Per risolvere le equazioni alle differenze si può utilizzare il metodo della Z-trasformata.

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1 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. Equazini alle differenze. Sn legami statici che legan i valri attuali (all istante k) e passati (negli istanti k, k, ecc.) dell ingress e k e dell uscita u k : u k = f(e 0, e,..., e k ; u 0, u,..., u k ) L equazine alle differenze è lineare se f( ) è lineare: u k = a u k... a n u k n + b 0 e k b m e k m La sluzine di un equazine alle differenze è data dalla smma della rispsta libera (ingress null e cndizini iniziali nulle) e della rispsta frzata (cndizini iniziali nulle ed ingress divers da zer) del sistema: u k = u l k + u f k Per determinare la rispsta libera ccrrn tante cndizini iniziali quant è l rdine dell equazine alle differenze. Sluzine di equazini alle differenze a cefficienti cstanti u 0 = u =. u k = u k + u k k u(k) Per rislvere le equazini alle differenze si può utilizzare il metd della Z-trasfrmata. R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

2 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. Z-trasfrmata Sia data una sequenza di valri x k R, definita per k = 0,,,... e nulla per k < 0. La Z-trasfrmata (unilatera) della sequenza x k è la funzine di variabile cmplessa z definita cme X(z) = Z[x k ] = x k z k = x 0 + x z + + x k z k + Nel cas in cui la sequenza di valri x k sia ttenuta campinand unifrmemente cn perid T un segnale cntinu descritt dalla funzine x(t), t 0, si avrà che x k = x(kt): X(z) = x(k)z k Per indicare che una seguenza è stata ttenuta per campinament di un segnale temp cntinu, spess si usa la seguente ntazine: X(z) = Z[X(s)] intendend: X(z) = Z [{ L [X(s)] t=kt }] Nelle applicazini ingegneristiche la funzine X(z) assume in generale una espressine razinale fratta del tip X(z) = b 0 z m + b z m + + b m z n + a z n + + a n che si può esprimere anche in ptenze di z : Esempi: X(z) = b 0 z (n m) + b z (n m+) + + b m z n + a z + + a n z n X(z) = z(z + 0.5) (z + )(z + ) = + 0.5z ( + z )( + z ) R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

3 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. 3 Impuls discret unitari, detta anche funzine di Krnecker δ 0 (t): x(k) = { k = 0 0 k 0 X(z) = Infatti: X(z) = Z[x(k)] = x(k)z k = + 0z + 0z + 0z 3 + = Gradin unitari. Sia data la funzine gradin unitari { k 0 x(k) = h(k) = 0 k < 0 La funzine h(k), detta sequenza unitaria, è la seguente: h(k) = { k = 0,,,... 0 k < 0 X(z) = z z Infatti: H(z) = Z[h(k)] = La serie è cnvergente per z >. h(k)z k = = + z + z + z 3 + = z k z = z z Rampa unitaria. Si cnsideri la funzine rampa unitaria: x(t) = { k k 0 0 k < 0 X(z) = z (z ) Infatti, la Z-trasfrmata di x(k) = k è X(z) = Z[k] = x(k)z k = cnvergente per z >. kz k = (z + z + 3z 3 + ) = z ( + z + 3z + ) = z ( z ) = z (z ) R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

4 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. 4 Funzine ptenza a k. Sia data la funzine x(k) = { a k k = 0,,,... 0 k < 0 X(z) = z z a cn a cstante reale cmplessa. Dalla definizine di Z-trasfrmata si ha che X(z) = Z [ a k] = x(k)z k = a k z k = + a z + a z + a 3 z 3 + = Questa serie gemetrica cnverge per z > a. a z = z z a Discretizzazine di segnali temp cntinui Gradin unitari: Z [ ] s = Z[h(t) t=kt ] = z z Rampa unitaria: Z [ ] s = Z[t t=kt ] = Z[k T] = T z (z ) Funzine espnenziale: [ ] Z = Z [ e bt ] [ ] s + b t=kt = Z e bk T = Z [ (e bt ) k] = z z e bt R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

5 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. 7 PROPRIETÀ Linearità: E TEOREMI DELLA Z-TRASFORMATA x(k) = af(k) + bg(k) X(z) = af(z) + bg(z) Mltiplicazine per a k. Sia X(z) la Z-trasfrmata di x(t), a una cstante. Z [ a k x(k) ] = X(a z) Z [ a k x(k) ] = a k x(k)z k = x(k)(a z) k = X(a z) Terema della traslazine nel temp. Se x(t) = 0, t < 0, X(z) = Z[x(t)], e n =,,..., allra Z[x(t + nt)] = z n [X(z) Z[x(t nt)] = z n X(z) n x(kt)z k ] (ritard) ( anticip) Terema del valre iniziale. Se X(z) è la Z-trasfrmata di x(t) e se esiste il lim z X(z), allra il valre iniziale x(0) di x(t) è dat da: x(0) = lim z X(z) Terema del valre finale. Sian tutti i pli di X(z) all intern del cerchi unitari, cn al più un pl semplice per z =. [ lim x(k) = lim ( z )X(z) ] k z R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

6 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. 9 LA ANTITRASFORMATA Z Permette di passare da una Z-trasfrmata X(z) alla crrispndente sequenza x k e pssibilmente alla funzine cntinua x(t) cui crrispnde per campinament la sequenza x k. X(z) x(k) x(t) biunivca nn biunivca Se è sddisfatt il Terema di Shannn sul campinament, la funzine cntinua x(t) può essere univcamente determinata a partire dalla sequenza x k. Esistn diversi metdi per antitrasfrmare una funzine X(z). Ni prenderem in cnsiderazine sl il Metd della scmpsizine in fratti semplici. Metd della scmpsizine in fratti semplici X(z) = b 0z m + b z m + + b m z + b m (z p )(z p ) (z p n ) Cas. Se tutti i pli sn semplici, si pne X(z) = c z p + c z p + + c n z p n = n i= c i z p i dve i cefficienti c i, detti residui, sn parametri che vengn calclati cme: c i = [(z p i )X(z)] z=pi Se nella espressine di X(z) cmpare almen un zer nell rigine, si utilizza la funzine X(z)/z e quindi X(z) = c + + c [ n c i = (z p i ) X(z) ] z z p z p n z z=p i R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

7 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. Esempi. Si calcli la sluzine c(n) della seguente equazine alle differenze: c(n + ) = c(n) + i c(n) partend dalla cndizine iniziale c(0) = c 0. Tale equazine può essere interpretata cme legge di capitalizzazine di un capitale iniziale c 0 al tass di interesse i. [Sluzine.] Applicand la Z-trasfrmata all equazine precedente si ttiene da cui z C(z) z c 0 = (i + )C(z) [z ( + i)]c(z) = z c 0 C(z) = z c 0 z ( + i) = c 0 ( + i)z c(n) = c 0 ( + i) n Esempi. Determinare l espressine analitica della sequenza di Fibnucci descritta dalla seguente equazine alle differenze y(n + ) = y(n + ) + y(n) a partire dalle cndizini iniziali y(0) = y() =. [Sluzine.] Applicand il metd della Z-trasfrmata si ttiene z Y (z) z y(0) z y() = z Y (z) z y(0) + Y (z) z[zy(0) + y() y(0)] Y (z) = z z Impnend le cndizini iniziali y(0) = y() = si ttiene Y (z) = z z z = z (z a)(z b) = a b dve a e b sn le radici della funzine Y (z) Antitrasfrmand si ttiene a = + 5, b = 5 y(n) = a b [a an b b n ] = [ a n+ b n+] = a b 5 [ a z (z a) b z (z b) ( + ) n+ ( 5 ) n+ 5 ] R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

8 8.. STRUMENTI MATEMATICI 8. Esempi. Calclare la rispsta all impuls g(n) del seguente sistema dinamic discret G(z) = z(z + ) (z 0.8)(z + 0.5) [Sluzine.] Per calclare la rispsta all impuls g(n) del sistema G(z) si prcede utilizzand il metd della scmpsizine in fratti semplici G(z) z = (z + ) (z 0.8)(z + 0.5) =.8.3 (z 0.8) (z + 0.5) da cui z G(z) =.3846 (z 0.8) z (z + 0.5) Antitrasfrmand si ttiene: Il sistema discret G(z) è stabile. g(n) =.3846(0.8) n ( 0.5) n Esempi. Determinare la rispsta y(n) al gradin unitari u(n) = del seguente sistema dinamic discret y(n) = 0.5y(n ) + u(n) partend da cndizine iniziale nulla y(0) = 0. [Sluzine.] La funzine di trasferiment discreta G(z) assciata all equazine alle differenze assegnata è la seguente: G(z) = 0.5z La Z-trasfrmata del segnale di ingress u(n) = è: U(z) = z Quindi, la Z-trasfrmata del segnale di uscita y(n) è Y (z) = G(z)U(z) = ( 0.5z ) ( z ) = z (z 0.5)(z ) Operand la scmpsizine in fratti semplici della funzine Y (z)/z si ttiene da cui si ricava y(n) Y (z) = z z Y (z) z = z z 0.5 z z 0.5 y(n) = 0.5 n R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

9 8.3. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE Crrispndenza tra pian s e pian z: X (s) = X(z) z=e st Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine: Pst s = σ + jω si ha: z = e st z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω = e Tσ e jt(ω+kπ T ) Ogni punt del pian z è in crrispndenza cn infiniti punti del pian s. I punti del pian s a parte reale negativa (σ < 0) sn in crrispndenza cn i punti del pian z all intern del cerchi unitari: z = e Tσ < I punti sull asse immaginari (σ = 0) vengn mappati sul cerchi unitari ( z = ), mentre quelli a parte reale psitiva (σ > 0) vengn mappati all estern del cerchi unitari ( z > ). La striscia di pian s delimitata dalle rette rizzntali s = jω s / e s = jω s / prende il nme di striscia primaria. R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

10 8.3. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE Striscia primaria e strisce cmplementari: Striscia cmplementare Striscia cmplementare Striscia primaria Striscia cmplementare Striscia cmplementare jω j 5ω s j 3ω s j ω s j 3ω s j 5ω s s plane Im z plane 0 σ 0 Re j ω s Le variabili cmplesse s e z sn legate dalla relazine: z = e st Pst s = σ + jω si ha: z = e T(σ+jω) = e Tσ e jtω dve 0 ω ω s = π T R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

11 8.3. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE 8.3 Mapping tra striscia primaria e pian z: jω 4 3 Striscia primaria pian s j ω s j ω s 4 Im σ 6 j ω s Re j ω s 7 pian z Lughi a decadiment espnenziale cstante: jω pian s Im pian z e +σ T 0 σ e σ T σ σ Re R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

12 8.3. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE 8.3 Lughi a pulsazine cstante: jω pian s Im pian z j ω s j ω s jω jω 0 σ jω z = e T(σ+jω ) ω T ω T z = e T(σ+jω ) Re z = e T(σ jω ) Un esempi di crrispndenza fra due regini del pian s e del pian z: jω pian s Im pian z σ = σ j ω s jω 0 σ jω σ = σ j ω s z = e T(σ+jω ) e σ T e σ T Re z = e T(σ jω ) R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

13 8.3. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE Lug dei punti a cefficiente di smrzament cstante δ = δ : δ s = ω tan β + jω = ω + jω δ β = arcsin δ jws/ pian s pian z - -jws/ z = e st = e ( ω tanβ+jω)t = e ϕ tanβ e jϕ ϕ = ωt Lughi a cefficiente di smrzament δ cstante: jws/ pian z pian s - jws/ Lughi a pulsazine naturale ω n cstante: jws/ pian z pian s - jws/ R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

14 8.3. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE Lughi del pian z a δ e ω n cstanti: W=0.6 W=0.4 W=0.8 W=0. W=0. d= z=0 z= I punti del pian s e del pian z, psti in crrispndenza per mezz della relazine z = e st, pssn essere cnsiderati cme pli crrispndenti di trasfrmate F(s) ed F(z), cn F(z) calclata campinand F(s) j ω s j ω s jω pian s σ 0 jω pian z σ R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI

15 8.3. CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE POSIZIONE DEI POLI E RISPOSTE TRANSITORIE R. Zanasi - Cntrlli Autmatici - 009/0 8. SISTEMI DISCRETI