1. LA PARABOLA CON GEOGEBRA

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1 1. LA PARABOLA CON GEOGEBRA Dopo aver avviato i programma, chiudiamo a Vista Agebra, togiamo gi assi cartesiani e a grigia da quea grafica in modo da avorare iniziamente ne piano eucideo. Affrontiamo poi i seguenti passi: disegniamo i punto F e a retta direttrice d; prendiamo un punto A su d e da esso tracciamo a perpendicoare r a d stessa; tracciamo i segmento FA e costruiamo i suo asse a; troviamo i punto P di intersezione dee rette a e r; daa scheda dee ProprietaÁ di P che si apre con i tasto destro de mouse attiviamo con un cic a voce Traccia attiva. In modaitaá 1-Muovi, muoviamo adesso entamente i punto A sua retta d; contemporaneamente i punto P si muove descrivendo una curva che eá i uogo che stiamo cercando. Infatti, i segmenti PF e PA, appartenendo P a'asse de segmento AF, sono congruenti a variare de punto A su d. La traccia asciata da punto P non eá continua e non eá permanente (se memorizzi a costruzione in un fie e poi o riapri, a traccia scompare); non soo, in reataá con questo metodo non abbiamo tracciato un uogo ma soo una parte di esso percheâ abbiamo fatto muovere i punto A su di un segmento anzicheâ su tutti i punti de'intera retta d. Per avere un tracciato definitivo e competo occorre usare o strumento 4-uogo, indicando P come primo punto e A come secondo: Luogo[P, A] Studiamo e caratteristiche dea curva ottenuta facendo riferimento aa figura successiva. La retta f che passa per i fuoco ed eá perpendicoare aa direttrice eá asse di simmetria per a curva. Per verificaro basta trovare i simmetrico P 0 de punto P rispetto a f; quando P scorre in uno dei rami dea curva, P 0 scorre su ramo opposto. Tra tutti i punti dea curva ottenuta, queo di intersezione de'asse di simmetria con a paraboa ha un ruoo particoare e viene chiamato vertice. Esso rappresenta i punto "piuá basso" dea paraboa (o "piuá ato" se a direttrice si trova a di sopra de fuoco). 2. L'EQUAZIONE E LE SUE CARATTERISTICHE GisiderdiGeoGebra Uno sider eá un numero, oppure un angoo, i cui vaore puoá variare in un fissato intervao a, bšassumendo vaori che, a partire da a, vengono incrementati di un passo costante fino a b. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA PARABOLA 1

2 Per esempio, se si fissa come intervao 1, 4Š e i passo di incremento eá 0,5, i vaori che o sider assume sono 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Uno sider viene usato quando si vuoe far dipendere una costruzione da un parametro variabie. L'attivazione di questo strumento puoá avvenire con due procedure diverse. Prima procedura Daa barra degi Strumenti di disegno si usa i comando 10-Sider che, ciccando in un punto dea finestra grafica, fa aprire una finestra di diaogo come quea in figura. In essa si deve: specificare se i parametro variabie eá un numero oppure un angoo dare un nome a parametro competare a scheda Intervao indicando i vaore minimo e i vaore massimo de'intervao e i passo di incremento. L'aspetto grafico di uno sider eá un segmento con un punto mobie in evidenza. Seconda procedura Attraverso a Barra di Inserimento si dichiara una variabie con un vaore iniziae, per esempio k ˆ 1. Nea Vista Agebra questa variabie eá contraddistinta da un cerchietto di coore bianco. Si devono adesso affrontare i seguenti passi: ciccare sua dichiarazione di k con i tasto destro de mouse spuntare a voce Mostra oggetto oppure: ciccare su cerchietto bianco. In questo modo k diventa uno sider e i cerchietto cambia coore. Per fissare 'intervao di variabiitaá basta adesso ciccare con i tasto destro de mouse sua sua dichiarazione nea Vista Agebra e seezionare proprietaá oppure su segmento che o rappresenta nea Vista Grafica e impostare e caratteristiche daa scheda Sider dea voce ProprietaÁ. L'aspetto grafico puoá essere modificato da orizzontae a verticae attraverso a voce Sider che si trova appena sotto quea Intervao. LavoceAnimazione, quando eá attivata, consente di fissare e modaitaá di variazione automatica de parametro in modo che sia Osciante (da a a b eviceversa),crescente (sempre da a verso b), Decrescente (sempre da b verso a). Facendo scorrere, mediante trascinamento in avanti e indietro, i punto mobie, si ottengono e variazioni programmate de parametro. Le caratteristiche dea paraboa Studiamo come varia i grafico dea paraboa di equazione y ˆ kx 2 a variare di k in R. Per far variare k definiamo due sider: a variabie fra 0 e 3 con passo 0.3 b variabie fra 3 e 0 con o stesso passo. Inseriamo e equazioni di due paraboe digitando y ˆ a x ^2 y ˆ b x ^2 Facendo variare i parametri a e b, otteniamo i grafici dee corrispondenti paraboe; ne menu contestuae reativo aa paraboa mettiamo i segno di spunta sua voce Traccia attiva, in modo da mantenere i grafico di tutte e paraboe. 2 LA PARABOLA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 Da quanto ottenuto possiamo dedurre che: Quando k > 0 a paraboa eá rivota verso 'ato e a sua ampiezza diminuisce a crescere di k Quando k < 0 a paraboa eá rivota verso i basso e i suo comportamento eá simmetrico rispetto a'asse x dea precedente paraboa. 3. LA PARABOLA CON WIRIS Costruire i grafico di una paraboa e individuarne e caratteristiche I grafico di una quasiasi curva si puoá costruire con due comandi de menu Operazioni: tracciare viene aperta una parentesi nea quae scrivere 'equazione dea curva; ciccando su pusante uguae si apre una finestra dove viene disegnata a curva rappresentare viene aperta una parentesi nea quae scrivere 'equazione dea curva; ciccando su pusante uguae si apre una finestra dove viene disegnata a curva con e sue caratteristiche evidenziate Se, per esempio, si inserisce 'equazione y ˆ x 2 4, i comando tracciare disegna a paraboa, i comando rappresentare disegna a paraboa ma ne evidenzia anche i fuoco, a direttrice e a retta tangente ne vertice. Se si vuoe che i diagrammi di due o piuá curve vengano tracciati in un soo grafico, i comandi di tracciamento o rappresentazione devono essere inseriti in un soo bocco. Per esempio, per evidenziare i punti di intersezione dea paraboa y ˆ 1 2 x2 2x con a retta y ˆ x 1 si deve, in un soo bocco: scrivere i sistema dee equazioni dee due curve per trovarne e coordinate scrivere i comandi di tracciamento dei due grafici per vedere e intersezioni Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA PARABOLA 3

4 Wiris possiede dei comandi specifici per determinare e caratteristiche fondamentai dea paraboa attraverso i comandi: fuochi (paraboa) vertice (paraboa) direttrice (paraboa) Di seguito puoi vedere una porzione de fogio di avoro con un esempio. Determinare 'equazione di una paraboa Wiris scrive direttamente 'equazione di una paraboa (in forma impicita) se sono note 'equazione dea direttrice e e coordinate de fuoco. La sintassi di questo comando eá : Per esempio: paraboa (direttrice, punto x F, y F ) paraboa (y ˆ 1, punto 1, 1 2 restituisce 'equazione x2 2x y 7 4 ˆ 0 paraboa (x ˆ 1, punto 0, 2 restituisce 'equazione 2x y 2 4y 3 ˆ 0 4 LA PARABOLA Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 Vogiamo adesso trovare una procedura che permetta di scrivere 'equazione di una paraboa conoscendo e coordinate di tre suoi punti, per esempio 1, 2, 2, 7 e 1, 4. Per sostituire e coordinate di tai punti ne'equazione dea generica paraboa conviene costruire una funzione, che chiamiamo EQ e che dipende dae coordinate x, y de punto che rappresenta 'equazione dea paraboa in forma impicita: ax 2 bx c y ˆ 0 : EQ x, y :ˆ a x 2 b x c y Risoviamo poi i sistema dee equazioni che si ottengono sostituendo a x e y e coordinate dei tre punti; a fine di scrivere in modo automatico 'equazione dea paraboa, memorizziamo in una ista S e souzioni: 08 >< S ˆ risovere >: EQ 1, 2 ˆ 0 EQ 2, 7 ˆ 0 EQ 1,4 ˆ 0 91 >= C A >; Trattandosi di un sistema di primo grado, a ista S restituisce una soa riga i cui eementi sono i vaori dei coefficienti a, b, c dea paraboa; essi si identificano con e scritture S 1 a, S 1 b, S 1 c nee quai 'indice 1 indica a prima (ed unica) souzione de sistema. Per scrivere 'equazione dea paraboa usiamo quindi questi simboi: y ˆ S 1 a x 2 S 1 b x S 1 c Non rimane adesso che tracciare i grafico dea paraboa trovata: tracciare y Nea figura che segue puoi vedere 'intera procedura (i comandi fanno parte di un unico bocco). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA PARABOLA 5