Il piano cartesiano e la retta

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1 CAPITOLO 1 I piano cartesiano e a retta 1. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA CON DERIVE 1.1 Segmenti e punti Abbiamo visto piuá vote come si costruisce una funzione di assegnamento con Derive; possiamo usare questo tipo di istruzione per cacoare a misura di un segmento oppure e coordinate de suo punto medio quando sono note e coordinate dei punti estremi. Se indichiamo con x1, y1 e x2, y2 tai coordinate, possiamo costruire a funzione MISURA in questo modo: MISURA x1, y1, x2, y2 :ˆ sqrt x2 x1 ^2 y2 y1 ^2 Se per esempio vogiamo cacoare a misura de segmento di estremi A 1, 3 e B 2, 4, basta digitare: MISURA 1, 3, 2, 4 ˆ p e Derive restituisce 5 2. In modo de tutto anaogo si puoá costruire a funzione PUNTO MEDIO: PUNTO MEDIO x1, y1, x2, y2 :ˆ x1 x2 =2, y1 y2 =2Š nea quae abbiamo dovuto rappresentare e coordinate de punto medio mediante un vettore di due eementi, 'ascissa e 'ordinata. Un vettore con Derive si indica racchiudendo fra parentesi quadre i suoi eementi separandoi con una virgoa. Se adesso inserisci PUNTO MEDIO 1, 3, 2, 4 ˆ Derive restituisce 3 2, 1 che sono proprio e coordinate de punto medio de segmento AB. 2 Possiamo adesso risovere acuni probemi ne piano cartesiano utiizzando e funzioni che abbiamo imparato. Consideriamo per esempio i punti A 2, 1, B 4, 1, C 6, 5 e troviamo e coordinate de punto D che, insieme ad essi, forma un paraeogramma. Poiche non abbiamo indicazioni su quai sono i ati de paraogramma, ci sono diverse possibiitaá (figura 1 di pagina seguente). I caso: paraeogramma ABCD Cacoiamo i punto M medio di AC : Derive restituisce 2, 2Š PUNTO MEDIO 2, 1, 6, 5 ˆ Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 1

2 Impostiamo e due equazioni che permettono di trovare D come secondo estremo de segmento BD di cui M eá i punto medio: 2 ˆ x 4 =2 e 2 ˆ y 1 =2 Risovendo e due equazioni Derive restituisce: x ˆ 0 e y ˆ 3. Quindi i punto D ha coordinate 0, 3. Procedi adesso in modo anaogo per trovare i punto D negi atri due casi; troverai che D 4, 5 e D 12, 7. Figura 1 I caso: paraeogramma ABCD II caso: paraeogramma ACBD III caso: paraeogramma ACDB 1.2 La retta Come costruire i grafico di una funzione Ricordiamo a procedura: n si scrive 'equazione dea funzione, ne nostro caso 'equazione dea retta di cui vogiamo rappresentare i grafico, con i comando Crea/Espressione n da menu Finestra, si scegie Nuova finestra Grafici 2D : si apre in questo modo una finestra grafica con i riferimento cartesiano n si usa i comando Traccia o si cicca su'icona corrispondente ( ) Ricordiamo che Derive traccia i grafico dea funzione a cui equazione eá evidenziata nea finestra di Agebra; accertati dunque, prima di aprire a finestra grafica, che sia evidenziata a riga appropriata. In ogni caso, puoi passare da una finestra a'atra scegiendo quea desiderata da menu Finestra, oppure puoi affiancare e due finestre con i comando Finestra/Affianca verticamente (oppure Affianca orizzontamente) e poi passare da'una a'atra con un cic de mouse. Prova a tracciare i grafico dea retta y ˆ 1 x 1 seguendo questa procedura. 2 Quache osservazione sui grafici di Derive. n Un grafico puoá essere ingrandito con i tasto funzione F9 (oppure ciccando su'icona tasto funzione F10 (o ciccando su'icona ). ) o ridotto con i n Si possono disegnare piuá grafici nea stessa finestra; Derive disegna ogni grafico con un coore diverso. Dopo aver disegnato i primo, si passa aa finestra di Agebra, si evidenzia 'equazione dea seconda funzione, si torna nea stessa finestra grafica, si daá i comando Traccia. n Un grafico puoá essere canceato con 'icona (Cancea utimo grafico); se a finestra contiene piuá grafici, 2 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 queo che viene canceato con questo comando eá sempre 'utimo disegnato. Si possono anche canceare contemporaneamente tutti i grafici dea finestra con i comando Modifica/Cancea tutti i grafici oppure si possono seezionare da menu Modifica/Cancea grafico e opzioni desiderate. n In genere, 'unitaá di misura su'asse dee ascisse non eá a stessa usata per 'asse dee ordinate; questo appare piuá o meno evidente a seconda che a finestra grafica occupi 'intero schermo o sia stata affiancata verticamente oppure orizzontamente a quea di Agebra. In questo caso i grafico tracciato puoá apparire diverso da come ce o aspettiamo: per esempio, un cerchio appare schiacciato, e bisettrici dei quadranti non sembrano essere tai; prova a disegnare e rette y ˆ x e y ˆ x per rendertene conto. Per fare in modo che i sistema diventi monometrico conviene usare i comando Imposta/Rapporto di aspetto e ciccare su pusante Resetta in modo da rendere uguai e dimensioni reative sui due assi. n I coore con cui viene disegnato un grafico segue una sequenza precisa impostata per defaut; eá peroá possibie scegiere un coore con i comando Opzioni/Visuaizzazione/Coore de grafico. Lo stesso dicasi per i coore deo sfondo. n Quando in una finestra sono disegnati due grafici, si possono determinare, anche se in modo approssimato, e coordinate dei oro punti di intersezione che rientrano nea finestra. Prova a disegnare e due rette di equazioni x 2y 1 ˆ 0 e 2x y 3 ˆ 0 e poi procedi cosõá: se non eá presente, attiva a croce che determina a posizione de cursore nea finestra (Opzioni/Visuaizzazione/Croce e cicca su sõá) nea barra che si trova in fondo ao schermo, trovi e coordinate de punto in cui si trova a croce sposta a croce ne punto di intersezione dee due rette, ciccando con i mouse su tae punto aggiusta a posizione con i tasti freccia. Nea barra dee coordinate trovi che i punto di intersezione eá i punto 1, 1 ; puoi verificare a correttezza de risutato risovendo i sistema dee equazioni dee due rette. Spesso eá peroá difficie posizionare a croce esattamente ne punto di intersezione di due curve; si puoá aora migiorare a situazione con i comando Opzioni/ModaitaÁ traccia (icona o tasto funzione F3); con questo comando a croce mobie si trasforma in un quadratino vuoto i cui centro eá posizionato direttamente su'utima curva disegnata. Per spostare i quadratino ungo i grafico basta usare i tasti freccia a destra o freccia a sinistra oppure fare un cic de mouse ne punto desiderato. Con i tasti Freccia su e Freccia giuá si puoá poi passare da un grafico ad un atro quando nea finestra ve ne sono disegnati piuá di uno. n Un atro comando utie eá Opzioni/Spostamento automatico con a croce che consente di far scorrere a finestra grafica per seguire a croce quando questa, nei suoi spostamenti, esce daa finestra inquadrata neo schermo. Per esempio, per vedere i punto di intersezione dea retta y ˆ 3x 10 con 'asse y si deve far scorrere verso i basso a finestra grafica muovendo verso 'ato a croce mobie (usa i tasti Pag" e Pag# per muoverti piuá rapidamente). Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 3

4 Come cacoare i punto di intersezione di due rette Abbiamo giaá visto in uno dei capitoi precedenti come risovere un sistema di equazioni. Per determinare i punto di intersezione di due rette basta aora risovere i sistema dee oro equazioni. Per esempio, date e rette di equazioni x 3y ˆ 2 e 5x y ˆ 1 imposta a risouzione de sistema (comando Risovi/Sistema) e troverai i punto P 5 16, Se e due rette sono paraee, Derive restituisce una parentesi quadra vuota, ad indicare che i sistema eá impossibie; se e due rette sono coincidenti, Derive restituisce una dee due equazioni ad indicare un sistema indeterminato. 2. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA CON GEOGEBRA Geogebra eá un software di matematica dinamica scaricabie gratuitamente da sito puoi trovare e informazioni di base reative a questo software ne voume di geometria. 2.1 I sistema di riferimento cartesiano Definire gi oggetti daa Barra di Inserimento La definizione di un punto ne piano cartesiano ha a seguente sintassi: etichetta ˆ (<Ascissa>, <Ordinata>) L'etichetta rappresenta i nome de punto e deve essere una ettera maiuscoa de'afabeto (sono comunque accettati nomi piuá unghi con i primo carattere in maiuscoo); eventuamente si possono usare indici numerici separati daa ettera da un tratto di sottoineatura. Se 'etichetta non viene assegnata e si scrivono soo e coordinate de punto, ne viene attribuita una in ordine afabetico. Per i numeri decimai si usa a notazione angosassone con i punto decimae a posto dea virgoa. Per esempio: A ˆ 4, 2 B 1 ˆ 5:4, 0:3 La definizione di un segmento viene data tramite i suoi punti estremi con i comando: Segmento [<Punto1>, <Punto2>] dove <Punto1> e <Punto2> sono e etichette dei due estremi de segmento; si possono anche inserire direttamente e coordinate se i punti non sono ancora stati definiti. Per esempio: i comando per definire i segmento avente per estremi i punti A e B precedenti eá Segmento A, BŠ i comando per definire i segmento avente per estremi i punti di coordinate 2, 3 e 1, 4 eá Segmento 2, 3, 1, 4 Š In questo secondo caso non vengono peroá segnati i punti estremi. Durante a digitazione di un comando, GeoGebra suggerisce come competamento queo de'eenco dei comandi che inizia con e prime due ettere digitate; si puoá accettare i suggerimento competando soo a parte che riguarda i parametri, oppure continuare a digitazione. L'eenco competo dei comandi puoá essere visuaizzato nea casea a discesa Comando che si trova sua destra dea Barra di Inserimento; per seezionarne uno basta ciccare su di esso e inserire i parametri necessari. Con i tasto funzione F1 appicato a un comando eá poi possibie accedere a una sintetica guida in inea che suggerisce quai sono i parametri da inserire e con quae modaitaá. 4 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 Per esempio, a guida reativa a comando Angoo[ ] eá quea a ato: Si possono quindi definire: gi angoi di un oggetto grafico, per esempio di un triangoo 'angoo fra due vettori 'angoo fra due rette 'angoo definito da tre punti dei quai queo centrae eá i vertice 'angoo definito da un punto che appartiene a primo ato, da vertice e che ha ampiezza uguae a quea di un atro angoo. Infine, usando i tasti freccia su e freccia giuá eá possibie rivedere tutti i comandi inseriti a partire da'utimo. Esercitazione 1. Definizione di punti, segmenti, angoi e poigoni Attraverso a Barra di Inserimento vogiamo definire: 1 i punti A 2, 1, B 3, 0, C 1, 2 e D 0, 4 ; 2 i segmento AB; 3 'angoo CAB; d 4 i poigono ACBD. 1 Digitiamo ne'ordine premendo ogni vota INVIO: A ˆ 2, 1 B ˆ 3, 0 C ˆ 1, 2 D ˆ 0, 4 Per modificare e coordinate quaora si fosse commesso un errore di digitazione o si voessero cambiare i punti, basta un doppio cic su punto (sia daa finestra di Agebra che da quea Grafica). Nea finestra di Agebra questi punti sono cassificati come oggetti iberi. Ricordiamo che un oggetto eá ibero quando a sua definizione eá indipendente da quea di atri oggetti giaá esistenti, eá dipendente quando per definiro si devono usare oggetti esistenti. 2 I comando eá Segmento A, BŠ A segmento, che eá un oggetto dipendente in quanto definito tramite i punti A e B, viene attribuita 'etichetta a e, nea finestra di Agebra, ad a viene associata per defaut a sua unghezza. 3 I comando eá Angoo C, A, BŠ A'angoo, che eá anch'esso un oggetto dipendente, viene attribuita 'etichetta e, nea finestra di Agebra, ad viene associata a sua ampiezza. 4 Da'eenco dei comandi seezioniamo Poigono e apriamo a guida; un poigono si puoá definire: mediante i suoi vertici mediante due punti e i numero di vertici se si tratta di un poigono regoare; in questo caso i segmento definito dai primi due punti rappresenta i ato de poigono. Ne nostro caso digitiamo: Poigono A, C, B, DŠ Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 5

6 Nea finestra di Agebra, fra gi oggetti dipendenti, a poigono viene attribuita 'etichetta poi1 aa quae viene associato i numero che ne rappresenta 'area, a ciascuno dei suoi ati viene attribuito un nome, a1, b, c, d, a quae viene associata a unghezza de segmento. In sostanza: ad ogni segmento viene associata a sua unghezza ad ogni angoo a sua ampiezza ad ogni poigono a sua area. Queo che si ottiene eá visibie nea figura che segue. Aprendo i menu contestuae (cicca con i tasto destro de mouse su poigono) e scegiendo a voce ProprietaÁ possiamo modificare e caratteristiche grafiche de poigono, per esempio cambiare i coore attraverso a scheda Coore, aumentare o diminuire o spessore dea inea che costituisce i contorno de poigono e intensificare i coore attraverso a scheda Stie. Nea scheda Fondamentai si puoá modificare a struttura stessa de poigono ridefinendoo in atro modo (per esempio cambiando i suoi vertici), mostrare o nascondere a sua immagine o a sua etichetta, fissaro ne piano in modo che sia impossibie spostaro. 2.2 L'equazione di una retta e e sue caratteristiche Ne programma GeoGebra 'equazione di una retta puoá essere visuaizzata nea Vista Agebra sia in forma espicita che in forma impicita; in questo secondo caso, peroá, essa viene data nea forma: ax by ˆ c Per inserire 'equazione di una retta basta digitara nea Barra di Inserimento in forma quasiasi; se si vuoe attribuire un'etichetta si deve usare i simboo " : ". 6 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 Per esempio: r : y ˆ 2 x 1 I simboo per a motipicazione eá 'asterisco; nea scrittura di un'equazione 'asterisco si puoá omettere. L'equazione dea retta compare nea Vista Agebra fra gi oggetti indipendenti, mentre nea Vista Grafica ne viene disegnato i grafico; 'etichetta attribuita eá r. Ciccando con i tasto destro de mouse su'equazione dea retta si puoá modificarne a forma riscrivendoa in quea impicita oppure espicita a seconda dei casi (in questa sede non consideriamo a forma parametrica). Non eá necessario definire e rette degi assi cartesiani; essi vengono identificati in quaunque comando con i nomi assex e assey I coefficiente angoare di una retta viene cacoato mediante i comando Pendenza [<retta>] Ad esso puoá essere attribuita un'etichetta con anaoga sintassi (si puoá usare indifferentemente i simboo «=» oppure «:». Ne nostro caso, digitando m ˆ Pendenza rš nea finestra di Agebra viene creata a variabie m che assume i vaore 2 de coefficiente angoare dea retta r che abbiamo appena costruito; in quea Grafica viene disegnato i triangoo che rappresenta a pendenza dea retta. I parametro m eá, infatti, i rapporto tra a differenza dee ordinate e a differenza dee ascisse di due punti dea retta. I triangoo disegnato nea Vista Grafica considera due punti dea retta, i primo di ascissa 0 e i secondo di ascissa 1, e vauta i corrispondente incremento dee ordinate. L'equazione di una retta che passa per due punti si puoá definire con i comando Retta [<Punto1>, <Punto2>] che puoá essere preceduto da'etichetta seguita da simboo " : ". Nea Vista Agebra viene scritta 'equazione e nea Vista Grafica viene costruito i grafico. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 7

8 Esercitazione 2. Un probema sui triangoi Disegnato i triangoo di vertici A 4, 0, B 1, 4, C 3, 2, troviamo: 1 e equazioni dei suoi ati; 2 e equazioni dee sue atezze e verifichiamo che passano per uno stesso punto (ortocentro); 3 i perimetro e 'area de triangoo avente per vertici 'ortocentro e i punti A e B. Per disegnare i triangoo inseriamo prima i tre punti e poi usiamo i comando Poigono. 1 Da'eenco dei comandi seezioniamo Retta e indichiamo come parametri i due punti per i quai a retta deve passare; digitiamo dunque: Retta A, BŠ Retta A, CŠ Retta B, CŠ Ae tre rette vengono attribuite e etichette d, e, f: 2 Da ciascuno dei vertici dobbiamo tracciare e perpendicoari ai ati opposti; apriamo 'eenco dei comandi e scorriamoo per trovare queo che ci interessa. Troviamo i comando Perpendicoare e, aprendo a finestra di aiuto con i tasto F1, vediamo che i parametri di questo comando sono, ne'ordine, i punto e a retta; vogiamo contemporaneamente attribuire e etichette h1, h2, h3 ae tre rette. I comandi sono i seguenti (i primo eá dato per intero, competa gi atri due): h 1 ˆ Perpendicoare A, fš h 2 ˆ Perpendicoare :::::, :::::Š h 3 ˆ Perpendicoare :::::, :::::Š Cooriamo in rosso e rette per evidenziare megio (usa a voce ProprietaÁ de Menu contestuae) e distinguere da quee dei ati de triangoo (anche nea Vista Agebra e equazioni dee rette sono in rosso). Per trovare e coordinate de'ortocentro, che chiameremo O, intersechiamo e rette h1 e h2 (comando Intersezione) e verifichiamo che i punto ottenuto appartiene anche a h3 (comando Reazione : O ˆ Intersezione h 1, h 2 Reazione O, h 3Š Nea finestra di Agebra, de punto O vengono date anche e coordinate. A'esecuzione de'utimo comando si apre una finestra che dichiara che i punto O giace sua retta h3. 3 I perimetro e 'area di un triangoo si cacoano con i corrispondenti comandi. Visto che i triangoo OAB non eá stato definito come poigono, i parametro de comando Perimetro dovraá essere a definizione de poigono; i parametri de comando Area sono i vertici de poigono: p ˆ Perimetro Poigono O, A, BŠŠ s ˆ Area O, A, BŠ Osserviamo che nea Vista Agebra si sono accumuati diversi oggetti. Quando una costruzione geometrica comporta 'utiizzo e a definizione di moti oggetti grafici, a Vista Agebra risuta affoata e non eá facie individuarne uno particoare. 8 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

9 E' possibie radunare gi oggetti che sono serviti a una costruzione, ma che non sono gi oggetti principai, in una cartea degi Oggetti ausiiari. Per aprire questa cartea si passa attraverso i comando Visuaizza/Oggetti ausiiari; o spostamento avviene mettendo un segno di spunta sua corrispondente voce de Menu contestuae reativo a que'oggetto. Spostiamo aora fra gi Oggetti ausiiari i tre ati a, b, c de triangoo. 2.3 L'utiizzo degi sider Uno sider eá un numero, oppure un angoo, i cui vaore puoá variare in un fissato intervao a, bš assumendo vaori che, a partire da a, vengono incrementati di un passo costante fino a b. Per esempio, se si fissa come intervao 1, 4Š e i passo di incremento eá 0,5, i vaori che o sider assume sono 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 Uno sider viene usato quando si vuoe far dipendere una costruzione da un parametro variabie. L'attivazione di questo strumento puoá avvenire con due procedure diverse. Prima procedura Daa barra degi Strumenti di disegno (a riga con e icone) si usa i comando 10-Sider che fa aprire una finestra di diaogo come quea in figura. In essa si deve: specificare se i parametro variabie eá un numero oppure un angoo dare un nome a parametro competare a scheda Intervao indicando i vaore minimo e i vaore massimo de'intervao e i passo di incremento. L'aspetto grafico di uno sider eá un segmento con un punto mobie in evidenza. Seconda procedura Attraverso a Barra di Inserimento si dichiara una variabie con un vaore iniziae, per esempio: k ˆ 1 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 9

10 Nea Vista Agebra questa variabie eá contraddistinta da un cerchietto di coore bianco. Si devono adesso affrontare i seguenti passi: ciccare sua dichiarazione di k con i tasto destro de mouse spuntare a voce Mostra oggetto oppure: ciccare su cerchietto bianco. In questo modo k diventa uno sider e i cerchietto cambia coore. Per fissare 'intervao di variabiitaá basta adesso ciccare con i tasto destro de mouse sua sua dichiarazione nea Vista Agebra oppure su segmento che o rappresenta nea Vista Grafica e impostare e caratteristiche daa pagina Sider dea scheda ProprietaÁ. L'aspetto grafico puoá essere modificato da orizzontae a verticae attraverso a voce Sider che si trova appena sotto quea Intervao. La voce Animazione, quandoeá attivata, consente di fissare e modaitaá di variazione automatica de parametro in modo che sia Osciante (da a a b eviceversa),crescente (sempre da a verso b), Decrescente (sempre da b verso a). Facendo scorrere, mediante trascinamento in avanti e indietro, i punto mobie, si ottengono e variazioni programmate de parametro. Esercitazione 3. La retta Studiamo i comportamento: 1 dea retta di equazione y ˆ mx a variare di m in R 2 dea retta di equazione y ˆ x q a variare di q in R. 1 Per vedere come si comporta a retta a variare de suo coefficiente angoare, distingueremo i caso in cui m eá positivo da queo in cui eá negativo. Definiamo aora una variabie m 1 mediante uno sider: attraverso a Barra di Inserimento, attribuiamo a m 1 un vaore iniziae quasiasi, per esempio 0: m 1 ˆ 0 cicchiamo sua dichiarazione di m 1 con i tasto destro de mouse e spuntiamo a voce Mostra oggetto oppure su cerchietto bianco. In questo modo m 1 diventa uno sider che viene rappresentato ne modo indicato nea finestra Grafica. Daa scheda dee ProprietaÁ, modifichiamo adesso i suo intervao di variazione fra 0 e 6 e impostiamo i passo a0:5. Nea Barra di Inserimento digitiamo y ˆ m 1 x Nea Vista Agebra aa retta viene attribuita 'etichetta a e a sua equazione eá y ˆ 0 (o sider m 1eÁ impostato a zero); nea Vista Grafica viene disegnato 'asse x. Modifichiamo i coore dea retta in modo da vedera megio (nea figura abbiamo sceto i rosso sia per a retta che per i corrispondente sider). Prima di muovere i punto mobie per vedere come si modifica a retta, sempre daa scheda dee ProprietaÁ (pagina Fondamentai) mettiamo: i segno di spunta su Mostra traccia apriamo i menu a discesa dea voce Mostra etichetta e scegiamo Nome e vaore. In questo modo, otre a rimanere a traccia dee rette via via disegnate, vedremo anche a oro equazione. Definiamo anche 'angoo che a retta forma con 'asse x con i comando Angoo assex, aš Nea Vista Agebra a'angoo viene attribuita 'etichetta (a trovi negi oggetti dipendenti). 10 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

11 Muovendo adesso i punto mobie deo sider verso destra, vediamo che a retta forma un angoo acuto con a direzione positiva de'asse x, a cui ampiezza aumenta ad ogni incremento di m 1 (a retta diventa piuá ripida). Con a stessa procedura costruiamo adesso un secondo sider che chiamiamo m 2 e che facciamo variare fra 6 e 0. Daa Barra di Inserimento digitiamo 'equazione y ˆ m 2 x mostriamo a traccia asciata da questa seconda retta, impostiamo a Nome e vaore a sua etichetta e modifichiamo i coore (nea figura abbiamo sceto i bu). L'etichetta attribuita aa retta eá b. Per definire 'angoo formato daa retta con 'asse x dobbiamo prima modificare i modo con cui a retta eá stata scritta nea finestra di Agebra (per a spiegazione vedi i paragrafo 2.4 successivo). Con un doppio cic su'equazione di b, ridefiniamo 'equazione dea retta in questa forma m 2 x y ˆ 0 Definiamo poi 'angoo con i comando Angoo assex, bš La retta forma ora un angoo ottuso (indicato con negi oggetti dipendenti) con a direzione positiva de'asse x a cui ampiezza diminuisce a decrescere di m 2 (a retta di coefficiente angoare 3 eá piuá ripida e forma un angoo minore dea retta di coefficiente angoare 2). I comportamento di questa retta eá simmetrico rispetto a'asse y di quea corrispondente con coefficiente angoare positivo. Dunque, 'angoo formato da una retta con 'asse x eá : acuto quando m > 0; ottuso quando m < 0. 2 Ripetiamo a stessa procedura per studiare i comportamento dea retta y ˆ x q, che ha un coefficiente angoare fisso e uguae a 1, a variare di q in R; questa vota useremo un soo sider per q fissando i suo campo di variazione fra 4 e 4 con passo uguae a 1. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 11

12 Scriviamo 'equazione dea retta indicandoa con 'etichetta r, mostriamo a traccia, facciamo in modo che venga visuaizzata 'equazione anche nea Vista Grafica. Muovendo i punto mobie prima verso destra e poi verso sinistra notiamo che a retta: interseca i semiasse positivo dee y quando q > 0 (rette in coore verde), queo negativo quando q < 0 (rette in coore giao), passa per 'origine quando q ˆ 0 (retta in coore rosso). 2.4L'angoo tra due rette Sappiamo che 'angoo tra due rette a e b si cacoa con i comando: Angoo[a,b] che abbiamo giaá usato ne'esercitazione 3 per determinare 'angoo tra 'asse x oppure 'asse y e una retta r. Ma, visto che due rette che si intersecano definiscono un certo numero di angoi, che possono essere acuti oppure ottusi, concavi oppure convessi, ci chiediamo quae sia 'angoo che viene individuato da questo comando. Proviamo a definire 'angoo formato dae rette di equazioni: y ˆ x e y ˆ 2x Viene disegnato 'angoo acuto che appartiene a primo quadrante. Eiminiamo e due rette precedenti e definiamo 'angoo formato dae rette: y ˆ 3x e y ˆ 2x Viene disegnato 'angoo concavo; togiendo i segno di spunta aa voce Consenti angoo concavo dea finestra ProprietaÁ, si ottiene 'angoo ottuso formato dae due rette, ma non si riesce ad ottenere in acun modo queo acuto. Questo percheâ quando come parametri de comando Angoo si indicano due rette a e b, in reataá viene cacoato 'angoo tra i vettori direzione dee due rette. Una retta di equazione ax by ˆ c ha come vettore direzione i vettore b, a. Se trasformiamo e equazioni dee rette precedenti nea oro forma impicita otteniamo: ne primo caso x y ˆ 0 e 2x y ˆ 0 con vettori direzione 1, 1 e 1, 2 ne secondo caso 3x y ˆ 0 e 2x y ˆ 0 con vettori direzione 1, 3 e 1, 2 12 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

13 Possiamo visuaizzare i vettori direzione nea vista Grafica con i comandi: Direzione[a] e Direzione[b] Per individuare un angoo particoare tra i quattro determinati da'intersezione di due rette, dobbiamo modificare 'equazione dea retta in modo che i vettori che ne definiscono a direzione siano quei appropriati. Per esempio, riferendoci a secondo caso: per definire 'angoo acuto in ato, 'equazione dea retta a va bene, bisogna modificare quea dea retta b in questo modo: 2x y ˆ 0 per definire 'angoo ottuso di sinistra, entrambe e equazioni devono essere riscritte nea forma: 3x y ˆ 0 e 2x y ˆ 0 e si deve anche non consentire 'angoo concavo. 2.5 Probemi sua retta con GeoGebra Moti dei probemi di geometria anaitica possono essere risoti usando gi appropriati comandi e strumenti di GeoGebra. Nee esercitazioni che seguono ne proponiamo acuni; dea risouzione diamo soo e indicazioni per i passaggi principai; ricorda che a guida in inea puoá offrire un vaido aiuto per risovere e incertezze. Esercitazione 4. Vogiamo trovare: 1 'equazione dea retta r che passa per i punti A 1; 2 e B 4; 6 e 'ampiezza de'angoo che essa forma con 'asse dee ascisse; 2 'equazione dea retta s perpendicoare a r passante per B; 3 i punto C di s che ha ascissa 8. Definiamo poi i triangoo di vertici A, B, C, determiniamo 'ampiezza dei suoi angoi e individuiamo i tipo di triangoo. 1 I passi da affrontare sono i seguenti: definire dapprima i due punti A e B Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 13

14 trovare 'equazione dea retta AB definire 'angoo tra 'asse x e a retta. 2 Per tracciare a retta s usiamo i comando Perpendicoare indicando come parametri i punto B e a retta r. 3 Per determinare e coordinate de punto C, di cui eá nota soo 'ascissa, a cosa piuá sempice eá considerare a retta t di equazione x ˆ 8 e intersecara con a retta s usando i comando Intersezione. Si trova in questo modo che i punto C ha coordinate (8, 1). Conviene adesso nascondere a retta t che ci eá servita per a determinazione de punto C e spostara fra gi oggetti ausiiari. Osserviamo che, ogni vota che si nasconde un oggetto grafico, i cerchietto che si trova sua sinistra dea definizione de'oggetto nea Vista Agebra diventa bianco. Un oggetto individuato da un cerchio bianco non eá visibie nea Vista Grafica. Per nascondere o mostrare un oggetto, otre che servirsi de Menu contestuae, basta quindi cambiare i coore de cerchietto sempicemente ciccando su di esso. Per competare e richieste dobbiamo adesso disegnare i triangoo ABC con i comando Poigono. Spostiamo poi i ati a, b, c de triangoo nea cartea degi Oggetti ausiiari. Per definire i suoi angoi possiamo: usare i comando Angoo[<Punto>, <Vertice>, <Punto>] facendo assumere ai parametri ogni vota e ettere de'angoo da evidenziare; usare i comando Angoo[<Oggetto>] mettendo come parametro i triangoo. In questo secondo caso, se e ettere che definiscono i poigono sono state inserite in senso antiorario, vengono definiti gi angoi interni, in caso contrario quei esterni. Dae misure ottenute si deduce immediatamente che si tratta di un triangoo rettangoo (e questo era prevedibie visto che a retta s eá stata tracciata in modo perpendicoare a r) e isoscee. Lo possiamo verificare anche usando i comando Reazione a, cš che conferma 'uguagianza dei due ati. 14 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

15 Esercitazione 5. Sia r a retta paraea aa bisettrice de primo e terzo quadrante che passa per i punto P 2, 1 e siano A e B e sue intersezioni con gi assi cartesiani. Vogiamo trovare e coordinate de punto C che, insieme con A e B, forma un triangoo isoscee di base AB che abbia area uguae a Costruiamo dapprima a retta a bisettrice de primo e terzo quadrante che ha equazione y ˆ x e definiamo i punto P. Per definire a retta r passante per P e paraea ad a usiamo i comando Retta e indichiamo come parametri P e a (usa i tasto di aiuto F1). Nascondiamo poi a retta a e trasferiamoa nea cartea degi Oggetti ausiiari. Definiamo adesso A e B con i comandi: Intersezione assex, rš Intersezione assey, rš I punto C, terzo vertice de triangoo, si trova su'asse s de segmento AB che possiamo definire in due modi: trovando i punto medio M de segmento AB e poi da esso a perpendicoare a r; direttamente con i comando AsseSegmento e indicando come parametri i punti A e B. In ogni caso, per a costruzione che dovremo fare in seguito, eá necessario trovare i punto M. Per trovare C possiamo procedere in questo modo: determiniamo a misura de segmento AB: ˆ Distanza A, BŠ troviamo a misura h de'atezza (due vote 'area diviso a base) digitando 'espressione: h ˆ 2 27=2 = Osserviamo che dea parte numerica di questa espressione non rimane traccia nea finestra di Agebra e com- Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 15

16 pare soo i risutato. Tutte e espressioni numeriche vengono sempificate e non eá piuá possibie risaire a testo iniziae. tracciamo a circonferenza d di centro M e raggio h usando o strumento grafico 6-Circonferenza dati centro e raggio; determiniamo i punti di intersezione fra a circonferenza d e a retta s. I punti trovati sono due e vengono etichettati come C e D. Esistono quindi due triangoi che soddisfano ae richieste. Disegniamo adesso i due triangoi con i comando Poigono e spostiamo gi oggetti meno importanti nea cartea degi Oggetti ausiiari. ESERCIZI Risovi i seguenti esercizi con Derive. 1. Costruisci e funzioni che, date e coordinate x, y di un punto de piano, restituiscano quee de suo simmetrico rispetto agi assi e a'origine; appicae poi per trovare i simmetrici dei punti A 1 2, 1, p B p p 2, 3, C 4, Costruisci una funzione che, date e coordinate x, y di un punto de piano e e componenti v x e v y di un vettore, restituisca quee de punto trasato; appicaa poi per trovare i corrispondenti dei punti de'esercizio precedente nea trasazione di vettore ~v 2, Traccia i grafici dee rette y ˆ x 4ex 2y 1 ˆ 0 e trova graficamente e agebricamente i oro punto di intersezione. 4. Costruisci due funzioni che, ricevuti in ingresso i coefficienti a, b e c de'equazione di una retta ax by c ˆ 0, restituiscano i coefficiente angoare e 'ordinata a'origine. Appicaa poi ae seguenti rette: a. x 2y 7 ˆ 0 b. 3x 4y 1 ˆ 0 c. 1 2 x y 3 ˆ 0 d. 4 5 x 5 3 y 3 ˆ 0 5. Costruisci una funzione che, ricevuti in ingresso i coefficienti a, b e c de'equazione di una retta, restituisca i coefficiente angoare dea retta ad essa perpendicoare. 6. Costruisci una funzione che, ricevute in ingresso e coordinate di due punti, restituisca i coefficiente angoare dea retta che passa per essi. 7. Costruisci una funzione che, ricevute in ingresso e coordinate di due punti, restituisca 'equazione dea retta che passa per essi. 8. Costruisci una funzione che restituisca 'equazione di una retta, ricevute in ingresso e coordinate di un punto e i coefficiente angoare. 9. Costruisci una funzione che, ricevuti come dati di ingresso i coefficienti de'equazione di una retta nea sua forma impicita ax by c ˆ 0 e e coordinate di un punto, restituisca a distanza de punto daa retta. Usando anche tutte e funzioni costruite in queste esercitazioni con Derive, risovi i seguenti probemi. 10. Dati i punti A 0, 4, B 3, 1, C 4, 2, cacoa: a. i perimetro de triangoo ABC b. e coordinate dei punti medi dei ati c. a unghezza dee tre mediane d. a unghezza dee tre atezze. 16 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

17 11. De triangoo di vertici A 2, 3, B 1, 1, C 3, 0 determina: a. e equazioni dei ati b. e coordinate dei punti medi dei ati c. e equazioni dee rette che rappresentano e mediane d. e equazioni dee atezze. 12. Date e rette di equazioni x y 2 ˆ 0e3x y ˆ 0, trova e coordinate dei vertici de paraeogramma che ha due ati su di esse e un vertice ne punto di coordinate 4, Dato i triangoo di vertici A 3, 2, B 4, 3, C 1, 2 : a. trova e equazioni dee rette che rappresentano gi assi dei ati b. verifica che i tre assi si incontrano in uno stesso punto e trovane e coordinate c. verifica che i punto trovato eá equidistante dai vertici de triangoo. Risovi i seguenti esercizi con Geogebra. 14. Disegna i triangoo di vertici A 3, 3, B 3, 1, C 2, 2 e verifica che si tratta di un triangoo rettangoo. Cacoa poi e unghezze dei suoi ati e i perimetro. 15. Disegna i triangoo di vertici A 4, 2, B 0, 5, C 4, 1 e trova e coordinate dei punti medi dei suoi ati. Verifica che i perimetro de triangoo che si ottiene congiungendo i punti medi eá metaá de perimetro di ABC. 16. Disegna un quadriatero ABCD scegiendo e coordinate dei suoi vertici a tuo piacere. Verifica che i quadriatero che si ottiene congiungendo i punti medi dei suoi ati eá un paraeogramma. 17. I punti A 0, 2, B 2, 2, C 1, 5 sono tre dei vertici de paraeogramma ABCD. Senza usare i comandi reativi ae rette, trova e coordinate de quarto vertice. 18. Verifica che i quadriatero ABCD di vertici A 3, 2, B 3, 3, C 1, 6, D 1, 1 eá un rombo e cacoane i perimetro. 19. Trova e equazioni dee bisettrici degi angoi formati dae rette y ˆ x 1eyˆ 2x Trova e coordinate dei vertici de triangoo i cui ati appartengono ae rette di equazioni: 7x 5y 5 ˆ 0 5x 2y 2 ˆ 0 2x 7y 32 ˆ Scrivi 'equazione dea retta che passa per i punto di intersezione dee rette di equazioni x 4y 5 ˆ 0e 2x 3y ˆ 0 e ha pendenza uguae a Cacoa a distanza de punto P 3, 2 daa retta di equazione y ˆ 1 2 x Trova a misura de'atezza reativa a ato AB de triangoo di vertici A 1, 1, B 5, 2, C 3, 5. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 17

18 Matematica e storia La geometria anaitica A quaunque studente appare de tutto naturae avorare appicando 'agebra aa geometria; i metodo dee coordinate viene introdotto fin daa scuoa di base per rappresentare grafici di vario genere e noi in quest'area abbiamo imparato a risovere probemi di natura geometrica su segmenti, triangoi, paraeogrammi e atro ancora utiizzando 'agebra. Ma tutta a conoscenza umana che oggi appare scontata eá stata spesso frutto di piccoe conquiste e quache vota di grandi rivouzioni; 'introduzione de metodo dee coordinate eá stata indubbiamente una rivouzione de pensiero che ha portato a sviuppi successivi di grande portata. La geometria anaitica, cosõá viene detta quea parte dea matematica che utiizza i metodo dee coordinate per rappresentare reazioni fra due variabii, nacque in Francia attorno aa prima metaá de seicento ad opera di due grandi matematici, Rene Descartes ( ), piuá noto in Itaia con i nome di Cartesio, e Pierre de Fermat ( ). Rene Descartes Pierre de Fermat In que periodo non esistevano organizzazioni ufficiai che coordinassero e diffondessero gi studi dei matematici; in Inghiterra, Francia e Itaia, tuttavia, erano sorti con questo scopo dei gruppi scientifici spontanei, fra cui 'Accademia dei Lincei (a cui apparteneva anche Gaieo) e 'Accademia de Cimento in Itaia, i Cabinet Du Puy in Francia e 'Invisibe Coege in Inghiterra. Fu peroá anche grazie a'opera di un importante personaggio, un frate francese di nome Marin Mersenne ( ), che e idee e gi studi dei matematici de'epoca si poterono diffondere. Questo personaggio era infatti amico di moti matematici, fra cui anche Cartesio e Fermat e, quando veniva a conoscenza di quache nuova idea o scoperta in campo scientifico, subito con a sua fitta rete epistoare ne informava 'intera comunitaá accademica. In questo modo, a matematica si sviuppoá in questo periodo piuá per una sua ogica interna, che non per una reae necessitaá dettata da soecitazioni concrete egate a'evouzione dea societaá in campo economico e tecnoogico. In questo ambiente, ne 1637, come appendice aa sua opera piuá importante, Discorso su metodo per ragionare bene e cercare a veritaá nee scienze, Cartesio pubbicoá a Geometrie con a quae fece conoscere ai contemporanei i principi di un metodo che soo un secoo piuá tardi verraá chiamato geometria anaitica. Originariamente i metodo di Cartesio era moto diverso da come o intendiamo noi oggi. Egi non avorava con coordinate ortogonai, ma con coordinate obique; non usava quindi formue per a distanza o per trovare un punto di suddivisione di un segmento; non tracciava curve a partire dae oro equazioni, tant'eá vero che non capõá mai pienamente i significato dee coordinate negative: sapeva che esistevano, ma avorava soo con ascisse e ordinate positive. Inotre egi si serviva de metodo da ui stesso inventato sostanziamente per risovere equazioni in una variabie da punto di vista geometrico. Per risovere un'equazione di secondo grado nea forma x 2 ˆ ax b 2 egi considerava un segmento AB di unghezza b, e costruiva i cerchio ad esso tangente in A edi raggio a ; tracciata a retta BO per i centro di tae 2 cerchio, i segmento PB rappresentava a souzione 18 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

19 cercata (se appichi i teorema dee secanti scoprirai che PB eá proprio una dee souzioni di questa equazione). Quindi ancora un metodo geometrico. La novitaá de avoro di Cartesio consisteva ne fatto che egi passava indifferentemente da'agebra aa geometria e viceversa a seconda dea convenienza. Lo scopo de suo metodo era quindi dupice: da una parte iberare a geometria da ricorso a figure, riducendo e reazioni fra i oro eementi ad equazioni agebriche, da'atra dare un significato geometrico ae operazioni de'agebra. Le idee scientifiche di Cartesio, che otre che di matematica si occupava anche di fiosofia e di fisica, diventarono popoari anche fra i non scienziati percheâ erano presentate in modo chiaro e accattivante. Furono peroá avversate daa Chiesa percheâ nei suoi scritti egi sosteneva che a Bibbia non doveva essere considerata a fonte dea conoscenza scientifica, che 'uomo dovrebbe accettare soo cioá che eá in grado di capire e che a ragione da soa bastava per dimostrare 'esistenza di Dio; e opere di Cartesio vennero quindi dichiarate ibri proibiti come quee di Gaieo. Se senza acun dubbio 'opera di Cartesio fu davvero una rivouzione, i suo imite fu peroá queo di non avere mai preso in seria considerazione, se non di sfuggita, e equazioni in due variabii che danno origine a uoghi geometrici. Chi invece intuõá 'importanza dee equazioni in due variabii fu Pierre de Fermat, avvocato di Toosa che aveva grande interesse per e scienze e si diettava di matematica. Ameno un anno prima dea pubbicazione dea Geometrie di Cartesio, Fermat scoprõá che un'equazione in due variabii eá costituita da un insieme di punti che descrivono una inea. I due studiosi si anciarono in una controversia sua paternitaá dea scoperta de metodo dee coordinate percheâ, s e eá vero che i avori di Fermat furono pubbicati soo ne 1679, eá anche vero che e sue idee sua geometria dee coordinate sono de 1629, mentre a pubbicazione dea Geometrie di Cartesio eá de I matematici de tempo si schierarono chi per 'uno chi per 'atro e fu soo parecchio tempo dopo che i rapporti fra i due studiosi si addocirono un poco. In una sua opera de 1660 Fermat, discutendo di un errore trovato nea Geometrie, dice chiaramente di ammirare i genio di Cartesio anche quando commette errori. Cartesio non fu atrettanto gentie con Fermat. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 19

20 1 Quanto vae i raggio de cerchio inscritto ne triangoo ABC in figura, se 'unitaá di misura di unghezza u eá pari a ato di un quadratino? p a. 2 u p b. 3 u c. 2u p d. 5 u p e. 6 u d: Š 2 Giovanni ha bevuto troppo e comincia a camminare in modo strano: ± fa 1 passo in avanti; ± poi si vota di 90 verso destra e fa 2 passi in avanti; ± poi si vota di 90 verso destra e fa 1 passo in avanti; ± poi si vota di 90 verso sinistra e fa 1 passo a'indietro; ± dopo di che ricomincia da capo. Ogni passo eá 1 metro. Dopo 186 passi cade a terra svenuto. A quanti metri da dove era partito finisce a passeggiata di Giovanni? a. 0 b. 1 c. 2 d. p 5 e. 4 c: Š 3 Un triangoo ha due vertici nei punti di coordinate 4, 1 e 2, 1 e i terzo vertice ne punto di coordinate 1, k. Per quanti vaori reai di k tae triangoo risuta isoscee? a. nessuno b. 1 c. 4 d. 5 e. infiniti d: Š 4 In un fogio a quadretti in cui i ato di un quadretto eá 2cm sono disegnati due cerchi come nea figura a fianco. La misura dea minima distanza tra i due cerchi eá: p p a. 10 cm b. 3cm c cm d. p p 10 2 cm e cm 5 I cinque ragazzi nominati in figura hanno fatto una corsa di aenamento. Su'asse dee ascisse figura i tempo impiegato, su queo dee ordinate a distanza percorsa e a posizione dei singoi punti indica a prestazione de ragazzo corrispondente. Chi ha corso aa veocitaá maggiore? a. Aice b. Beatrice c. Caro d. Daniee e. Ernesto [d.] [e.] 6 Un canguro eá seduto ne'origine di un sistema di due assi cartesiani ortogonai. Esso puoá compiere sati soo di unghezza 1 e soo in orizzontae e verticae. Quanti sono i diversi punti de piano in cui i canguro puoá venirsi a trovare dopo esattamente 10 sati? a. 121 b. 100 c. 400 d. 441 e. un numero diverso dai precedenti [a.] 20 Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

21 La matematica in paestra Questa proposta si ispira direttamente ad uno degi esercizi presentati ne progetto P.I.S.A. Ad un corso di aggiornamento per un gruppo di persona trainer i reatore sottopone ai partecipanti una serie di articoi tratti da riviste speciizzate che si possono riassumere brevemente cosõá. Quando si svoge un'attivitaá sportiva, a frequenza de battito cardiaco aumenta; per questioni di saute tae frequenza non dovrebbe superare una certa sogia che dipende da'etaá dea persona secondo questa egge: frequenza cardiaca massima consigiata 220 etaá dea persona Recenti studi hanno successivamente mostrato che questa reazione dovrebbe essere modificata nea seguente: frequenza cardiaca massima consigiata 208 (0,7 etaá dea persona) Una conseguenza de'uso dea nuova formua eá che i numero massimo consigiato di battiti cardiaci a minuto diminuisce eggermente per i giovani e aumenta eggermente per gi anziani. Acune ricerche hanno poi riveato che 'esercizio fisico ha a massima efficacia quando i battiti sono a'80% dea frequenza massima cardiaca consigiata. Daa discussione che ne segue emergono acune domande ae quai si deve cercare di dare una risposta. Come risponderesti ai quesiti che si sono posti i partecipanti? 1 Indicando con x 'etaá di una persona e con y a frequenza cardiaca massima consigiata, come si possono scrivere e due eggi riportate negi articoi? Riconoscine i tipo e rappresentae entrambe in un piano cartesiano. 2 Per quae etaá e due formue si equivagono e qua eá a corrispondente frequenza cardiaca consigiata? 3 Tenendo presente i grafico ottenuto, come si giustifica 'affermazione i numero massimo consigiato di battiti cardiaci a minuto diminuisce eggermente per i giovani e aumenta eggermente per gi anziani? 4 Quae formua fornisce a frequenza cardiaca f in funzione de'etaá x in modo che 'esercizio fisico abbia a massima efficacia? 5 Qua eá a frequenza cardiaca ottimae per un ragazzo di 15 anni? quae quea per un aduto di 30 e di 50 anni? 0,56x 4 f 166 x; y y , 149, 138 0,7x 2 40 anni; 180 battiti a minuto Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 1: IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 21