Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola:

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1 UNIVERSIÀ DEGLI SUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E ECNOLOGIE VIICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MAEMAICA (A) San Flrian, 8//7 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che la mia prva d'esame venga crretta e valutata. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. (segnare l pzine prescelta) APPELLO: Svlgere il quesit + quesiti a scelta dal n. al n. 6 + quesiti a scelta dal n. 8 al n. RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. al n. 6 RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. 7 al n. Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che la mia prva nn venga crretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDAI DURANE LA PROVA NON È CONSENIO AGLI SUDENI COMUNICARE RA LORO O CON L ESERNO; PERANO I ELEFONI CELLULARI ED I DISPOSIIVI MULIMEDIALI DEVONO RESARE SPENI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati punti. Utilizzate i fgli della minuta (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini est della prva d'esame Parte A QUESIO ( /6) Studiare la funzine f determinand esplicitamente dmini, parità, segn ed eventuali intersezini cn gli assi, eventuali asintti, mntnia ed eventuali estremi. Dp aver verificat che la funzine data nn ammette flessi, se ne disegni il grafic. QUESIO ( /5) Verificare che la parabla y tangente in cmune nel punt di ascissa. 6 6 ed il grafic della funzine f ln hann la

2 QUESIO ( /5) Dp averne calclat il dmini D, verificare che la funzine f ln è crescente in D e spiegare perché essa ammette un unic zer nell'intervall,. Utilizzand il metd di bisezine, stimare il valre dell zer della funzine cn apprssimazine -. QUESIO 4 ( /5) Verificare che la funzine f ( ) sddisfa le iptesi del erema di Lagrange nell'intervall [, ] ed individuare, in tale intervall, le ascisse dei punti che sddisfan la tesi del terema. QUESIO 5 ( /5) Determinare le equazini degli asintti della funzine f. QUESIO 6 ( /5) Dat il grafic della funzine f in figura, disegnare i grafici delle funzini seguenti, negli spazi a dispsizine in quest fgli. Dire inltre se le funzini trasfrmate hann punti di nn derivabilità, mtivand la rispsta, su fgli a parte. y f y f y f y f

3 QUESIO 7 ( /6) Parte B SOLO PER CHI DEVE RECUPERARE IL PARZIALE RELAIVO ALLA PARE B 5 a) Determinare il rang della matrice: b) Calclare il prdtt A A tra la matrice A e la sua traspsta ed il determinante del prdtt A A. QUESIO 8 ( /5) a) Calclare l area della regine piana rappresentata in figura, delimitata dall asse e dalla curva di equazine y. b) Determinare il vlume del slid ttenut dalla rtazine della superficie clrata attrn all asse. QUESIO 9 ( /5) Dire se la matrice è invertibile e, in cas di rispsta affermativa, determinarne l inversa. QUESIO ( /5) Rislvere la seguente equazine differenziale lineare nn mgenea: y" y ' 8y e. QUESIO ( /5) Rislvere i seguenti sistemi lineari: a) y z y z y z 6 b) 4 y z 5 y z 4 5y 9z QUESIO ( /5) ra le primitive della funzine f e sia lim F F quella passante per il punt, ; calclare PUNEGGIO OALE: /

4 RACCIA SINEICA DI RISOLUZIONE FILA A QUESIO f DOMINIO: PARIÀ: f dispari è diversa da f e da f la funzine nn è né pari né SEGNO: f La curva incntra gli assi cartesiani sl nel punt, ASINOI: lim la funzine ha l asintt verticale Dal mment che lim cncludiam che la funzine ammette l asintt bliqu: y CRESCENZA: f '... in D La funzine ha un minim in, 4 CONCAVIÀ: f essend " in D la funzine vlge sempre la cncavità vers l alt. 4 QUESIO Il punt di ascissa della parabla ha crdinate: y 4 6, Il punt di ascissa del grafic della funzine ha crdinate: f ln, Calcliam i cefficienti anglari: y ' 6 y ' 4 6

5 f ' f ' Dal mment che le tangenti passan per l stess punt ed hann l stess cefficiente anglare, pssiam cncludere che le due curve hann la stessa tangente in (,). y y L equazine della tangente è: QUESIO Il dmini della funzine f ln è D:. ale funzine è cntinua e derivabile in D, essend smma di funzini ivi cntinue e derivabili. Calcliamne la derivata prima: f ' in D, piché smma di termini ivi psitivi la funzine è crescente in D. f ln f ln ln Per il terema degli zeri delle funzini cntinue, la funzine ammette almen un zer in [,]; essend mntna in D, e quindi ivi invertibile, tale zer è unic. Applicand il metd di bisezine tteniam: Pertant l apprssimazine dell zer cercat è:.56 QUESIO 4 La funzine f è rapprt tra funzini cntinue e derivabili; pertant è cntinua e derivabile nel su dmini:. In particlare è una funzine cntinua e derivabile nell intervall,. Le iptesi del terema di Lagrange sn, quindi, verificate. f f f f 4 f '... La tesi del terema di Lagrange afferma che esiste almen un punt intern all intervall [,] tale che: f f f ' il punt dell intervall che sddisfa la tesi del terema è, l altr ha ascissa negativa e nn è accettabile. QUESIO 5 Il dmini della funzine f è:,.

6 lim? ln Osserviam che H lim lim lim lim lim. Pertant: lim la funzine nn ammette asintti per ln lim la funzine ammette l asintt verticale lim lim ln la funzine nn ha asintti rizzntali f ln lim lim lim H lim la funzine nn ha asintti bliqui QUESIO 6 y f y f y f y f y f ammette due punti anglsi in crrispndenza degli zeri della funzine y f. In tali punti, infatti, il grafic della funzine y f ha tangente bliqua; pertant, La funzine applicand il valre asslut (e simmetrizzand, di cnseguenza, anche le tangenti) tteniam una tangente destra diversa dalla tangente sinistra in tali punti. ammette un punt angls in crrispndenza dell intersezine del grafic La funzine y f della funzine y f cn l asse delle y. In tale punt, infatti, il grafic della funzine y f ha tangente bliqua; inltre, la funzine y f è pari e presenta una simmetria rispett all asse delle

7 y. Pertant, applicand la simmetria anche sulla tangente, tteniam una tangente destra diversa dalla tangente sinistra in tale punt. y f y f ed ammette, La funzine è ttenuta da una traslazine della funzine pertant, due punti anglsi. QUESIO 7 5 a) La 4 riga della matrice A è la smma della e della det A Cnsideriam ra il minre (calclat mediante il terema di Laplace, rispett alla riga): 6 la matrice ha rang b) A 6 e A A A 6 4 Per il terema di Binet e la prprietà cmmutativa del prdtt in : A A A A A A A A det det det det det det Inltre, è nt che una matrice e la sua traspsta hann l stess determinante; pertant: det A det A det A A det A det A det Adet A det A 4 6 In alternativa si pteva ricrrere al calcl del determinante della matrice 6 4 direttamente la matrice A A e trvarne il determinante. ppure calclare QUESIO 8 a) Le intersezini del grafic della funzine cn l asse sn: y, y L area cercata è: Area d 8... u 4 4 b) Applicand il metd delle fette: Integrand tteniam: dv f d d d V 4 4 d... u QUESIO 9 Sviluppand il determinante rispett all ultima riga tteniam:

8 la matrice A è invertibile. Calcliam la matrice cf(a): A A A Quindi: e la matrice inversa cercata è: A A A A cf A cf A det A A A A QUESIO Rislviam l equazine differenziale L equazine mgenea assciata a (*) è: e l equazine caratteristica è (*) y" y ' 8y e y" y ' 8y 8 Rislviam l equazine caratteristica: 4 8 9, 4 la sluzine generale dell equazine mgenea assciata è: 4 ce c e Cerchiam una sluzine particlare dell equazine (*) tra le funzini del tip k e : ' ke " 4ke Sstituend nella (*): 4 8 ke ke ke e 8ke e 8k La sluzine generale dell equazine (*) è: y c e c e e 8 QUESIO a) y z y z y z 6 Mltiplichiam la equazine per e smmiamla alla : 4 k 8

9 y z y z y z Sluzine:,, 5z 5 y z y z 6 sstituend: z y 6 z y b) 4 y z 5 y z 4 5y 9z 4 La matrice dei cefficienti è 5. Applichiam il metd di Gauss: I 4 II 7 I III II III Il sistema diviene quindi: 4 y z 4 4z z y z y z y z Il sistema ha sluzini: z, z, z, z 4 QUESIO Ricerchiam la famiglia delle primitive della funzine data, integrand per parti: e d e d e e d e e d e e c e c Affinchè la funzine csì ttenuta passi per, è necessari che: e c 4 c 5 c 4 5 La funzine cercata è F e. 4 4 Dal mment che lim e lim lim H 4 4e 8e tteniam: 5 5 lim F lim e 4 4 4

10 UNIVERSIÀ DEGLI SUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E ECNOLOGIE VIICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MAEMAICA (B) San Flrian, 8//7 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che la mia prva d'esame venga crretta e valutata. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. (segnare l pzine prescelta) APPELLO: Svlgere il quesit + quesiti a scelta dal n. al n. 6 + quesiti a scelta dal n. 8 al n. RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. al n. 6 RECUPERO PARZIALE: quesiti dal n. 7 al n. Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che la mia prva nn venga crretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDAI DURANE LA PROVA NON È CONSENIO AGLI SUDENI COMUNICARE RA LORO O CON L ESERNO; PERANO I ELEFONI CELLULARI ED I DISPOSIIVI MULIMEDIALI DEVONO RESARE SPENI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati punti. Utilizzate i fgli della minuta (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini est della prva d'esame Parte A QUESIO ( /6) Studiare la funzine f determinand esplicitamente dmini, parità, segn ed eventuali intersezini cn gli assi, eventuali asintti, mntnia ed eventuali estremi. Dp aver verificat che la funzine data nn ammette flessi, se ne disegni il grafic. QUESIO ( /5) Verificare che la parabla y tangente in cmune nel punt di ascissa. 4 ed il grafic della funzine f ln hann la

11 QUESIO ( /5) Dp averne calclat il dmini D, verificare che la funzine f ln è crescente in D e spiegare perché essa ammette un unic zer nell'intervall,. Utilizzand il metd di bisezine, stimare il valre dell zer della funzine cn apprssimazine -. QUESIO 4 ( /5) Verificare che la funzine f ( ) sddisfa le iptesi del erema di Lagrange nell'intervall [, ] ed individuare, in tale intervall, le ascisse dei punti che sddisfan la tesi del terema. QUESIO 5 ( /5) Determinare le equazini degli asintti della funzine f. QUESIO 6 ( /5) Dat il grafic della funzine f in figura, disegnare i grafici delle funzini seguenti, negli spazi a dispsizine in quest fgli. Dire inltre se le funzini trasfrmate hann punti di nn derivabilità, mtivand la rispsta, su fgli a parte. y f y f y f y f

12 QUESIO 7 ( /6) Parte B SOLO PER CHI DEVE RECUPERARE IL PARZIALE RELAIVO ALLA PARE B 4 a) Determinare il rang della matrice: 4 b) Calclare il prdtt A A tra la matrice A e la sua traspsta ed il determinante del prdtt A A. QUESIO 8 ( /5) a) Calclare l area della regine piana rappresentata in figura, delimitata dall asse e dalla curva di equazine y. b) Determinare il vlume del slid ttenut dalla rtazine della superficie clrata attrn all asse. QUESIO 9 ( /5) Dire se la matrice è invertibile e, in cas di rispsta affermativa, determinarne l inversa. QUESIO ( /5) Rislvere la seguente equazine differenziale lineare nn mgenea: y" y ' 8y e. QUESIO ( /5) Rislvere i seguenti sistemi lineari: a) y z y z y 9z 4 b) y z 5y 4z 5 y z QUESIO ( /5) ra le primitive della funzine f e sia F quella passante per il punt, ; calclare lim F PUNEGGIO OALE: /

13 RACCIA SINEICA DI RISOLUZIONE FILA B QUESIO f DOMINIO: PARIÀ: f è diversa da dispari f e da f la funzine nn è né pari né SEGNO: f La curva incntra gli assi cartesiani sl nel punt, ASINOI: lim la funzine ha l asintt verticale Dal mment che lim cncludiam che la funzine ammette l asintt bliqu: y CRESCENZA: f '... essend in D La funzine ha un minim in, 4 CONCAVIÀ: f " in D la funzine vlge sempre la cncavità vers l alt. 4 QUESIO Il punt di ascissa della parabla ha crdinate: y 4, Il punt di ascissa del grafic della funzine ha crdinate: f ln, Calcliam i cefficienti anglari: y ' 4 y ' 4

14 f ' f ' Dal mment che le tangenti passan per l stess punt ed hann l stess cefficiente anglare, pssiam cncludere che le due curve hann la stessa tangente in (,). y y L equazine della tangente è: QUESIO Il dmini della funzine f ln è D:. ale funzine è cntinua e derivabile in D, essend smma di funzini ivi cntinue e derivabili. Calcliamne la derivata prima: f ' in D, piché smma di termini ivi psitivi la funzine è crescente in D. f ln ln, dal mment che ln f ln ln Per il terema degli zeri delle funzini cntinue, la funzine ammette almen un zer in [,]; essend mntna in D, e quindi ivi invertibile, tale zer è unic. Applicand il metd di bisezine tteniam: Pertant l apprssimazine dell zer cercat è:.9 QUESIO 4 La funzine f è rapprt tra funzini cntinue e derivabili; pertant è cntinua e derivabile nel su dmini:. In particlare è una funzine cntinua e derivabile nell intervall,. Le iptesi del terema di Lagrange sn, quindi, verificate. f f f f f '... La tesi del terema di Lagrange afferma che esiste almen un punt intern all intervall [,] tale che: f f f ' il punt dell intervall che sddisfa la tesi del terema è, l altr ha ascissa e nn è accettabile. QUESIO 5

15 Il dmini della funzine f lim? è:,. ln Osserviam che H lim lim lim lim lim. Pertant: lim la funzine nn ammette asintti per ln lim la funzine ammette l asintt verticale lim lim ln la funzine nn ha asintti rizzntali f ln lim lim lim H lim la funzine nn ha asintti bliqui QUESIO 6 y f y f y f y f y f ammette due punti anglsi in crrispndenza degli zeri della funzine y f. In tali punti, infatti, il grafic della funzine y f ha tangente bliqua; pertant, La funzine applicand il valre asslut (e simmetrizzand, di cnseguenza, anche le tangenti) tteniam una tangente destra diversa dalla tangente sinistra in tali punti.

16 La funzine y f ammette un punt angls in crrispndenza dell intersezine del grafic della funzine y f cn l asse delle y. In tale punt, infatti, il grafic della funzine y f ha tangente bliqua; inltre, la funzine y f è pari e presenta una simmetria rispett all asse delle y. Pertant, applicand la simmetria anche sulla tangente, tteniam una tangente destra diversa dalla tangente sinistra in tale punt. La funzine y f è ttenuta da una traslazine della funzine y f pertant, due punti anglsi. QUESIO 7 4 a) La 4 riga della matrice A è la smma della e della det A 4 Cnsideriam ra il minre (calclat mediante il terema di Laplace, rispett alla riga): la matrice ha rang ed ammette, b) A e A A A Per il terema di Binet e la prprietà cmmutativa del prdtt in : A A A A A A A A det det det det det det Inltre, è nt che una matrice e la sua traspsta hann l stess determinante; pertant: det A det A det A A det A det A det Adet A det A 9 In alternativa si pteva ricrrere al calcl del determinante della matrice direttamente la matrice A A e trvarne il determinante. ppure calclare QUESIO 8 a) Le intersezini del grafic della funzine cn l asse sn: y, y L area cercata è: b) Applicand il metd delle fette: Integrand tteniam: Area d 7... u dv f d d d V d 8... u

17 QUESIO 9 Sviluppand il determinante rispett all ultima riga tteniam: la matrice A è invertibile. Calcliam la matrice cf(a): A A A Quindi: e la matrice inversa cercata è: A A A A cf A cf A det A A A A QUESIO Rislviam l equazine differenziale L equazine mgenea assciata a (*) è: e l equazine caratteristica è Rislviam l equazine caratteristica: (*) y" y ' 8y e y" y ' 8y , 4 la sluzine generale dell equazine mgenea assciata è: 4 ce c e Cerchiam una sluzine particlare dell equazine (*) tra le funzini del tip k e : ' ke " 4ke Sstituend nella (*): 4ke ke 8ke e 8ke e 8k La sluzine generale dell equazine (*) è: y c e c e e 8 QUESIO 4 k 8

18 a) y z y z y 9z 4 Mltiplichiam la equazine per e smmiamla alla : y z 5 z 5 y z y z sstituend: y 8z 8 y 9z 4 Sluzine: 4,, z y 9 4 z y 4 b) y z 5y 4z 5 y z La matrice dei cefficienti è 5 4. Applichiam il metd di Gauss: I II 5 I III II III 5 5 Il sistema diviene quindi: y z y z y z y y z y z z z z Il sistema ha sluzini:,,, QUESIO Ricerchiam la famiglia delle primitive della funzine data, integrand per parti: e d e d e e d e e d e e c e c Affinchè la funzine csì ttenuta passi per, è necessari che: La funzine cercata è F Dal mment che tteniam: e c 9 c 9 c 9 9 e. 9 9 lim lim lim 9 9e 7e e H 9 9 lim F lim e 9 9 9