Fondamenti di Automatica

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1 Fndamenti di Autmatica Allievi in Ingegneria Elettrica - Prf. P. Claneri Appell del Lugli 4 Cgnme Nme N di Matricla Firma Durante la prva nn è cnsentita la cnsultazine di libri, dispense e quaderni. Quest fascicl cntiene 5 esercizi. Si prega di nn allegare alcun fgli.

2 ESERCIZIO Si cnsideri la rete elettrica in Figura: C I u L V I F(V) dve F( V ) V 3 + αv cn α.. Si scrivan le equazini del sistema retr azinat in frma di stat.. Si determini gli stati di equilibri assciati all ingress cstante u..3 Si studi la stabilità degli stati di equilibri ricavati in funzine del parametr psitiv α. Indicand cn x la tensine sul cndensatre e x la crrente che passa nell induttre abbiam: Cx& Lx& V + x I V + x x 3 u I + αv Quindi, cn u si ha Cx& Lx& + x x x 3 αx Per qualunque valre di α abbiam un unic equilibri, che è l rigine. Il sistema linearizzat α / C / C intrn all rigine ha cme matrice dinamica A. Quindi l rigine è / L asintticamente stabile per α>, ed è instabile per α<.

3 ESERCIZIO Si cnsideri l schema a blcchi seguente e R (s) G(s) d dve s R ( s) e s + G( s) μ s( s + ), ( t) ram( t), d ( t) sin( t), μ >..) Si studi la stabilità del sistema in funzine di μ >..) Si determini l espressine analitica della rispsta asinttica dell errre e in funzine di μ >, e si discuta il risultat. (sketch) μ( s) La funzine d anell è: L( s) s( s + ) e quindi il plinmi caratteristic è: s s s ( μ ) + μ da cui segue che il sistema è asintticamente stabile per μ (, ). Per 3 questi valri di μ l errre cnverge al segnale peridic (terema della rispsta peridica, terema del valr finale) seguente: sin( t + ) + L( j) + L( j) μ.5μ sin( t + arctan ),.5μ μ +.5μ

4 ESERCIZIO 3 Si cnsideri il sistema di cntrll e R (s) G(s) d dve che: 5( s) G ( s) s( s + )( s + 5), d ( t) ram( t). Si ricavi un reglatre (il più semplice pssibile) tale L errre e (t) a transitri esaurit sia minre di.. Il margine di fase sia almen di 3 gradi. Il temp di assestament all % sia al massim di 5 sec. Per il requisit sull errre, il guadagn d anell deve essere maggire di 5. Scegliend pi una rete ritardatrice si ha, ad esempi: 5(s + ) R ( s) (s + ) che assicura guadagn d anell uguale a 5, circa 3 gradi di margine di fase e una pulsazine critica di.4 radianti (e quindi un temp di assestament all% di men di 5 sec). Magnitude (db) Bde Diagram Sstem: untitled Frequenc (rad/sec):.46 Magnitude (db): Phase (deg) 8 9 Sstem: untitled Frequenc (rad/sec):.374 Phase (deg): Frequenc (rad/sec)

5 ESERCIZIO 4 Si cnsideri l schema blcchi del sistema a temp discret in figura L( α( z ) dve L( z. Si studi la stabilità del sistema retr-azinat in funzine di α, e si traccin i due rami (dirett e invers) del lug delle radici. + s Il plinmi caratteristic è z + αz α. Cn la trasfrmazine bilineare z si ha s ( + s ) + α( + s)( s) ( + α )( s) 3αs + 4( + α) s α. Si ha dunque stabilità asinttica per α (,). Il lug delle radici dirett è il seguente:.5 Rt Lcus.4.3. Imaginar Axis Real Axis Si vede che il sistema è instabile per gni α>. Il lug delle radici invers è invece il seguente:

6 Rt Lcus.5 Imaginar Axis Real Axis dve si vede che il lug rimane all intern del cerchi di raggi un fin a quand le due radici giungn sulla circnferenza di raggi un. Quest avviene quand il termine nt del plinmi caratteristic è, ciè per α-. I punti di intersezine sull asse reale sn in x m 3 in crrispndenza di α ±.5 3, rispettivamente.

7 ESERCIZIO 5 R( ZOH G(s) G *( Cn riferiment al sistema di cntrll digitale riprtat in figura (il campinatre - ideale a cadenza unifrme - e il mantenitre ideale - di rdine zer peran in sincrnia e in fase cn perid T), si enuncin, a parle, i passi che cnducn al prgett di un reglatre digitale secnd il punt di vista digitale (sistema a stati campinati, traduzine delle specifiche di stabilità e prestazine in vincli di interplazine, etc ). T AT Aτ La funzine G * ( C( zi e ) e dτ B + D rappresenta il sistema a segnali campinati crrispndente a G ( s) C( si A) B + D. Si determina la funzine di sensitività cmplementare desiderata F ( in md tale da assicurare la stabilità del sistema retr-azinat, la causalità del reglatre e le prestazini ricercate. Per la causalità, F ( deve avere grad relativ maggire uguale a G *(. Per la stabilità interna F ( deve avere pli all intern della circnferenza di raggi un e evitare che il reglatre cancelli pli/zeri instabili di G *(, impnend i vincli di interplazine F ( p) [ F ( ξ ) ] per gni pl [zer] instabile di G *(. Per le prestazini, ad esempi errre null a frnte di un riferiment all scalin, si deve imprre F ( ). La psizine dei pli di F ( è invece respnsabile della velcità di rispsta, ad esempi se si vule un cmprtament di tip FIR tutti i pli di F ( devn essere impsti nell rigine. Una vlta definita F ( cn tali caratteristiche, il reglatre si ttiene dalla frmula inversa, ciè F ( R( G *( F (