ASINTOTI di una funzione

Transcript

1 LEZIONI ASINTOTI di una funzione Definizione Sia γ il grafico di una funzione di equazione y = f( ) avente un ramo che si estende all'infinito e sia P un suo punto. Una retta r si dice asintoto per tale funzione se la distanza del punto P di γ dalla retta r tende a zero quando P si allontana indefinitamente su γ. P K H Poiché gli asintoti sono delle rette, questi possono essere: verticali, orizzontali oppure obliqui. Di seguito sono riportati degli esempi di asintoto per il grafico della funzione: y o Fig. a: Asintoto verticale per la funzione Prof. Salvatore Scialpi - Pag. /9

2 fig.b: Asintoto orizzontale N.B. Il grafico di una funzione può intersecare un asintoto orizzontale anche infinite volte mentre può intersecare un asintoto verticale al massimo una volta. fig. b: Asintoto orizzontale fig.c: Asintoto obliquo Prof. Salvatore Scialpi - Pag. /9

3 N.B. Come per gli asintoti orizzontali, il grafico di una funzione può intersecare un asintoto obliquo anche infinite volte. Asintoti verticali. Sia y = f( ) una funzione reale di una variabile reale, definita in X, e sia o un punto di accumulazione a destra [risp. a sinistra] per X. Se al tendere di verso o dalla destra [risp. dalla sinistra] f( ) tende verso + o verso, allora si dice che la retta di equazione = è un o asintoto verticale a sinistra [risp. a destra] per il grafico di f (in alto se il limite di f in o è +, in basso se tale limite è ). Nelle figure che seguono sono rappresentati i grafici di alcune funzioni che ammettono asintoti verticali: a destra nelle prime due, a sinistra nella terza e nella quarta, a sinistra e a destra nelle ultime due. Fig. a Fig. b Fig. c Fig. d Fig. e Fig. f Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 3/9

4 Per la ricerca degli eventuali asintoti verticali per il grafico di una funzione y = f() si procede in questo modo. Si determinano sia i punti o di accumulazione per X che non appartengono a X, sia quelli che appartengono a X nei quali la funzione non è continua. Per tali punti potrebbe passare un asintoto verticale per il grafico della y = tg funzione. Più precisamente, il grafico della funzione y = f() presenta un asintoto verticale nella retta lim f( ) = ±. o = se: o π π 3 π Si noti che una funzione può ammettere più di un asintoto verticale, basti pensare alla funzione tangente il cui grafico è riportato accanto. Asintoti orizzontali. Sia f una funzione reale di una variabile reale, definita in un sottoinsieme X di non limitato superiormente [risp. inferiormente]. Se al tendere di verso + [risp. ] la funzione f( ) tende verso un valore finito, allora si dice che la retta di equazione y = rappresenta un asintoto orizzontale a destra [risp. a sinistra] per il grafico di f. Ossia, se lim f( ) =, + con finito, allora il grafico della funzione presenta un asintoto orizzontale a destra [risp. a sinistra] per il grafico di f nella retta y =. Asintoti obliqui. Potrebbe anche accadere, però, che la funzione ammetta un asintoto obliquo, cioè che il suo grafico tenda ad avvicinarsi indefinitamente ad una retta r non parallela né all asse né all asse y. Condizione sufficiente affinché una retta y = m + q sia asintoto obliquo per una funzione y = f() è che f ( m q) lim ( ) + = 0. Dimostrazione Proveremo che al tendere di ad infinito, la distanza del punto P sulla curva dalla retta r tende a zero. Infatti, la differenza Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 4/9

5 ( ) f ( ) m + q rappresenta la distanza tra due punti P e Q di uguale ascissa, l uno sulla curva che rappresenta la funzione e l altro sulla retta y = m + q. L ipotesi ( ) lim f ( ) m + q = 0 () indica quindi che al tendere di a infinito la distanza PQ tende a zero ed essendo PQ maggiore di PH, distanza del punto P sulla curva dalla retta r, anche PH tenderà a zero al tendere di ad infinito. c.v.d. Osservazione Al variare di P sulla curva, l angolo α del triangolo PQH rimane costante pertanto il cateto PH risulterà sempre proporzionale a PQ essendo PH = PQsen( α). Conseguenza di questo fatto è che quando PH tende a zero anche PQ tenderà a zero e viceversa. Per cui la C.S. sopra espressa può essere così formulata: Condizione necessaria e sufficiente affinché una retta y = m + q sia asintoto obliquo per una funzione y = f() è che lim f ( ) ( m + q) = 0. Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 5/9

6 Di uso frequente è il seguente Teorema f( ) Il grafico della funzione presenta un asintoto ) lim = m con m, m 0 obliquo nella retta di equazione y m q = + ) lim [ f ( ) m] = q con q Dimostrazione Se la funzione ha nella retta y = m + q un asintoto obliquo, necessariamente pertanto: e quindi: Essendo: ( ) lim f ( ) m + q = 0 dalla () segue: ( ) ( + ) = f ( m q) f m q lim lim ( ) = = f( ) q lim m 0 + =. () q lim m m 0 m + = + = (3) f( ) f( ) q q lim = lim m m 0 m m + + = + =. Proviamo ora che q lim [ f ( ) m] = : Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 6/9

7 [ ] [ ] ( ) lim f ( ) m = lim f ( ) m q + q = lim f ( ) m q + q = 0 + q = q. c.v.d. N.B. Una funzione che ha un asintoto orizzontale destro [risp. sinistro] non può avere anche un asintoto obliquo destro [risp. sinistro]. La ricerca degli asintoti obliqui come quella degli asintoti orizzontali presuppone che il dominio della funzione sia illimitato. A( ) In particolare poi, se la funzione è razionale fratta, cioè f ( ) =, con il polinomio B( ) A() di grado n ed il polinomio B() di grado n-, dividendo il primo per il secondo polinomio si ha: A ( ) = Q ( ) B ( ) + R ( ), con Q( ) = m + q polinomio quoziente di grado ed R() polinomio resto di grado inferiore a quello di B(). Essendo allora A ( ) R ( ) f ( ) = ( m q) B ( ) = + + B ( ). R ( ) lim [ f ( ) m q] = lim = 0 B ( ) e questo significa che quando tende ad infinito la funzione tende alla retta y = m + q che pertanto rappresenta un asintoto obliquo per la funzione. Vediamone qualche esempio pratico 3 4 La funzione y = ha come asintoto obliquo la retta y =, infatti Eseguendo la divisione si ottiene Q ( ) = mentre R ( ) = + 4 Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 7/9

8 Esempi ) Trovare gli asintoti della funzione di equazione y = + Si ha l'asintoto verticale =0: infatti per che tende a zero la funzione tende all'infinito; in particolare se tende a zero +, f() tende a + infinito, se tende a zero -, f() tende a - infinito. Si ha l'asintoto obliquo y=: basta notare che y=/.. Notare che in questo caso l'asintoto obliquo si ha sia per che tende a + infinito che per che tende a - infinito. ) Trovare gli asintoti della funzione di equazione y= y = e ( e + ) La funzione può essere espressa nella forma Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 8/9

9 da cui si vede facilmente che non ci sono asintoti verticali. Per gli asintoti obliqui notiamo che /e è infinitesimo per, quindi in tal caso si ha l'asintoto di equazione y= per invece /e tende a + infinito, pertanto in tal caso la funzione non ammette asintoto obliquo, nè asintoto orizzontale. 3) Trovare gli asintoti della funzione di equazione Risulta: Quindi per abbiamo l'asintoto di equazione y=- Analogamente si ha: Quindi per abbiamo l'asintoto di equazione y=. Prof. Salvatore Scialpi - Pag. 9/9