Esercitazione 4 - Forze distribuite

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1 Università degi Studi di ergamo orso di Laurea in Ingegneria essie orso di Eementi di eccanica Esercitazione 4 - Forze distribuite Esercizio n. acoare e reazioni vincoari e e azioni interne per asta di figura.a. p Figura.a naisi de sistema La struttura è costituita da un asta di unghezza vincoata a terra nei punti e da una cerniera e un carreo. L asta è caricata da un carico distribuito uniformemente con densità di carico pari a p. La struttura è vincoata isostaticamente.

2 Sostituzione dei vincoi mediante corrispondenti reazioni vincoari E sempice sostituire i vincoi con e corrispondenti reazioni vincoari (vedi figura.b). p H V V Figura.b acoo dee reazioni vincoari I cacoo dee reazioni vincoari avviene ne soito modo, scrivendo e equazioni di equiibrio dee forze e dei momenti. La presenza di un carico distribuito su di una unghezza porta ad acune rifessioni sua risutante e su momento risutante. E abbastanza immediato i concetto di risutante di una forza uniformemente distribuita, che equivae ne nostro caso ad una forza diretta verticamente verso i basso di moduo pari a prodotto p. on è però sufficiente conoscere i moduo di una forza per a sua competa identificazione, è bensì necessario sapere quae è a sua retta di appicazione. La retta di appicazione dea risutante di un sistema di forze paraee è definita come uogo di punti rispetto ai quai i momento dea forza distribuita è nuo. e caso di un carico uniformemente distribuito questa retta è paraea aa direzione de carico e passa per i punto medio de segmento su quae i carico agisce (vedi figura.c). p p / Figura.c e caso più generae di forza distribuita non uniformemente (vedi figura.d), è necessario sommare i contributi dea forza su un segmento infinitesimo di asta, ottenendo integrae R f x dx 0

3 f(x) R x d Figura.d La retta di appicazione dea risutante può essere trovata cacoando prima i momento dea forza distribuita rispetto ad un punto (supponiamo estremo di sinistra de asta) f x xdx 0 I momento dea forza rispetto ao stesso poo può essere anche espresso tramite a sua risutante, ovvero come dr dove d è a distanza (per ora incognita) dea retta di appicazione dea risutante da estremo di sinistra de asta. Uguagiando e due espressioni de momento si ricava d d f x xdx 0 R f x xdx 0 f x dx 0 Le equazioni cardinai dea statica per asta vagono quindi F H 0 F V 0 0 H 0 sistema che risoto equivae a H 0 V p V p V V p 0 V p 0 acoo dee azioni interne In maniera de tutto anaoga a quanto visto precedentemente, e azioni interne si cacoano aprendo asta in un punto e scrivendo equazioni di equiibrio per i tronco di asta considerato. onsiderando quindi un tronco d asta di unghezza x (mostrato in figura.e)

4 p H V x Figura.e F H 0 F V 0 0 H 0 V px 0 px x x 0 0 x Sostituendo i vaori dee reazioni vincoari e risovendo i sistema di equazioni otteniamo 0 p px 0 x px px I vaori dee azioni interne dipendono daa distanza x aa quae abbiamo spezzato asta in due parti. Le azioni interne non sono quindi costanti, i oro andamento è mostrato nei diagrammi di figura.f. p agio omento fettente p 8 p Figura.f Si è soiti riportare nei diagrammi acuni vaori di riferimento, spesso in corrispondenza di 4

5 eventuai massimi o vaori estremi dee azioni interne, in modo da offrire un informazione competa. 5

6 Esercizio n. acoare e reazioni vincoari e e azioni interne per a struttura di figura.a. 60 Figura.a naisi de sistema La struttura è costituita da due aste di unghezze e vincoate tra di oro ne punto da una cerniera. La struttura è vincoata a terra da un pattino ne punto e da una cerniera ne punto. L asta è caricata da una forza verticae diretta verso i basso appicata ne punto e da un momento orario di moduo agente ne punto. I gradi di ibertà che i sistema possiede sono sei, pareggiati dai sei gradi di vincoo forniti dae due cerniere e da pattino. La struttura è in definitiva un arco a tre cerniere non aineate ed è vincoata isostaticamente. 6

7 Sostituzione dei vincoi mediante corrispondenti reazioni vincoari I vincoi sono sostituiti dae corrispondenti reazioni vincoari (vedi figura.b). H R V Figura.b acoo dee reazioni vincoari er i cacoo dee quattro reazioni vincoari a formuazione dee equazioni cardinai dea statica per intera struttura non è sufficiente. E quindi necessario scrivere ameno un equazione di equiibrio parziae (ovvero di una parte dea struttura). Quest equazione di equiibrio parziae può essere scritta separando e due aste e quindi evidenziando atre due incognite (e reazioni dea cerniera reativa) che, se si scrive equazione di equiibrio dei momenti rispetto a poo de asta, non compaiono. In questo modo, infatti, e reazioni scambiate tra e due aste, avendo braccio nuo, non danno acun contributo. F H 0 F V H V R 0 R 0 R 0 0 sistema che risoto equivae a 7

8 R H V 6 acoo dee azioni interne Si devono cacoare e azioni interne nee due aste. Evidenziando e azioni interne come forze agenti su una parte di asta (come mostrato in figura.c), si possono scrivere dee equazioni di equiibrio (nee direzioni assiae e tangenziae ed un equazione di equiibrio dei momenti). x y H z R V Figura.c onsiderando quindi una parte de asta di unghezza x possiamo scrivere F 0 F x 0 0 x Sostituendo i vaori dee reazioni vincoari e risovendo i sistema di equazioni otteniamo x 0 x Ripetendo a stessa procedura per a parte di asta mostrata ne disegno centrae di figura.c, otteniamo 8

9 F 0 F y 0 0 y 0 0 y In figura.d sono diagrammate e azioni interne per asta. zione assiae agio omento fettente Figura.d er un tronco di asta vagono, facendo riferimento a disegno di destra dea figura.c F 0 F 0 0 z z 0 0 z 0 z In figura.e sono riportati i diagrammi dee azioni interne. 9

10 zione assiae agio omento fettente Figura.e 0

11 Esercizio n. acoare e reazioni vincoari e e azioni interne per a struttura di figura.a. 45 p p = = 45 Figura.a naisi de sistema La struttura è costituita da due aste ( e ) di uguae unghezza. L asta è soggetta ad un carico concentrato ne punto di moduo p. Un carico uniformemente distribuito di densità pari a p agisce su asta in direzione verticae. L asta è vincoata mediante una cerniera a terra ne punto e un carreo a terra ne punto. Si può affermare quindi che asta è vincoata isostaticamente. L asta è connessa a asta da una cerniera reativa posta in ed è vincoata a terra ne punto mediante un carreo. nche quest asta è quindi vincoata isostaticamente.

12 Sostituzione dei vincoi mediante corrispondenti reazioni vincoari I vincoi sono sostituiti dae corrispondenti reazioni vincoari (vedi figura.b). V H p p R H Figura.b acoo dee reazioni vincoari ato che a struttura presenta quattro incognite (e reazioni vincoari), sono necessarie quattro equazioni di equiibrio statico. d esempio F H 0 F V H H V R H R p p 0 p 0 R 0 p p 0 sistema che ammette come souzione H p V 5 p H p R p

13 acoo dee azioni interne In figura.c sono mostrate diverse parti dee due aste in cui sono evidenziate e azioni interne e per e quai si possono scrivere dee equazioni di equiibrio. V V H p H p R x x y Figura.c onsiderando quindi una parte de asta di unghezza x possiamo scrivere F 0 V 0 F 0 0 H 0 x 0 0 x Sostituendo i vaori dee reazioni vincoari e risovendo i sistema di equazioni otteniamo 5 p p px 0 x Ripetendo a stessa procedura per a parte di asta mostrata ne disegno centrae di figura.c, otteniamo F 0 F 0 0 V H x p 0 p 0 p 0 x

14 p p p px x In figura.d sono diagrammate e azioni interne per asta. 5 p p p p zione assiae p agio Figura.d omento fettente er un tronco di asta vagono, facendo riferimento a disegno di destra dea figura.c F 0 F 0 0 R 0 R py 0 y py y 0 0 y p py p 0 y py py In figura.e sono riportati i diagrammi dee azioni interne. 4

15 zione assiae p agio p p omento fettente 8 p Figura.e 5