ASINTOTI di una funzione

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1 LEZIONI ASINTOTI di una funzine Definizine Sia il grafic di una funzine di equazine y f ( ) avente un ram che si estende all'infinit e sia P un su punt. Una retta r si dice asintt per tale funzine se la distanza del punt P di dalla retta r tende a zer quand P si allntana indefinitamente su P K H Piché gli asintti sn delle rette, questi pssn essere: verticali, rizzntali ppure bliqui. Di seguit sn riprtati degli esempi di asintt per il grafic della funzine: y Fig. a: Asintt verticale per la funzine Prf. Salvatre Scialpi - Pag. /9

2 fig.b: Asintt rizzntale N.B. Il grafic di una funzine può intersecare un asintt rizzntale anche infinite vlte mentre può intersecare un asintt verticale al massim una vlta. fig. b: Asintt rizzntale fig.c: Asintt bliqu Prf. Salvatre Scialpi - Pag. /9

3 N.B. Cme per gli asintti rizzntali, il grafic di una funzine può intersecare un asintt bliqu anche infinite vlte. Asintti verticali. Sia y f ( ) una funzine reale di una variabile reale, definita in X, e sia un punt di accumulazine a destra [risp. a sinistra] per X. Se al tendere di vers dalla destra [risp. dalla sinistra] f( ) tende vers vers, allra si dice che la retta di equazine è un asintt verticale a sinistra [risp. a destra] per il grafic di f (in alt se il limite di f in è, in bass se tale limite è ). Nelle figure che segun sn rappresentati i grafici di alcune funzini che ammettn asintti verticali: a destra nelle prime due, a sinistra nella terza e nella quarta, a sinistra e a destra nelle ultime due. Fig. a Fig. b Fig. c Fig. d Fig. e Fig. f Prf. Salvatre Scialpi - Pag. 3/9

4 Per la ricerca degli eventuali asintti verticali per il grafic di una funzine y = f() si prcede in quest md. Si determinan sia i punti di accumulazine per X che nn appartengn a X, sia quelli che appartengn a X nei quali la funzine nn è cntinua. Per tali punti ptrebbe passare un asintt verticale per il grafic della y tg funzine. Più precisamente, il grafic della funzine y = f() presenta un asintt verticale nella retta lim f( ). se: π π 3 π Si nti che una funzine può ammettere più di un asintt verticale, basti pensare alla funzine tangente il cui grafic è riprtat accant. Asintti rizzntali. Sia f una funzine reale di una variabile reale, definita in un sttinsieme X di nn limitat superirmente [risp. inferirmente]. Se al tendere di vers [risp. ] la funzine f( ) tende vers un valre finit, allra si dice che la retta di equazine y rappresenta un asintt rizzntale a destra [risp. a sinistra] per il grafic di f. Ossia, se cn lim f( ), finit, allra il grafic della funzine presenta un asintt rizzntale a destra [risp. a sinistra] per il grafic di f nella retta y. Asintti bliqui. Ptrebbe anche accadere, però, che la funzine ammetta un asintt bliqu, ciè che il su grafic tenda ad avvicinarsi indefinitamente ad una retta r nn parallela né all asse né all asse y. Cndizine sufficiente affinché una retta y m q sia asintt bliqu per una funzine y = f() è che f m q lim ( ) 0. Dimstrazine Prverem che al tendere di ad infinit, la distanza del punt P sulla curva dalla retta r tende a zer. Infatti, la differenza f ( ) m q Prf. Salvatre Scialpi - Pag. 4/9

5 rappresenta la distanza tra due punti P e Q di uguale ascissa, l un sulla curva che rappresenta la funzine e l altr sulla retta y m q. Alla luce di quant è stat dett pcanzi, l iptesi lim f ( ) m q 0 () indica che al tendere di a infinit la distanza PQ tende a zer pertant, essend PQ maggire di PH, distanza del punt P sulla curva dalla retta r, anche PH tenderà a zer al tendere di ad infinit. c.v.d. Osservazine Al variare di P sulla curva, l angl del triangl PQ H rimane cstante pertant il catet PH risulterà sempre prprzinale a PQ essend PH PQsen ( ). Cnseguenza di quest fatt è che quand PH tende a zer anche PQ tenderà a zer e viceversa. Per cui la C.S. spra espressa può essere csì rifrmulata: Cndizine necessaria e sufficiente affinché una retta y m q sia asintt bliqu per una funzine y = f() è che f m q lim ( ) 0. Prf. Salvatre Scialpi - Pag. 5/9

6 Di us frequente è il seguente Terema f( ) Il grafic della funzine presenta un asintt ) lim m cn m, m 0 bliqu nella retta di equazine y m q ) lim f ( ) m q cn q Dimstrazine Se la funzine ha nella retta y m q un asintt bliqu, necessariamente pertant: e quindi: Essend: lim f ( ) m q 0 lim dalla () segue: f ( ) m q = f m q lim ( ) f ( ) q lim m 0. () q lim m m 0 m (3) f ( ) f ( ) q q lim lim m m 0 m m. Prviam ra che q lim f ( ) m N.B. : lim f ( ) m lim f ( ) m q q lim f ( ) m q q 0 q q. c.v.d. Una funzine che abbia un asintt rizzntale destr [risp. sinistr] nn può avere anche un asintt bliqu destr [risp. sinistr]. La ricerca degli asintti bliqui cme quella degli asintti rizzntali presuppne che il dmini della funzine sia illimitat. Particlarmente interessante si rivela essere la ricerca degli asintti bliqui nei casi di funzini razinali fratte, ciè del tip A( ) f ( ), B( ) Prf. Salvatre Scialpi - Pag. 6/9

7 cn il plinmi A() di grad n ed il plinmi B() di grad n-. Dividend il prim per il secnd plinmi si ha: cn A( ) Q( ) B( ) R( ), LIMITI DI FUNZIONI - Asintti Q m q plinmi quziente di grad ed R() plinmi rest di grad inferire a quell di B(). Essend: allra A( ) R( ) f ( ) ( m q) B( ) B( ). R ( ) lim f ( ) m q lim 0 B ( ) e quest significa che quand tende ad infinit la funzine tende alla retta y m q che pertant rappresenta un asintt bliqu per la funzine. Vediamne qualche esempi pratic 3 4 La funzine y ha cme asintt bliqu la retta y, infatti eseguend la divisine si ttiene Q( ) mentre R( ) 4 Prf. Salvatre Scialpi - Pag. 7/9

8 Esempi ) Trvare gli asintti della funzine di equazine y Si ha l'asintt verticale =0: infatti per che tende a zer la funzine tende all'infinit; in particlare se tende a 0, f() tende a, se tende a 0, f() tende a. Si ha l'asintt bliqu y : basta ntare che lim f ( ) lim 0 f ( ) e quindi Ntare che in quest cas l'asintt bliqu è sia sinistr che destr. ) Trvare gli asintti della funzine di equazine y e ( e ) La funzine può essere espressa nella frma e y e e dalla quale si vede facilmente che nn ci sn asintti verticali. Per gli asintti bliqui vale il discrs fatt nell esercizi precedente: f ( ) e pertant lim f ( ) lim 0 e quindi la funzine ammette l'asintt bliqu destr e di equazine y. Invece, lim f ( ) lim e pertant la funzine nn ammette asintt bliqu sinistr. Si dimstra cn facilità che la funzine nn ammette neanche l asintt rizzntale sinistr. 3) Trvare gli asintti della funzine di equazine y. La funzine è definita su tutt pertant nn ammette asintti verticali. Si sservi preliminarmente che per : f ( ). f ( ) m lim lim. Prf. Salvatre Scialpi - Pag. 8/9

9 q lim f ( ) m lim 0. LIMITI DI FUNZIONI - Asintti Quindi per abbiam l'asintt bliqu sinistr di equazine y Analgamente si ha: f ( ) m lim lim q lim f ( ) m lim 0 Quindi per abbiam l'asintt bliqu destr di equazine y. Prf. Salvatre Scialpi - Pag. 9/9