Controlli Automatici LA Analisi armonica

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1 1/1/8 Controlli Automatici LA Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi 1. Analisi Armonica Azione filtrante dei sistemi dinamici 5. Relazioni tra rappresentazioni diverse di un modello 6. Riferimenti bibliografici Indice Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA Analisi Armonica Considerazioni tratte dalle conoscenze acquisite dall analisi in frequenza di segnali temporali per la sovrapposizione degli effetti nei sistemi lineari dall unione di questi due risultati acquista quindi significato studiare la risposta di sistemi dinamici a fronte di un generico ingresso sinusoidale Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 3 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 1

2 1/1/8 Analisi Armonica Risposta di sistemi lineari a segnali sinusoidali si vuole studiare l'evoluzione dell uscita di un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile sollecitato con ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria e pulsazione u u( t)= X cost G(s) Y ( s)= G( s)u ( s) = G( s) y s = G s s + X n k Y ( s)= i + k i=1 s + p i s + j + k * s j X s k = G( s) s + j s= j = G( j) j j = G j quanto vale y?? ( s + j) ( s j) X Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 4 k s sviluppo in fratti semplici = G( j) = arg( G( j) ) arg k Analisi Armonica Risposta di sistemi lineari a segnali sinusoidali k M = G j arg( k ) ϕ = arg( G( j) ) n k Y ( s)= i + k i=1 s + p i s + j + k * s j X esaurito il transitorio relativo ai moti propri, la risposta dipende solo dal modo forzato Y f (s) modi propri Y f ( s)= k se G(s) è s + j + k * s j X asintoticamente stabile s j Y f ( s)= Me jϕ + ( s + j) Me jϕ s + X Y f ( s)= M s e jϕ + e jϕ j( e jϕ e jϕ ) X s + scosϕ + sinϕ Y f ( s)= M transitori (si esauriscono) s + X Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 5 Analisi Armonica Risposta di sistemi lineari a segnali sinusoidali k M = G j arg( k ) ϕ = arg( G( j) ) scosϕ + sinϕ Y f ( s)= M s + X L 1 y t f = MX cos t ϕ dalle tabelle in CA LA 3 y f ( t)= Y ( )cos( t ϕ( ) ) risposta a regime ad ingresso sinusoidale Y ( )= G( j) X ϕ( )= arg G( j) Risultato generale Ogni sistema lineare stazionario asintoticamente stabile sollecitato da un ingresso sinusoidale di pulsazione risponde, a regime, con una uscita sinusoidale alla stessa pulsazione della forzante L'ampiezza e la fase della risposta a regime dipendono dalla pulsazione (oltre che da ampiezza e fase dell'ingresso) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 6 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica

3 1/1/8 Analisi Armonica Risposta di un sistema lineare a segnale sinusoidale comando 1 risposta ampiezza u G(s) y.5 u( t)= cost pulsazione -.5 y( t)= Y ( )cos t ϕ -1 a regime transitorio fase sfasamento in ritardo tipico dei sistemi dinamici Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 7 Analisi Armonica La Funzione di a partire dalla risposta al segnale sinusoidale del sistema lineare asintoticamente stabile y f ( t)= Y ( )cos( t ϕ( ) ) Y ( )= G ( j ) con X ϕ( )= arg( G( j) ) si può definire un'altra funzione F( )= G( j) e j arg ( G ( j )) detta Funzione di (f.r.a.) la f.r.a. è una funzione complessa di variabile reale il suo modulo rappresenta il fattore di amplificazione/attenuazione a regime dell'ampiezza di ingressi sinusoidali il suo argomento rappresenta lo sfasamento tra ingresso ed uscita introdotto dal sistema che stiamo studiando Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 8 Funzione di Trasferimento Per i sistemi lineari stazionari e asintoticamente stabili si può dimostrare che Rappresentazione cartesiana F() è una funzione complessa di variabile reale Im[G(j)] G(j) Rappresentazione polare G(j) ϕ() Modulo Argomento Re[G(j)] Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 9 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 3

4 1/1/8 Osservazione importante il legame tra f.d.t e f.r.a. assume un importante significato la f.r.a. si presta ad una identificazione sperimentale mediante l'analisi delle risposte a fronte di ingressi sinusoidali lineare stazionario asint. stabile?? * * Valore del modulo e argomento di alla frequenza Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 1 Algoritmo per ricavare sperimentalmente la f.r.a. all ingresso del sistema di cui si vuole calcolare la f.r.a. si applica una sinusoide di ampiezza unitaria e pulsazione molto bassa si aspetta che il sistema esaurisca il transitorio uscita sinusoidale si registrano l ampiezza e lo sfasamento dell uscita rispetto all'ingresso si torna al punto 1 con una pulsazione più elevata ci si ferma quando l ampiezza dell uscita è trascurabile si graficano separatamente per i diversi valori di i valori delle ampiezze diagramma dei moduli i valori delle fasi diagramma delle fasi Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 11 Y (db) apple (deg) Esempio - Altoparlante rilievo sperimentale esaurito il transitorio u( t)= X cost G(s) y( t)= Y ( )cos t ϕ( ) = log Y ( ) db Y se X = 1 Y X = logy db k 1k (rad/sec) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 1 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 4

5 1/1/8 Modellistica fisica Sperimentazione Funzione di trasferimento Funzione di risposta armonica?? Studiando i metodi grafici per la rappresentazione della funzione di risposta armonica, vedremo che sarà possibile mettere in diretta relazione l andamento (sperimentale) della funzione di risposta armonica con la posizione di poli/zeri della funzione di trasferimento Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 13 Sistemi semplicemente stabili o instabili Modi naturali (non smorzati) del sistema ( ) y f ( t)= Y ( )cos t ϕ Y ( )= G( j) X ϕ( )= arg( G( j) ) Modi forzanti Per sistemi semplicemente stabili o instabili la funzione di risposta armonica contiene informazioni relative alla parte della risposta associata all ingresso Significato fisico molto meno interessante Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 14 Metodi di rappresentazione grafica della f.r.a. Funzione complessa di variabile reale Tre possibili rappresentazioni Diagramma di Nyquist (ampiezze e fasi) Diagramma di Nichols Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 15 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 5

6 1/1/8 Forme fattorizzate di f.d.t. e f.r.a. zeri reali coppie di zeri complessi coniugati ( s + z G( s) = g s ±h k )... s ( + δ zl nzl s + nzl )... ( s + p j )... s ( + δ pi npi s + npi )... fattori poli/zeri nell origine poli reali coppie di poli complessi coniugati 1+ jτ k G( j ) = K ( j ) ±h δ zl j nzl nzl ( 1+ jτ j ) δ pi j npi Fattori elementari: costante K, poli/zeri nell'origine, poli/zeri reali, coppie poli/zeri complessi coniugati npi Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 16 ( 1+ 3s) = ( s) 1+ s + s G s G j ( 1+ 3j ) = ( j ) 1+ j zero reale Esempio Funzione di trasferimento Funzione di polo nell'origine G i (j) sono i termini della funzione complessa che corrispondono alle radici della f.d.t. coppia poli complessi coniugati Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 17 ampiezza(db) I diagrammi di Bode sono una rappresentazione polare della risposta armonica mediante due diagrammi logaritmici Frequency (rad/sec) diagramma logaritmico α (db) = log 1 A Fase (deg) Frequency (rad/sec) diagramma semi-logaritmico Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 18 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 6

7 1/1/8 proprietà dei numeri complessi ab = a b arg(ab) = arg(a) + arg(b) arg(a/b) = arg(a) - arg(b) il modulo della f.r.a. si ottiene moltiplicando i moduli delle f.r.a. dei singoli fattori l argomento della f.r.a. si ottiene sommando algebricamente gli argomenti delle f.r.a. dei singoli fattori proprietà dei logaritmi log (ab) = log(a) + log(b) log(a/b) = log(a) - log(b) log(a k ) = k log(a) usando diagrammi logaritmici il modulo della f.r.a. si ottiene sommando algebricamente i moduli (in unità logaritmiche) delle f.r.a. dei singoli fattori Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 19 ( 1+ 3s) = ( s) 1+ s + s G s G j ( 1+ 3j ) = ( j ) 1+ j Esempio = G 1 j G j Funzione di trasferimento G 3 j Risposta Armonica G( j ) log = G 1 ( j ) log G ( j ) log G 3 ( j ) log modulo Arg G( j ) = Arg G 1 j Arg G j Arg G 3 j fase Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA costante G( j)= µ * j Fattori elementari della f.r.a. poli/zeri nell origine zeri reali δ zl j nzl nzl ( 1+ jτ j ) δ pi j npi npi ±h 1+ jτ k Fattori elementari: costante µ, poli/zeri nell'origine, poli/zeri reali, coppie poli/zeri complessi coniugati coppie di zeri complessi coniugati poli reali coppie di poli complessi coniugati Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 1 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 7

8 1/1/8 costante G( j)= µ fattori elementari 1 apple > 1 apple < apple > apple < G( j) = log µ db apple = 1 argg( j)= arctan µ se µ > argg( j)= 18 se µ < Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA fattori elementari polo nell'origine G( j)= j db in = 1 1 decade db / decade G( j) = log 1 db j = - db = log argg( j)= arg 1 j = atan = 9 = arg ( j ) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 3 zero nell'origine G( j)= j fattori elementari +db / decade - +9 db in = G( j) = log j = db = log argg( j)= arg( j)= = atan = 9 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 4 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 8

9 1/1/8 fattori elementari polo reale ( τ > ) G( j)= 1 1+ jτ -3 db = 1/τ τ db / decade db = log G j 1 1+ jτ = = log 1+ τ argg( j)= arg( 1+ jτ)= = arctan τ Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 5 fattori elementari zero reale ( τ > ) G( j)=1+ jτ +db / decade db τ G( j) = log 1+ jτ = db = log 1+ τ argg( j)= +arg( 1+ jτ)= = +arctan τ Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 6 fattori elementari ( τ > ) diagrammi asintotici -1 G j = 1 1+ jτ = 1/τ 1 G( j)=1+ jτ τ = 4.81 τ 9 45 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 7 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 9

10 1/1/8 fattori elementari ( τ < ) diagrammi asintotici G( j)= 1 1+ jτ instabile = 1/τ τ = 4.81 τ Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA fase non minima G( j)=1+ jτ Se τ < le fasi si invertono rispetto al caso di τ > fattori elementari poli/zeri reali doppi come due poli singoli coppia poli δ = 1 4 coppia zeri - +4 db/decade db/decade τ = 4.81 / n Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 9 fattori elementari poli complessi coniugati (δ ) 1+ δ j n n polo -4 db/decade δ = / n - -4 polo -4 db/decade δ = / n Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 3 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 1

11 1/1/8 fattori elementari zeri complessi coniugati (δ ) 4 +4 db/decade 4 1+ δ j n n +4 db/decade δ =.1 δ = / n / n Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 31.7 Sistemi del ordine Se δ 1 1 M in r = n 1 δ r = G ha un massimo δ 1 δ r n δ =.1 δ =.5 δ Valore in n G( j n ) = 1 δ se 1 δ 1 non interseca l'asse db (sta tutta sotto) se 1 δ 1 interseca l'asse db a sinistra di n se δ 1/ interseca l'asse db -18 a destra di n.1 1 / n 1 (sta tutta sopra) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 3 G( s)= e jτ e jτ = cosτ jsin τ e jτ M = cos τ + sin τ =1 Ritardo di tempo Modulo unitario sin τ Arg( e jτ ) ϕ = arctan = τ Fase negativa crescente cosτ (in valore assoluto) con 18 ϕ deg = ϕ rad π ϕ 18 = τ deg π τ =1 ϕ = 58 τ = ϕ = 116 τ = 3 ϕ = τ =1 ϕ = τ 1 lo sfasamento cresce linearmente con Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 33 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 11

12 1/1/8 G( s)= e jτ fase Ritardo di tempo Modulo unitario 1 ordine ordine 3 ordine approssimazione valida fino a -54 M N τ τ 1 ( τs + τs τs Zeri a parte reale positiva ) G P ( s)=! 3! ( Approssimazione di Padè + τs + τs + τs)3 +...! 3! Poli a parte reale negativa I moduli si compensano le fasi si sommano Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 34 Ritardo di tempo risposta al gradino delle approssimanti di Padè Amplitude ordine 3 ordine 4 ordine Le risposte delle approssimanti di ordine dispari hanno derivata negativa nell'origine Le risposte delle approssimanti di ordine pari hanno derivata positiva nell'origine ordine -1 G P ( s) τs + ( τs) ( s τs) G( s)= e jτ =! 3! + τs + ( τs) + ( τs)3 +...! 3! Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 35 Proprietà i diagrammi degli zeri sono simmetrici (rispetto all'asse delle frequenze) di quelli dei poli della stessa natura per poli (zeri) a parte reale positiva i diagrammi dei moduli non cambiano, i diagrammi delle fasi sono simmetrici (rispetto all'asse reale) a quelli per poli/zeri a parte reale negativa ogni polo a parte reale negativa o nulla sfasa di -9 ogni polo a parte reale positiva sfasa di +9 ogni zero a parte reale negativa o nulla sfasa di +9 ogni zero a parte reale positiva sfasa di -9 il termine di ritardo puro genera uno sfasamento crescente con la frequenza Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 36 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 1

13 1/1/8 Proprietà i diagrammi di sistemi complessi si costruiscono a partire da quelli dei sistemi elementari componenti dalla conoscenza del diagramma del modulo non è possibile, in generale, risalire a quello della fase, perché la parte reale delle radici modifica solo la fase Sistemi a fase minima il guadagno è positivo tutte le radici (poli e zeri) sono a parte reale negativa o nulla non sono presenti ritardi di tempo Regola di Bode è possibile ricavare il diagramma (asintotico) della fase a partire da quello (asintotico) del modulo modulo a pendenza costante fase costante Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 37 Esempio - Altoparlante Schema costruttivo il suono è legato alla pressione acustica, che a sua volta è legata alla velocità di movimento del cono Bobina Cono z u e Bobina i Accoppiamento Elettromecc. Accoppiamento Meccanoelettr. f cono v h Magnete u - i k e k f - v z Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 38 u Modello - i k e k Esempio - Altoparlante f h f - v v z G - H u i - f v k e k Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 39 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 13

14 1/1/8 Modello u - i Esempio - Altoparlante k e k b 1 = k a = hr; a 1 = Lh+ βr+k a = L β +MR; a 3 = LM f Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 4 v u - G 1 Ls + R k s Ms + βs + h v = u 1 1+ Ls + R k s Ms + βs + h k H Sistema del 3 ordine con uno zero nell'origine v Esempio - Altoparlante Valore dei parametri fisici L = 1-4 H (Induttanza della bobina) R = 4Ω (Resistenza della bobina) k = 6.8 N/A (costante di forza della bobina) M = 1 - kg (massa del cono) h = 1 3 N/m (costante elastica della sospensione) β = Ns/m (coefficiente di attrito del cono nell'aria) G = 7 Ws/m (costante per trasformare la velocità in potenza acustica) con questi valori dei parametri i poli della f.d.t. diventano z 1 = p 1 = -34 p = -334 p 3 = potenza acustica G( s)= p a u = 7 6.8*1 6 s ( s + 34) s tensione applicata ( s ) Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 41 Esempio - Altoparlante con i parametri precedenti la F.d.t. ha uno zero nell'origine e tre poli reali distinti z 1 = p 1 = -34 p = -334 Poli meccanici p 3 = Polo elettrico non trasferisce le componenti continue zero nell'origine non è in grado di trasferire le frequenze molto elevate senso fisico Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 4 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 14

15 1/1/8 Esempio - Altoparlante diagramma di Bode della f.d.t db/decade -4dB/decade -db/decade si confronti con il diagramma ricavato sperimentalmente al lucido Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 43 Azione filtrante dei sistemi dinamici Ogni sistema dinamico agisce sullo spettro delle frequenze in ingresso in modo selettivo un sistema dinamico agisce sullo spettro come un filtro Tipi di azioni filtranti G G G Elimina banda Passa basso Passa alto Passa banda Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 44 Azione filtrante dei sistemi dinamici Filtri passa basso larghezza di banda (banda passante) G G() 1/τ -3dB banda passante B Il concetto si può estendere a tutti sistemi lineari asintoticamente stabili Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 45 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 15

16 1/1/8 Azione filtrante dei sistemi dinamici Larghezza di banda Risposta al gradino sistemi del 1 ordine T a1 4.6τ τ = 1/ B sistemi del ordine con poli reali distinti τ 1 >> τ (simile a sistema del 1 ordine) T a1 4.6τ 1 τ 1 = 1/ B τ 1 > τ ma non troppo T a1 ( )τ 1 τ 1 = 1/ B τ 1 τ T a1 6.6τ 1 τ 1 1/ B Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 46 Azione filtrante dei sistemi dinamici sistemi del ordine con poli complessi coniugati n B.75< δ< 1 Ta 1 (6.6 5)τ con τ = 1/ n poli complessi coniugati δ.75 Ta 1 4.6τ con τ = 1/δ n sistemi del ordine con δ << 1 Ta 1 = 4.6/δ n >> 4.6/ n Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 47 Azione filtrante dei sistemi dinamici interpretazione frequenziale della proprietà bloccante degli zeri (CA LA 3) 4 G( s)= s + n D s - -4 n alla pulsazione = n il modulo della risposta armonica è zero (- in db) ricordando che spettro dell'ingresso Y F ( )= F( j)u F ( ) se U F ( )= asin n t spettro dell'uscita Y F ( )= F( j)u F ( )= attenzione!!: è nullo il valore a regime Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 48 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 16

17 1/1/8 Azione filtrante dei sistemi dinamici interpretazione frequenziale della proprietà bloccante degli zeri (CA LA 3) - -4 G( s)= s D s -6 alla pulsazione = il modulo della risposta armonica è zero ( - in db) spettro dell'ingresso Y F ( )= F( j)u F ( ) se U F ( )= a = cost spettro dell'uscita Y F ( )= F( j)u F ( )= attenzione!!: è nullo il valore a regime Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 49 Azione filtrante dei sistemi dinamici interpretazione frequenziale della eccitazione della risonanza (CA LA 3) 4 G( s)= N ( s) s + n - -4 n alla pulsazione = n il modulo della risposta armonica è infinito uscita diversa da zero con ingresso nullo es. oscillazione massa molla senza attrito spettro dell'ingresso Y F ( )= F( j)u F ( ) se U F ( )= asin n t spettro dell'uscita Y F ( )= F( j)u F ( )= attenzione!!: è infinito il valore a regime Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 5 Relazioni tra rappresentazioni diverse di un modello Caratteristiche della risposta poli della f.d.t. Im(s) δ < 1 p 1 n arcsinδ j d δ = 1 δ n δ > 1 δ n -δ n Re(s) p veloce lento instabile Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 51 Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 17

18 1/1/8 Relazioni tra rappresentazioni diverse di un modello poli della f.d.t. δ Im(s) - Log n p 1 n arcsinδ j d Frequency (rad/sec) -δ n Re(s) p Frequency (rad/sec) veloce lento instabile Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 5 Per approfondimenti Riferimenti bibliografici Boltzern, Scattolini, Schiavoni "Fondamenti di Controlli Automatici", McGraw-Hill, II edizione Capitolo 6 Marro "Controlli Automatici", Zanichelli, V edizione, Capitolo 3 Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici LA 53 Controlli Automatici A FINE Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Prof. Carlo Rossi Analisi Armonica 18