La funzione di risposta armonica

Transcript

1 Funzione di risposta armonica - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica La funzione di risposta armonica DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Analisi armonica di sistemi dinamici Funzione di risposta armonica - 2 Dall analisi in frequenza di segnali temporali Dalla sovrapposizione degli effetti per sistemi lineari Dall unione di questi due risultati acquista quindi significato studiare la risposta di sistemi dinamici a fronte di ingressi sinusoidali

2 Funzione di risposta armonica - 3 Studieremo quindi il comportamento in frequenza di un sistema dinamico, cercando di capire come il sistema risponde a regime a sollecitazioni a determinate frequenze. Questo studio porterà a definire la funzione di risposta armonica del sistema. Ipotesi: sistema asintoticamente stabile (tutti i poli di a parte reale <)? Risposta a regime? Sviluppando in fratti semplici: Contributo poli di Contributo ingresso Sviluppando Funzione di risposta armonica - 4 Dalle formule di Eulero si ottiene ovvero, riscrivendo, Modulo: Argomento: 2

3 Quindi, anti-trasformando: Funzione di risposta armonica - 5 (vedere parte 3) Termine transitorio Termine di regime Ogni sistema dinamico lineare tempo invariante asintoticamente stabile sollecitato da un ingresso sinusoidale risponde a regime con una uscita sinusoidale alla stessa frequenza della forzante e con una ampiezza e una fase che dipendono dalla frequenza (oltre che dalla ampiezza e fase della forzante). Funzione di risposta armonica - 6 Funzione di risposta armonica Dalle considerazioni precedenti sembra naturale definire, come funzione compatta che cattura il comportamento in frequenza di un sistema dinamico, la seguente funzione di risposta armonica dai passaggi precedenti Funzione complessa di variabile reale il cui modulo rappresenta il fattore di amplificazione/attenuazione a regime dell ampiezza di ingressi sinusoidali alla frequenza e l argomento lo sfasamento tra ingresso e uscita NB: non dipende da e 3

4 Funzione di risposta armonica - 7 Teorema del regime permanente Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento razionale fratta avente i poli a parte reali negativa soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell eccitazione. La funzione di risposta armonica e legata alla funzione di trasferimento dalla relazione. Funzione di risposta armonica - 8 Osservazione importante: il legame tra funzione di trasferimento e funzione di risposta armonica assume un grande significato pensando che quest ultima si presta ad una identificazione sperimentale (analisi delle risposte a fronte di ingressi sinusoidali) lineare stazionario asint. stabile?? * * Valore del modulo e argomento di alla frequenza 4

5 Funzione di risposta armonica - 9 Modellistica fisica Sperimentazione Funzione di trasferimento Funzione di risposta armonica?? Vedremo, studiando i metodi grafici per la rappresentazione della funzione di risposta armonica, che sarà possibile mettere in diretta relazione l andamento (sperimentale) della funzione di risposta armonica con la posizione di poli/zeri della funzione di trasferimento Sistemi semplicemente stabili o instabili Funzione di risposta armonica - Modi naturali (non smorzati) del sistema Modi forzanti Per sistemi semplicemente stabili o instabili la funzione di risposta armonica contiene informazioni relative alla parte della risposta associata all ingresso Significato fisico molto meno interessante 5

6 Funzione di risposta armonica - Metodi di rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica Tre possibili rappresentazioni Funzione complessa di variabile reale logaritmico Diagramma di Nyquist Diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) Diagramma di Nichols 6