I LIMITI DELLE FUNZIONI

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1 I LIMITI DELLE FUNZIONI. I cncett intuitiv di ite.. La definizine rigrsa di ite.. L infinit matematic e e sue prprietà. 4. I ite finit di una funzine in un punt.. I ite infinit di una funzine in un punt. 6. I ite finit di una funzine a infinit. 7. I ite infinit di una funzine a infinit. 8. Cac dei iti dee funzini razinai. 9. Limite destr e ite sinistr di una funzine in un punt.. Terema de unicità de ite cn dimstrazine.. Terema de cnfrnt.. Terema dea permanenza de segn.. I teremi sue perazini cn i iti. 4. Le frme indeterminate dei iti.. Cac di acuni iti in frma indeterminata. 6. Cac degi asintti verticai e rizzntai di una funzine. 7. Studi apprssimat de grafic di una funzine. 8. Cac dei iti cn us di Gegebra.

2 . I cncett intuitiv di ite. I ite è un perazine matematica che permette di stabiire a quae vare si avvicina una funzine f() quand a variabie tende ad un cert vare. Se per che tende a vare a funzine f () si avvicina a vare, si scrive: f ( ) che si egge: ite per che tende ad, di effe di, uguae, e vu dire che quant più a variabie si avvicina a vare, tant più a funzine f () si avvicina a vare. I cac de ite è imprtante per sapere a quae vare si avvicina a funzine quand a variabie tende a a a quei punti de dmini in cui a funzine è discntinua e i su grafic si interrmpe. 8 Per esempi a funzine f ( ) ha dmini D R e perciò per nn si può cacare i vare dea funzine ma, per tracciare bene i grafic di f (), è imprtante sapere, quand a tende a vare, a quae vare si avvicina a funzine. È utie ntare che un cac apprssimat de ite si può anche effettuare utiizzand una cacatrice e sstituend a pst di una vare abbastanza vicin a numer, per esempi,999 ppure,. Cme risutat si ttiene però s un numer decimae apprssimat, e nn un vare precis stt frma di frazine di radicae. VIDEOLEZIONE SUI LIMITI

3 . La definizine rigrsa di ite. In termini più rigrsi, a scrittura: f ( ) significa che a distanza tra i vare dea funzine f () e i ite si può rendere picca a piacere, più picca di quaunque numer ɛ arbitrariamente scet, se si prende un vare di in un cert intrn di, abbastanza vicin ad, ma cn. Questa definizine rigrsa di ite simbicamente si esprime csì: f ( ) I ( ) / I ( ) : f ( ) Secnd i vari che pssn assumere i punt e i ite, che pssn essere finiti infiniti, si pssn avere quattr casi diversi di ite: a) ite finit di una funzine in un punt: f ( ) b) ite infinit di una funzine in un punt: f ( ) c) ite finit di una funzine a infinit: f ( ) d) ite infinit di una funzine a infinit: f( ) Ne studi dei iti bisgna saper fare essenziamente due cse: a) Verificare se i vare di un ite è ver, appicand a definizine di ite. b) Cacare un ite quand nn se ne cnsce i vare. Apprfndimenti su cncett di infinit: L INFINITO MATEMATICO IL CONCETTO DI INFINITO L INFINITO MATEMATICO E DINTORNI L INFINITO IN MATEMATICA LA MATEMATICA DELL INFINITO LA MATEMATICA E L INFINITO

4 . L infinit matematic e e sue prprietà. Ne mnd antic, ppi cme que babinese egizi nn preser mai in esame infinit, nn per mancanza di capacità inteettuai, ma sempicemente per i fatt che nei r prbemi pratici infinit nn cmpariva, né destava interesse. Fu invece ne antica Grecia che grandi matematici e fisfi, cme Pitagra, Parmenide, Patne, Zenne, Eucide cminciarn a dibattere e ad interrgarsi su cncett di infinit. Sarà necessari attendere età mderna affinché tae cncett venga affrntat seriamente e adeguatamente; è tuttavia interessante sservare cme quest cncett sia sempre stat trattat nn s da un punt di vista prettamente matematic, ma abbia sempre avut risvti fisfici e tegici, rispecchiand a cncezine che um aveva di se stess. Ne studi dea matematica i cncett di infinit sae preptente aa ribata quand si affrnta i cac dei iti, per cui è necessari cnscer megi prima di affrntare quest avr. L infinit in matematica si indica c simb, dett emniscata, e nn ha una definizine precisa (cme i cncett di retta nea gemetria), ma è un cncett abbastanza intuitiv che ciascun di ni ha dentr di se. Pssiam dire che ess rappresenta una quantità mt grande, più grande di quaunque numer che ciascun di ni può immaginare. Ess pssiede e seguenti prprietà: a) a R: a b) a R: a c) a R : a d) a R : a a e) a R :

5 4. I ite finit di una funzine in un punt. APPROFONDIMENTO Sia C D f : una funzine reae di variabie reae e sia un punt di accumuazine di D che nn necessariamente appartiene a D. Si dice che per tendente a punt a funzine ) ( f tende a ite finit, e si scrive: f ) ( quand, per mt vicin a, ma, risuta che ) ( f è mt vicina a vare. Quest cncett si esprime rigrsamente in quest md: ) ( : ) I ( / ) I ( ) ( f f Esercizi. Appicand a definizine di ite, stabiire se: Bisgna vedere se: : () I / () I Se risvend questa disequazine si trva cme suzine un intrn di significa che i ite è ver atrimenti, se a disequazine nn ha suzini ppure ha cme suzine un interva che nn cntiene i punt, si cncude che i ite nn è ver. ) )( ( Quest è intrn di per gni de quae, escus, risuta () f. Pertant i ite prpst è ver.

6 . I ite infinit di una funzine in un punt. Sia f : DC una funzine reae di variabie reae e sia un punt di accumuazine di D che nn necessariamente appartiene a D. Quand a variabie tende ad un vare finit e a funzine tende a infinit si pssn presentare due casi. cas cn i ite uguae a Si dice che per tendente a punt a funzine f () tende a, e si scrive: f ( ) quand, per mt vicin a, ma, risuta che f () diventa mt grande, più grande di quaunque numer psitiv M. Quest cncett si esprime rigrsamente in quest md: f ( ) M I( ) / I( ) Quand f ( ) at dea funzine f(). : f ( ) M si dice che a retta verticae di equazine Esercizi Stabiire se: è un asintt verticae vers Dbbiam vedere se: M I ()/ I() {}: f ( ) M Ciè se M M M M M M Quest è intrn di, de quae, escus risuta f ( ) M M

7 cas cn i ite uguae a Si dice che per tendente a punt a funzine f () tende a, e si scrive: f ( ) quand, per mt vicin a, ma, risuta che f () diventa mt picc, più picc di quaunque numer negativ - M. Quest cncett si esprime rigrsamente in quest md: f ( ) M I( ) / I( ) Quand f ( ) bass dea funzine f(). : f ( ) M si dice che a retta verticae di equazine Esercizi Stabiire se: è un asintt verticae vers i Dbbiam vedere se: M I ()/ I() {}: f ( ) M Ciè se M M M M M M M Quest è intrn di, de quae, escus risuta f( ) M M

8 6. I ite finit di una funzine a infinit. Sia f : DC una funzine reae di variabie reae. Quand a variabie tende a infinit e a funzine tende ad un vare finit si pssn presentare due casi. cas cn Si dice che per a funzine f() tende a ite, y e si scrive: f ( ) quand, per mt grande, ciè superire ad un cert numer psitiv k, risuta che f () è mt vicina a vare. Quest cncett si esprime rigrsamente in quest md: f () k Quand f ( ) k / k : f ( ) f ( ) si dice che a retta rizzntae di equazine y è un asintt rizzntae destr dea funzine f(). Esercizi. Appicand a definizine di ite, stabiire se: 4 Bisgna vedere se: k / k : 4 Ciè ( ) ( ) Essend a quantità in vare assut sempre psitiva, abbiam: ( ) Siccme 4, essa è psitiva e si prende a suzine: è i numer k tae che k : f ( ) 4

9 cas cn y Si dice che per ite, a funzine f() tende a f () e si scrive: f ( ) quand, per mt picca, ciè inferire ad un cert numer negativ k, risuta che f () è mt vicina a vare. Quest cncett si esprime simbicamente in quest md: k y f () f ( ) k / k : f ( ) Quand f ( ) si dice che a retta rizzntae di equazine y è un asintt rizzntae sinistr dea funzine f(). Esercizi. Appicand a definizine di ite, verificare che: Bisgna vedere se: k / k : f ( ) Ciè Essend risuta: g g g g g g è i numer k tae che k : f ( )

10 7. I ite infinit di una funzine a infinit. Sia f : DC una funzine reae di variabie reae. Quand a variabie tende a infinit e anche a funzine f() tende a infinit, si pssn presentare quattr casi. ) f ( ) M k / k: f ( ) M Ciè quand a è abbastanza grande, più grande di un cert numer psitiv k, a f () diventa mt grande, più grande di quaunque numer psitiv M scet a piacere. Esempi. Verificare che: Dbbiam verificare che: M k / k : M M I vare M M M è i numer k tae che k : M ) f ( ) M k / k: f ( ) M Ciè quand a è abbastanza grande, più grande di un cert numer psitiv k, a f () diventa mt picca, più picca di quaunque numer negativ -M scet a piacere. Esempi. Verificare che: Dbbiam verificare che: M k / k : M M M M M M M I vare è i numer k tae che k : M

11 ) f ( ) M k / k : f ( ) M Ciè quand a è abbastanza picca, più picca di un cert numer negativ -k, a f () diventa mt grande, più grande di quaunque numer psitiv M scet a piacere. Esempi. Verificare che: 4 Dbbiam verificare che: M k 4 / k : M 4 M M M 4 M 4 M 4 M 4 4 M 4 I vare è i numer k tae che k : M 4 4) f ( ) M k / k : f ( ) M Ciè quand a è abbastanza picca, più picca di un cert numer negativ -k, a f () diventa mt picca, più picca di quaunque numer negativ - M scet a piacere. Esempi 4. Verificare che: 6 Dbbiam verificare che: M k 6 / k : M 6 M 6 M 6 M 6 M M 6 M 6 6 I vare è i numer k tae che k : M

12 8. Cac dei iti dee funzini razinai. I cac dei iti si effettua sstituend nea funzine a pst di i vare a cui essa tende. Esempi. Cacare ( ) Esempi. Cacare Esempi. Cacare ( ( 4) ) 4 frma indeterminata, ciè i risutat può essere quaunque vare, perché quaunque numer smmat c sttraend dà cme risutat i minuend. Per einare indeterminazine si raccgie a fattre cmune a c massim espnente e pi si ricaca i ite. ( ) ( ) Esempi 4. Cacare frma indeterminata, ciè i risutat può essere quaunque vare, perché quaunque numer mtipicat c divisre, dà cme risutat i dividend. Per einare indeterminazine si raccgie a fattre cmune a c massim espnente sia a numeratre che a denminatre, pi si sempifica e si ricaca i ite.

13 9. Limite destr e ite sinistr di una funzine in un punt. A vte i ite per destra, ciè da vari più grandi di indicati cn di una funzine () e indicati cn f può essere divers se a variabie tende a vare da, ppure da sinistra, ciè da vari più picci di. In ta cas è necessari cacare entrambi i iti, che si chiaman ite destr e ite sinistr dea funzine ne punt Se per Se per. i ite destr e i ite sinistr di una funzine f () e sn uguai tra r, si dice che per a funzine ha i ite, e i su vare è uguae a stess vare dei iti destr e sinistr. si dice che per i ite destr e i ite sinistr sn diversi tra r, ppure quacun dei due nn esiste, a funzine () Esempi. Cacare i ite: i ite può essere f nn ha i ite. Perciò bisgna cacare entrambi i iti. a secnda che da destra ppure da sinistra. Limite destr. Limite sinistr. Essend i ite destr divers da ite sinistr, a funzine f ( ) nn ha i ite per. Esempi. Cacare i ite: 4 I ite può essere a secnda che da destra ppure da sinistra. Perciò bisgna cacare entrambi i iti. Limite destr: Limite sinistr 4 4 Essend i ite destr divers da ite sinistr, a funzine f ( ) nn ha i ite per.

14 Esempi. Stabiire se a funzine f ( ) ha i ite per Bisgna cacare i ite destr e sinistr dea funzine Limite destr: f ( ) per e vedere se sn uguai. Limite sinistr: Essend i ite destr divers da ite sinistr, a funzine f ( ) nn ha i ite per.. Terema de unicità de ite cn dimstrazine. Se per a funzine () f tende a ite, tae ite è unic. Dimstrazine per assurd. Suppniam che ci sian due iti diversi: e cn. Per esistenza de ite abbiam:. Terema de cnfrnt.. Terema dea permanenza de segn.

15 . I teremi sue perazini cn i iti. Sn acuni teremi che ci permettn di cacare i iti di funzini più cmpesse. Se f () e g () sn due funzini reai di variabie reae tai che: f ( ) e g( ) ' ara vagn i seguenti teremi: ) I ite dea smma di due funzini è uguae aa smma dei iti dee funzini, ciè: [ f ( ) g( )] ' ) I ite de prdtt di due funzini è uguae a prdtt dei iti dee funzini, ciè: [ f ( ) g( )] ' ) I ite de quziente di due funzini è uguae a quziente dei iti dee funzini, se i secnd ite è divers da zer, ciè: f ( ) g( ) ' se ' 4) I ite di una cstante per una funzine è uguae aa cstante per i ite dea funzine, ciè: [ a f ( )] a ) I ite di una cmbinazine ineare di funzini è uguae aa cmbinazine ineare dei iti: [ a f ( ) b g( )] a b' 6) I ite de reciprc di una funzine è uguae a reciprc de ite, se tae ite è divers da zer, ciè: f ( ) se 7) I ite de vare assut di una funzine è uguae a vare assut de ite dea funzine, ciè: f ( ) 8) I ite dea ptenza di una funzine è uguae aa ptenza de ite dea funzine, ciè: [ f ( )] n n 9) I ite dea radice di una funzine è uguae aa radice de ite dea funzine, ciè: n f ( ) n

16 ) I ite de espnenziae di una funzine è uguae a espnenziae de ite dea funzine, ciè: a f ( ) a ) I ite de garitm di una funzine è uguae a garitm de ite dea funzine, ciè: g a f ( ) g a ) I ite de sen di una funzine è uguae a sen de ite dea funzine, ciè: sen[ f ( )] sen ) I ite de csen di una funzine è uguae a csen de ite dea funzine, ciè: cs[ f ( )] cs 4) I ite dea tangente di una funzine è uguae aa tangente de ite dea funzine, ciè: tg[ f ( )] tg ) I ite dea ctangente di una funzine è uguae aa ctangente de ite dea funzine, ciè: ctg[ f ( )] ctg Per cacare i iti dee funzini più cmpesse dvremm appicare, un aa vta, tutti questi teremi sue perazini cn i iti e prcedere cme ne seguente esempi: ( ) In pratica, però, quand caciam i ite di una funzine csì cmpessa, appichiam tutti questi teremi cntempraneamente, sstituend dappertutt e cntempraneamente a pst di i vare a cui essa tende, prcedend in quest md mt più rapid: ( 4 ) Questi teremi però sn imprtanti perché ci garantiscn che i risutat ttenut è crrett.

17 4. Le frme indeterminate di un ite. Sn espressini matematiche che si pssn ttenere cacand un ite e che pssn avere cme risutat un vare quasiasi. Per cacare i vare crrett bisgna anaizzare attentamente i ite e utiizzare dee strategie diverse da cas a cas. Le principai frme indeterminate sn sette: Prima di imparare e strategie per risvere queste frme indeterminate è imprtante capire perché queste espressini pssn assumere quasiasi vare, in md che studente pc espert nn venga prtat furi strada e sia indtt ad una errata vautazine de espressine. ) La differenza nn è uguae a zer, cme si ptrebbe pensare, ma può essere uguae a quasiasi vare, piché quaunque numer smmat c sttraend dà cme risutat i minuend. ) I quziente nn è uguae a un, cme si ptrebbe pensare, ma può essere uguae a quasiasi vare, piché quaunque numer mtipicat c divisre dà cme risutat i dividend. ) I quziente nn è uguae a un, cme si ptrebbe pensare, ma può essere uguae a quasiasi vare, piché quaunque numer mtipicat c divisre dà cme risutat i dividend. 4) I prdtt nn è uguae a zer, cme si ptrebbe pensare. Dbbiam ricrdare che ne cac de ite i simb nn vae esattamente zer, ma un numer mt picc che tende a zer. Siccme un numer mt picc è uguae a reciprc di un numer mt grande, si può scrivere: che è una dee frme indeterminate precedenti e perciò può assumere quasiasi vare. ) La ptenza nn è uguae a un, cme si ptrebbe pensare. Infatti si può scrivere: che è una dee frme indeterminate precedenti e perciò può assumere quasiasi vare. 6) La ptenza nn è uguae a un, cme si ptrebbe pensare. Infatti si può scrivere: che è una dee frme indeterminate precedenti e perciò può assumere quasiasi vare. 7) La ptenza nn è uguae a un, cme si ptrebbe pensare. Infatti si può scrivere: che è una dee frme indeterminate precedenti e perciò può assumere quasiasi vare.

18 . Cac di acuni iti in frma indeterminata. Cacare i seguenti iti: Esempi. Sstituend aa variabie i vare si ttiene: frma indet. Per risvere a frma indeterminata pssiam utiizzare i terema di Ruffini, i quae afferma che se un pinmi si annua per uguae ad un cert vare a, ara ess è divisibie per a. In quest cas per si annua sia i N che i D per cui sn entrambi divisibii per. Effettuand a divisine si ttiene: ( )( ) ( )( ) Esempi. sen cs sen cs Pssiam mtipicare N e D per cs e tteniam: sen cs sen( cs) ( cs)( cs) sen( cs) cs sen( cs) sen cs cs sen sen Esempi. Pssiam mtipicare N e D per. Si ttiene: ( ( )( ) ( )( )( ) ) ( ) 6. Cac degi asintti verticai e rizzntai di una funzine. 7. Studi apprssimat de grafic di una funzine. 8. Cac dei iti cn us di Gegebra.