratti semplici o di Heaviside n K G sviluppo in fratti semplici ( s)= i i=1 s + p i o di Heaviside semplifica enormemente l'antitrasformazione se m = n, dividendo i due polinomi di pari grado si ha con grado di N'(s) = n-1 Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 25 Osservazioni l'andamento esponenziale è governato dalla posizione delle radici del polinomio a denominatore poli della f.d.t. (autovalori di A) per la risposta libera poli della f.d.t. (autovalori di A) + radici del denominatore di U(s) per la risposta forzata gli zeri della f.d.t. e le condizioni iniziali (in generale il numeratore della funziona razionale fratta) non influenzano gli andamenti degli esponenziali ma solo i coefficienti della combinazione lineare (residui) Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 26 Esempio g( t)= e t + 7e 2t 6e 3t N ( s) D( s) s= pi K i = s p i 5( 1)+ 3 K 1 = 1+ 2 ( 1+ 3) = 1 5( 2)+ 3 K 2 = 2 +1 ( 2 + 3) = 7 5( 3)+ 3 K 3 = 3+1 ( 3+ 2) = 6 Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 27 9

10 Y s Calcolo della risposta in presenza dell'ingresso n 1 N = 1i ( s) ( s p Gi ) r i i=1 Dinamiche proprie r i U(s) r i n 2 n N 2i s 1 + N 3i s i=n 1 +1 s p Ui i=1 s p Gi Contributo Condizioni ingresso iniziali G(s) Y(s) Modi del sistema: dinamiche indipendenti dall'ingresso Governato dalle radici del denominatore di U(s) Governate dai poli della f.d.t. funzioni razionali fratte con lo stesso denominatore Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 28 La risposta forzata di un sistema lineare si ottiene combinando linearmente le risposte forzate dei suoi sottosistemi elementari del 1 e del 2 ordine Comando sistema uscita Sottosistema 1 Comando Sottosistema 2 Sottosistema 3 Σ uscita... Sottosistema 4 Importanza dello studio delle risposte dei sistemi elementari Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 29 Deduzione della risposta y(t) al gradino unitario u(t) di un sistema dinamico lineare stazionario modello differenziale costante risposta n n d i y t m d y( t)= ρ K n+1 + K i e p i i x( t) a t i = b i=0 dt i i dt i i=0 i=0 trasformata del gradino unitario Y ( s)= ρ m ( s + z i ) i=1 n ( s + p i ) i=1 f.d.t. fattorizzata 1 s = ρ Y s n K i + K n+1 i=1 s + p i s f.d.t. in fratti semplici Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 30 10

11 Effetto dell'ingresso nella risposta forzata nello sviluppo in fratti semplici l'ingresso contribuisce con termini aggiuntivi (detti modi dell'ingresso) che si aggiungono ai modi naturali del sistema ci sono casi particolari, ma significativi, in cui la presenza dell'ingresso non si manifesta semplicemente con termini additivi ma modifica le proprietà strutturali della risposta sovra-eccitazione della risonanza non produce effetti sull'uscita proprietà bloccanti degli zeri Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 31 Effetto dell'ingresso nella risposta forzata caso di sistema risonante coppia di poli immaginari puri impulso Im U(s)=1 ω s = 2rad/s esponenziale decrescente Modi propri 2rad/s stiamo considerando un sistema risonante ad es. massa/molla senza attrito se eccitato, continua ad oscillare all'infinito sinusoidale persistente Re Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 32 Effetto dell'ingresso nella risposta forzata caso di sistema risonante 2rad/s eccitazione della risonanza seno pulsazione ω i = 10 modo proprio Im 1 caso: ω i 2rad/s 10rad/s modo forzato Re esponenziale Modi propri Modo forzato decrescente sinusoidali persistenti Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 33 11

12 Effetto dell'ingresso nella risposta forzata caso di sistema risonante sovra-eccitazione della risonanza seno pulsazione ω i = 2 Im 2 caso: ω i = 2rad/s y t s y t s +1 = 25L 1 2 ( s +.3) = k 0 e.3t + k 1 sin( 2t + ϕ 1 ) + k 2 t sin( 2t + ϕ 2 ) esponenziale Modi propri Modo forzato decrescente sinusoidale sinusoidale crescente persistente Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 34 Re A fronte di un ingresso limitato l'uscita è illimitata Proprietà bloccante degli zeri caso di sistema con una coppia di zeri immaginari puri applichiamo in ingresso una sinusoide di pulsazione ω i Im 1 caso: ω i 2 rad/s Re Modi propri Modo forzato sinusoidale persistente Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 35 Proprietà bloccante degli zeri caso di sistema con una coppia di zeri immaginari puri applichiamo in ingresso una sinusoide di pulsazione ω i Im 2 caso: ω i = 2 rad/s Re Modi propri I modi forzanti sono coincidenti con gli zeri della f.d.t.. non hanno effetto sull'uscita Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 36 12

13 Stabilità interna Stabilità dei sistemi lineari effetto che perturbazioni sullo stato iniziale hanno sulla traiettoria dello stato Stabilità esterna effetto che perturbazioni sull ingresso hanno sulla traiettoria di uscita G(s) Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 37 Stabilità interna Stabilità dei sistemi lineari + - Data un certa traiettoria nominale (stato iniziale e ingresso), una perturbazione dello stato iniziale può produrre una traiettoria perturbata che rimane sempre prossima a quella nominale stabilità semplice una traiettoria perturbata che rimane sempre prossima a quella nominale e tende asintoticamente ad essa stabilità asintotica una traiettoria perturbata che diverge da quella nominale instabilità Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 38 Stabilità dei sistemi lineari Le definizioni di stabilità enunciate per sistemi generici, possono essere specializzate, per i sistemi lineari, al caso in cui l'ingresso è identicamente nullo e la traiettoria di riferimento è il punto di equilibrio x = 0 se il sistema ha determinate proprietà di stabilità in assenza di ingresso e per perturbazioni rispetto allo stato iniziale nullo mantiene le stesse proprietà con ingresso e stato iniziale diversi da zero Infatti sia M ( s)= ( si A) 1 traiettoria nominale traiettoria perturbata x ( t)= L 1 ( M ( s)bu ( s) )+ L 1 ( M ( s)x( 0) )+ L 1 ( M ( s)δx( 0) ) x ( t) x t = L 1 ( M ( s)δx( 0) ) Lo stato iniziale nominale x(0) non entra nella determinazione dell'errore Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 39 13

14 1 adj ( si A ) = det( si A) = L 1 ( M ( s)δx( 0) ) M ( s)= si A x ( t) x t Stabilità dei sistemi lineari Stabilità interna la norma dell'errore è una combinazione lineare di segnali con decadimento esponenziale governato dalla parte reale degli autovalori della matrice di stato Il sistema è internamente: asintoticamente stabile se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa semplicemente stabile se tutti gli autovalori di A hanno parte reale non positiva, ed eventuali autovalori a parte reale nulla sono semplici instabile se almeno un autovalore di A ha parte reale positiva, o almeno un autovalore a parte reale nulla è multiplo Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 40 Stabilità dei sistemi lineari Osservazione 1 l'asintotica stabilità interna implica: la stabilità asintotica della traiettoria di uscita (per una perturbazione dello stato iniziale) le traiettorie di uscita sono una combinazione lineare di quelle dello stato la limitatezza delle traiettorie dello stato/uscita a fronte di ingressi limitati Stabilità BIBS (bounded-input bounded-state) Stabilità BIBO (bounded-input bounded-output) Stato o uscita converge a zero Sistema int. stabile Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 41 verifica Stabilità dei sistemi lineari Osservazione 1 qualunque numeratore U ( s)= *( s) D s *( s) det si A) *( s) det si A) *( s) *( s) det si A) det si A) *( s) D( s) det si A)D s = *( s) *( s) D( s ) det si A)D s *( s) ( ) ( ) l'antirasformata di ciascun elemento del vettore di stato è la somma di termini elementari associati agli autovettori di A (esponenzialmente stabili) ed alle radici di D(s) limitate Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 42 14

15 Stabilità dei sistemi lineari Osservazione 2 se il sistema è "solo" internamente semplicemente stabile la stabilità BIBS (BIBO) non è più garantita ingressi limitati ma "risonanti con gli autovalori di A a parte reale nulla genera traiettorie instabili solo i sistemi dinamici lineari possiedono la proprietà che asintotica stabilità del sistema in assenza di ingresso implica la stabilità BIBS per i sistemi non lineari non è sempre vero esempio x = x + xu u x = x u 2 x = x asintoticamente stabile instabile Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 43 Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna si cerca di caratterizzare le proprietà Ingresso-Uscita di un sistema a fronte di una perturbazione del segnale di ingresso (proprietà della funzione di trasferimento) data una traiettoria nominale del sistema (ovvero un certo stato iniziale e una certa funzione di ingresso) l obiettivo è caratterizzare l effetto di una perturbazione impulsiva sul segnale di ingresso Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 44 Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna per sistemi lineari si può considerare il punto di equilibrio x(0) = 0 e u 0 la stabilità esterna si può quindi verificare analizzando la risposta ad un impulso stabilità esterna L( δu( t) )δ y( t)= L 1 ( G( s)δ)= L 1 ( G( s) )δ un sistema dinamico lineare con f.d.t. G(s) è esternamente asintoticamente stabile se tutti i poli di G(s) hanno parte reale negativa semplicemente stabile se tutti i poli di G(s) hanno parte reale non positiva ed eventuali poli a parte reale nulla sono semplici instabile se esiste almeno un polo di G(s) a parte reale positiva o a parte reale nulla ma multiplo Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 45 15

16 Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna/stabilità interna i poli di G(s) sono un sottoinsieme degli autovalori di A in G(s) ci possono essere cancellazioni polo/zero la stabilità interna (semplice o asintotica) implica la stabilità esterna (semplice o asintotica) il contrario può non esser vero se in G(s) ci sono state cancellazioni di poli instabili in caso di cancellazione di poli instabili nel sistema ci sono moti "interni" instabili che non sono visibili dall'"esterno" (uscita) Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 46 Stabilità dei sistemi lineari Stabilità esterna/stabilità interna Traiettorie di stato Stabilità interna Traiettorie di uscita Stabilità esterna Perturbazioni impulsive dello stato/ingresso Stabilità BIBS Stabilità BIBO Perturbazioni limitate dell ingresso Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 47 Valore a regime valore assunto dall'uscita per t Se il lim y( t) t Applicando il teorema del valore finale y( ) = lim esiste s µ s 0 s g i i ( 1+ T i s) 1+ 2ζ i s /α ni + s 2 2 i /α n1 ( 1+ τ i s) 1+ 2δ i s /ω ni + s /ω ni s i y( ) = µ se g = 0 y( ) = 0 se g = - 1 zero nell'origine y( ) = se g = 1 polo nell'origine il teorema non si applica a sistemi instabili f.d.t. con poli a parte reale positiva f.d.t. con poli a parte reale nulla ma multipli Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 48 16

17 Valore assunto a regime dall'uscita per ingresso a gradino unitario esempi teorema del valore finale a y( )= lim s 1 s 0 s + b s = a b as y( )= lim s 1 s 0 s + b s = 0 y( ) = lim s a s 0 s 1 s = non c'è valore di regime Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 49 Valore dell'uscita in corrispondenza della discontinuità unitaria dell'ingresso Dalla f.d.t. (teorema del valore iniziale) m b i s i y( 0 + i=0 )= lim s 1 n s a i s i i=0 Ricordando il teorema della derivata (con condizioni iniziali nulle) il procedimento si può estendere al calcolo delle derivate y ( 0 + )= lim s sg( s) 1 s.. Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 50 Valore dell'uscita in corrispondenza della discontinuità unitaria dell'ingresso Sistema del primo ordine senza zeri condizione iniziale a 1 y( 0 + )= lim s s + b s = 0 a 1 y ( 0 + )= lim s s s + b s = a L'uscita è continua in t = 0 La derivata prima dell'uscita è discontinua in t = 0 Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 51 17

18 Uscita di un sistema in corrispondenza di una discontinuità unitaria dell'ingresso Sistema del primo ordine con zero nell'origine condizione iniziale y( 0 + )= lim s as 1 s + b s = a y ( 0 + )= lim s s sa 1 s + b s = L'uscita è discontinua in t = 0 La derivata prima dell'uscita è infinita in t = 0 Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 52 Uscita di un sistema in corrispondenza di una discontinuità unitaria dell'ingresso Sistema del secondo ordine senza zeri a 1 y( 0 + )= lim s s 2 + bs + c s = 0 a 1 y ( 0 + )= lim s s s 2 + bs + c s = 0 a 1 y ( 0 + )= lim s s s s 2 + bs + c s = a direttamente dalla f.d.t usando il teorema del valore iniziale condizione iniziale continue discontinua Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 53 Valore assunto dall'uscita a regime Analisi dell'equazione differenziale Analisi della f.d.t. Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 54 18

19 Valore assunto dall'uscita a regime Analisi dell'equazione differenziale Analisi della f.d.t. Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 55 Valore assunto dall'uscita a regime Analisi dell'equazione differenziale non c'è valore di regime Analisi della f.d.t. Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 56 Valore dell'uscita in corrispondenza della discontinuità dell'ingresso Analisi dell'equazione differenziale d n n 1 y dt = a dy i m d i x n i + b dt i i dt i i=0 i=0 si integra tante volte quante servono per ottenere la derivata desiderata dell'uscita (n volte per ottenere l'uscita) Si guarda l'ingresso: se compare direttamente, la derivata di y sarà discontinua se compare sotto integrale, la derivata di y è continua Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 57 19

20 Valore dell'uscita in corrispondenza della discontinuità dell'ingresso Analisi della f.d.t. (teorema del valore iniziale) y( 0) = lim s m i=0 n i=0 i b i s 1 a i s i s = 0 se m < n = b m a n se m = n Ricordando il teorema della derivata (con condizioni iniziali nulle) il procedimento si può estendere al calcolo delle derivate = lim y 0 ( ) s sy s.. Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 58 Valore dell'uscita in corrispondenza della discontinuità dell'ingresso G( s) = a s + b dy = by + ax per t = 0 dt t y = b ydt + a x dt 0 t 0 per t = 0 Teorema del valore iniziale y 0 a 1 y( 0) = lim s s + b s = 0 a 1 y ( 0) = lim s s s + b s = a = lim Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 59 y ( 0) = lim sy ( s) ( ) s sy s Uscita di un sistema in corrispondenza di una discontinuità unitaria dell'ingresso G( s) = as s + b dy dx = by + a dt dt t y = b ydt + ax per t = 0 0 Teorema del valore iniziale y 0 y( 0) = lim s as 1 s + b s = a y ( 0) = lim s s sa 1 s + b s = = lim y ( 0) = lim sy ( s) ( ) s sy s Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 60 20

21 Uscita di un sistema in corrispondenza di una discontinuità dell'ingresso dall'equazione differenziale G( s) = a s 2 + bs + c d 2 y dt 2 = b dy cy + ax dt per t = 0 dy dt t = by c ydt + a x t 0 y = b y c ydt + a x dt 0 t t 0 t per t = 0 per t = 0 Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 61 Uscita di un sistema in corrispondenza di una discontinuità dell'ingresso dalla G(s) G( s) = y( 0) = lim a s 2 + bs + c Teorema del valore iniziale y 0 s y ( 0) = lim y ( 0) = lim a 1 s 2 + bs + c s = 0 a 1 s s s 2 + bs + c s = 0 s s s a 1 s 2 + bs + c s = a = lim y ( 0) = lim y ( 0) = lim sy ( s) ( ) s sy s ( ) s s 2 Y s Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 62 Per approfondimenti Riferimenti bibliografici Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 3, 4, 5, appendice B Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione, Capitolo 1, 2 Controlli Automatici LA Laplace e strumenti collegati 63 21

22 Controlli Automatici Analisi dei sistemi dinamici lineari stabilita dei sistemi lineari proprietà generali della risposta al gradino Fine DEIS-Università di Bologna Tel URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi 22