Le equazioni e le disequazioni lineari

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1 MATEMATICAperTUTTI Le equazioni e e disequazioni ineari Le equazioni ineari ESERCIZIO SVOLTO Le equazioni. Chiamiamo equazione ad una incognita un uguagianza fra due espressioni agebriche di cui ameno una contenente una ettera (generamente indicata con x), per a quae si ricercano i vaori che rendono vera uguagianza. Ciascuno di questi vaori si dice che è souzione de equazione. Inotre, diciamo che due equazioni sono equivaenti se hanno e stesse souzioni. Ad esempio sono equivaenti e equazioni x ¼ e x ¼ 0 perché entrambe hanno souzione x ¼ Per risovere un equazione si deve aora cercare di passare da una forma ad una più sempice che sia ad essa equivaente, fino a scrivere equazione nea forma x ¼ ::::: che esprime i vaore dea souzione cercata. Ricordiamo aora che, in base ai principi di equivaenza: n si può spostare un termine da una parte a atra de uguae cambiandogi segno n si possono eidere i termini uguai che compaiono in entrambi i membri de equazione n si può cambiare segno a tutti i termini di un equazione n si può sempificare equazione dividendo per un fattore comune ai due membri n si può passare da un equazione a coefficienti frazionari ad una a coefficienti interi motipicando i due membri per i m.m. fra i denominatori. Tenendo conto dee osservazioni fatte, risoviamo e seguenti equazioni di primo grado (o ineari): a. þ ðx Þþð xþ ¼ Svogiamo i cacoi e riduciamo i termini simii: þ 0x þ x ¼ eiminiamo i fattori uguai nei due membri x ¼ 0 x ¼ x ¼ abbiamo spostato i termine noto a secondo membro cambiandogi segno abbiamo diviso per i coefficiente di x x ¼ L insieme dee souzioni de equazione è S ¼.

2 b. ðx Þþ ðx þ Þ ¼ Cacoiamo subito i m.m. fra i denominatori ðx Þþðx þ Þ ¼ Motipichiamo per entrambi i membri de equazione e svogiamo i cacoi: x þ x þ x ¼ x ¼ þ x ¼ x ¼ S ¼. ¼ x þ ¼ þ x þ x þ x þ ¼ x þ ¼x þ ¼ þ x þ x þ Poiché non è uguae a, uguagianza ottenuta è fasa per quasiasi vaore di x; si dice che equazione è impossibie e quindi S ¼. d. ðx Þþx ¼ ðx Þþ Svogiamo i cacoi: x þ x ¼ x þ x ¼x 0 ¼ 0 Poiché 0 ¼ 0 è un uguagianza vera per quasiasi vaore di x, equazione ammette infinite souzioni e si dice che è indeterminata: S ¼ R. Risovi e seguenti equazioni: x a. þ ¼ þ x x b. x x 9 ¼ ðx þ Þ ðx Þ ¼ ðx þ xþ d. x ðx þ Þ ¼ x e. g. x þ x 9 ðx þ Þ x ¼ ðx Þðx Þ f. x ¼ x x x þ ¼x (attento: e prime due frazioni si possono sempificare)

3 Risovi e seguenti equazioni ne insieme assegnato: a. ðx Þ þ ðx Þ 0 ¼ x in Z La souzione de equazione è x ¼ e poiché Z, S ¼fg. b. xðx Þ x þ ¼x þ ðx þ Þ in N La souzione de equazione è x ¼ e poiché N, S ¼. d. x þ ðx þ Þ ðx Þ x ¼ þ x ¼ x in Z in R Le disequazioni ineari ESERCIZIO SVOLTO La risouzione di una disequazione ineare si basa su acuni principi che ricordiamo: n come nee equazioni, si può trasportare un termine da un membro a atro cambiandogi segno; i verso dea disequazione rimane in questo caso invariato n si possono motipicare o dividere entrambi i membri dea disequazione per un numero positivo ed i verso dea disequazione rimane invariato n si possono motipicare o dividere entrambi i membri dea disequazione per un numero negativo ma in questo caso si deve cambiare anche i verso dea disequazione. Risoviamo per esempio a disequazione ðx þ Þ x > x Svogiamo i cacoi x þ x þ x > x! x þ > Trasportiamo a destra i termini senza a x : x >! x > Dividiamo entrambi i membri per ricordando di cambiare verso aa disequazione x < La rappresentazione grafica de insieme dee souzioni di una disequazione è data daa semiretta in coore nea figura a ato. ðx Þ < ðx Þ ðx Þðx þ Þ > x ðx þ Þ x ðx þ Þ < x 0 ðx þ Þ x > ðx Þ 9 ðx Þ ðx þ Þ x þ

4 0 ðx Þþ ðx þ Þ (Suggerimento: cacoa i m.m. fra i denominatori ed eiminao daa disequazione motipicando entrambi i membri per tae vaore) x þ x þ x 0 x x 0 x < x þ ESERCIZIO SVOLTO Risovere un sistema di disequazioni significa chiedersi quando tutte e disequazioni sono verificate contemporaneamente; conviene perciò procedere in questo modo: cacoare insieme dee souzioni di ciascuna disequazione costruire a tabea dee souzioni che indichi in modo grafico tai insiemi trovare intersezione di questi insiemi andando a vedere in quai intervai e disequazioni sono tutte verificate. Per esempio, risoviamo i sistema: Risoviamo ciascuna disequazione: x < 0 se x < S < x < 0 x þ > 0 : x þ < 0 x þ > 0 se x > S x þ < 0 se x < S Costruiamo a tabea dee souzioni: Tutte e disequazioni sono verificate ne intervao < x < che è perciò insieme dee souzioni de sistema. Risovi i seguenti sistemi di disequazioni. x < x þ < ðx Þþ ðx Þðx þ Þ > x ðx þ Þ < x

5 < x > 0 x 0 : x < x þ ðx þ Þ < x þ >< x þ >: > 0 x þ > Risutati di acuni esercizi.. a. S ¼fg; b. S ¼fg; indeterminata, S ¼ Q; d. impossibie, S ¼ ; e. S ¼ ; f. S ¼f0g; g. S ¼ 0. S ¼ ; d. S ¼. x <. x > 0. x >. x > 9. x 0. x 0. x. x R. < x <. < x <. x >. < x <