Parallelogrammi, trapezi e poligoni regolari

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1 CAPITOLO 5 Paraeogrammi, trapezi e poigoni regoari 1. I PARALLELOGRAMMI CON GEOGEBRA Esercitazione 1. Costruire un paraeogramma dati tre vertici consecutivi Per risovere questo probema usiamo a definizione di paraeogramma; i passi dea costruzione sono i seguenti: 1. si disegnano tre punti A, B, C ne piano eucideo 2. si costruisce a retta che passa per A e B 3. si costruisce a retta che passa per B e C 4. da A si traccia a paraea ad BC 5. da C si traccia a paraea ad AB 6. si trova i punto D di intersezione dee rette ai punti 4. e si disegna i poigono ABCD. Ma quanti paraeogrammi possiamo costruire con tre punti? Otre a queo trovato, che eá stato costruito a partire da vertice B, ne esistono atri due percheâ possiamo ripetere a stessa costruzione a partire da vertice A oppure da vertice C. Otteniamo cosõá i paraeogrammi ABCD, ABEC, ACBF. Dunque, a meno di fissare 'ordine con cui si devono susseguire e ettere: tre punti non aineati definiscono sempre tre paraeogrammi. Poiche eá di uso frequente a costruzione di un paraeogramma noti tre dei suoi vertici, conviene memorizzare a costruzione in uno strumento, come abbiamo fatto per i trasporto di un segmento. Ricordiamo a procedura: attiviamo i comando Strumenti/Crea nuovo strumento indichiamo come oggetti finai i quarto vertice e i paraeogramma (attenzione a'ordine dei punti) Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 5: PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI 1

2 indichiamo come oggetti iniziai i tre punti diamo nome paraeogramma tre vertici ao strumento e saviamo in un fie. Esercitazione 2. Dividere un segmento in n parti congruenti Dividere un segmento in 2 parti congruenti significa trovare i suo punto medio, dividere in 4 parti significa trovare i punto medio di ciascuno dei segmenti individuati, dividere in 8 parti significa trovare i punto medio di ciascuno dei segmenti ottenuti ne caso precedente; in sostanza se n eá una potenza di 2 i probema non presenta particoari difficotaá percheâ si appica piuá vote i concetto di punto medio. Dividere un segmento in un numero di parti che non eá una potenza de 2 comporta una procedura diversa che appica i teorema dea corrispondenza di Taete; questa procedura ha comunque carattere generae e si puoá appicare per un n quasiasi, quindi anche una potenza de 2. Per eseguira ci serviremo deo strumento di trasporto dei segmenti che deve quindi essere reso disponibie aprendo i fie corrispondente da menu Fie/Apri. Disegniamo dunque un segmento AB e supponiamo di voero dividere in 5 parti congruenti; i passi sono i seguenti: 1. disegniamo un segmento PQ (per questioni di visuaizzazione de'immagine non deve essere troppo ungo); 2. disegniamo una semiretta r avente origine in A; 3. trasportiamo i segmento PQ su r in modo che i primo estremo sia in A; 4. ripetiamo i trasporto atre quattro vote scegiendo come primo estremo ogni vota 'utimo punto disegnato; 5. da'utimo punto ottenuto su r tracciamo a retta s che passa per B; 6. da ciascuno dei punti estremi dei segmenti trasportati tracciamo a paraea aa retta s; 7. determiniamo i punti di intersezione con i segmento AB di ciascuna retta de fascio di paraee costruito; 8. usando o strumento 3-Segmento tra due punti tracciamo i segmenti in cui AB rimane suddiviso (eventuamente modifichiamo i coore di questi segmenti per renderi piuá visibii). EÁ adesso possibie verificare con o strumento 10-Reazione tra due oggetti che i cinque segmenti ottenuti sono congruenti. In questa costruzione i segmento AB e a semiretta r rappresentano e due trasversai de fascio di rette paraee; avendo disegnato segmenti congruenti su r, anche quei individuati su segmento AB o sono. 2. I PARALLELOGRAMMI CON CABRI Un paraeogramma puoá essere costruito se si conoscono acuni eementi; vediamo i casi principai e memorizziamo e costruzioni in una macro in modo da potere poi utiizzare. Esercitazione 1. Sono noti i centro di simmetria e due vertici consecutivi Disegna tre punti ne fogio di avoro e chiama A e B i due vertici, O i centro di simmetria che, come sappiamo, eá i punto di intersezione dee diagonai. Con o strumento Simmetria centrae trova adesso i simmetrici dei punti A e B rispetto ad O e, con o strumen- 2 Tema 5 - Cap. 5: PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 to Poigono de'icona Rette costruisci i poigono che ha per vertici i punti A e B ed i oro simmetrici (ricorda che devi chiudere i poigono ciccando aa fine su primo punto). Memorizza adesso a costruzione in una macro; ricordiamo a procedura: scegi Oggetti iniziai da'icona Macro e seeziona i tre punti A, B, O scegi Oggetti finai e seeziona i paraeogramma scegi Definizione dea macro e competa a finestra ricordando di inserire i messaggio di aiuto che descrive a macro nea casea di testo Messaggio di aiuto e di spuntare a casea Sava come fie (assegna aa macro i nome Paraeogramma centro e vertici). Dopo aver confermato con OK, dai i nome a fie e memorizzao nea ibreria. Esercitazione 2. Sono noti tre vertici Disegna tre punti ne fogio di avoro e chiamai A, B, C; per costruire i paraeogramma che i ha come vertici, devi prima trovare i quarto vertice D. Osserviamo subito che i probema ha piuá di una souzione percheâ esistono tre paraeogrammi che hanno vertici nei punti dati (osserva a figura 1); eá quindi necessario indicare quae sia 'ordine con cui devono essere presi i punti. Supponiamo che i paraeogramma che dobbiamo disegnare sia ABCD (gi atri due sono ACBD e BACD); a procedura da seguire eá sempice e si basa sua proprietaá dei paraeogrammi di avere i ati opposti paraei: traccia dapprima e semirette BA e BC traccia da A a paraea r aa semiretta BC traccia da C a paraea s aa semiretta AB trova i punto di intersezione dee due rette r e s e chiamao D disegna i poigono ABCD. Memorizza a costruzione in una macro (i tre punti sono gi Oggetti iniziai, i paraeogramma eá 'Oggetto finae, dai nome Paraeogramma tre vertici aa macro). Ricordati poi che, quando a usi per disegnare un paraeogramma, verranno uniti con dei segmenti i primo punto con i secondo e i secondo punto con i terzo. Prova dunque a costruire i tre paraeogrammi dea figura 1: per disegnare i paraeogramma ABCD indica ne'ordine i punti A, B, C per disegnare i paraeogramma ACBD indica ne'ordine i punti A, C, B per disegnare i paraeogramma BACD indica ne'ordine i punti B, A, C. Figura 1 ESERCIZI 1. Costruisci un paraeogramma ABCD, prendi un punto S su ato AB ed un punto T su ato CD in modo che AS CT; verifica che SBTD eá un paraeogramma. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 5: PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI 3

4 2. Disegna: a. un rettangoo note e unghezze dei suoi ati b. un rombo note e sue diagonai c. un quadrato nota a unghezza de suo ato. 3. Disegna un paraeogramma e traccia i segmento che unisce i punti medi di due ati opposti; verifica che tae segmento eá congruente agi atri due ati de paraeogramma. 4. Dopo aver disegnato un paraeogramma, trova i punto O di intersezione dee sue diagonai; verifica che ogni segmento che passa per O e che ha gi estremi sui ati de paraeogramma ha O come punto medio. 5. Due paraeogrammi hanno un ato in comune e si trovano in semipiani opposti rispetto a tae ato; verifica che anche i quadriatero che si ottiene congiungendo i vertici non comuni eá un paraeogramma. 6. Dopo aver disegnato un quadriatero quasiasi, trova i punti medi dei suoi ati e costruisci i quadriatero che i ha come vertici; verifica che tae quadriatero eá un paraeogramma. 7. Dopo aver costruito un rombo: a. verifica che e sue diagonai sono bisettrici degi angoi; b. traccia e bisettrici degi angoi formati dae diagonai e determina i oro punti di intersezione con i ati de rombo; c. verifica che tai punti sono i vertici di un quadrato. 8. Un segmento AB eá a base di un trapezio ABCD, rettangoo in A e D, de quae eá data 'ampiezza de'angoo di vertice B e a misura dea base minore CD. Trova una procedura per costruire tae trapezio. 9. Disegna: a. un trapezio quasiasi b. un trapezio isoscee e verifica che gi angoi adiacenti ae due basi sono congruenti c. un trapezio rettangoo. 10. Dati tre segmenti, disegna un trapezio isoscee in modo che due di essi siano e basi e i terzo ato sia i ato obiquo. 11. Disegna un triangoo ABC e prendi un punto P su ato AC; traccia a retta PM, dove M eá i punto medio de ato BC e indica con Q i punto di intersezione dea retta PM con a retta de ato AB. Stabiisci quando i punto Q esiste e quando non esiste motivando a tua risposta in base ae conoscenze acquisite in questo capitoo. 12. Disegna un paraeogramma ABCD di centro O e indica con M i punto medio de ato AB e con N i punto medio de ato CD; trova i punto D 0 simmetrico de vertice D rispetto a M e i punto A 0 simmetrico di A rispetto a N. Verifica che: a. i punti A 0, C, B, D 0 sono aineati b. i punti M, O, N sono aineati c. i quadriateri ADBD 0 e ACA 0 D sono paraeogrammi. 13. Costruisci un quadrato e trova una procedura per circoscrivere ad esso un atro quadrato che abbia un ato paraeo aa diagonae de primo. 14. Disegna un rombo ABCD edaiverticib e D traccia e rette paraee aa diagonae AC. Sua paraea per B prendi due punti P e Q simmetrici rispetto a B e sua paraea per D due punti simmetrici R e S rispetto a D. a. Verifica che i quadriatero convesso di vertici P, Q, S, R eá un trapezio isoscee. b. Stabiisci come devono essere presi i punti P, Q, S, R in modo che i quadriatero sia un rettangoo oppure un quadrato. 4 Tema 5 - Cap. 5: PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 1 Un giardino quadrato di 20m di ato viene innaffiato con irrigatori puntiformi.ciascun irrigatore innaffia tutti i punti che distano da esso a piuá 10 metri.qua eá i minimo numero di irrigatori necessario per innaffiare tutto i giardino? a. 1 b. 2 c. 4 d. 4 e. 5 d: Š 2 In un frutteto rettangoare c'eá un abero ogni 4 metri (come in figura).sapendo che ci sono 391 aberi, quanto misura i perimetro de rettangoo che ha per vertici i punti in cui ci sono gi aberi A, B, C, D? a. 136m b. 208m c. 304m d. 320m e. non si puoá determinare univocamente c: Š 3 Nea figura a fianco i rettangoi (tutti uguai) hanno atezza a ebaseb.i perimetro dea figura a. eá 15a 15b b. eá 10a 10b c. eá 15a 30b d. eá 30a 30b e. non eá nessuno dei precedenti b: Š 4 ABCD eá un quadrato ed EBC eá un triangoo equiatero.qua eá 'ampiezza in gradi de'angoo AED? d a. 120 b. 135 c. 150 d. 160 e. nessuno dei precedenti c: Š 5 Nea figura 'angoo DCE d vae 70 e ABCD e DEFG sono quadrati uguai.l'angoo convesso ADG d vae: a. 110 b. 120 c. 130 d. 140 e. 160 d: Š La parete dea camera Camia e Leo sono due gemei; frequentano a stessa scuoa, in cassi diverse, ma hanno a stessa insegnante di matematica.e' pomeriggio e da quache ora Camia si eá chiusa nea sua camera; suo frateo, che si trova nea stanza a fianco, sente strani rumori e, incuriosito, apre uno spiragio nea camera di sua sorea. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 5 - Cap. 5: PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI 5

6 Leo: Camia: Leo: Camia: "Camia, ma che cosa diavoo stai facendo?" "Ho ridipinto una parete dea mia camera usando i teoremi di geometria studiati a scuoa". "Ma sei fuori di testa? Guarda che se vai avanti cosõá ti fisso un appuntamento con o psicoogo". "Ma dai, non sono diventata matta.e' soo che non mi piaceva piuá a parete dietro a mio etto tutta bianca e ho cominciato a tirare quache riga su un fogio per vedere se mi veniva quacosa di carino. Dai vieni a vedere che cosa ho fatto". Leo apre a porta ed entra in camera senza evare gi occhi daa parete che sta di fronte a etto. Camia: "Aora, che cosa ne dici?" Leo: "Beo, mi sembra originae.invece dei soiti fiori, nuvoe e farfae, hai usato dei disegni geometrici, anche i coori mi piacciono, danno un senso di aegria.ma che cosa c'entra con i teoremi sui paraeogrammi?" Camia: "E' percheâ tu non guardi mai con attenzione; vieni che ti faccio vedere". EcosõÁ Camia comincia a indicare inee e figure e a spiegare quai teoremi ha usato per costruire que disegno.per riuscire a seguire i discorso dea nostra amica dobbiamo mettere dee ettere sua parete dipinta; osserva aora a figura e giustifica e affermazioni degi esercizi che seguono tenendo presente i teoremi che hai studiato, ma soprattutto gi esercizi che hai fatto. 1 Osserva i paraeogrammi inscritti ne rettangoo che abbiamo staccato con un tratteggio nea parte in ato a sinistra dea parete; essi hanno tutti o stesso perimetro. 2 Neo stesso rettangoo a parte centrae in azzurro, che eá data da'intersezione di tutti i paraeogrammi eá un rombo. 3 Nea parte superiore di destra si individuano i triangoi isoscei ABC, BDE, BFG e acuni paraeogrammi; a caratteristica di questi paraeogrammi eá che i oro perimetro eá uguae aa somma dei ati congruenti dei triangoi a cui si riferiscono. 4 I triangoo isoscee ACM ha a caratteristica di avere a base CM che eá congruente a'atezza uscente da vertice A.Quanto eá ungo i ato de quadrato inscritto ne triangoo? Che cosa si ottiene unendo i punti medi dei ati di questo quadrato? 5 Osserviamo adesso a parte in basso a sinistra reativa a triangoo PQR ne quae PN eá a mediana.i segmento che esce da vertice Q e passa per i punto medio di PN interseca i ato PR in un punto S. Che caratteristiche ha questo punto? 6 Guardiamo da utimo a parte in basso a destra dove eá raffigurato i rombo APRM di centro O; per costruire a figura interna, Camia ha mandato da O e perpendicoari ai ati de rombo.che figura ha ottenuto e percheâ? 1 I ati dei paraeogrammi sono paraei ae diagonai de rettangoo; i perimetri sono tutti i doppio di una diagonae 2 I vertici dei paraeogrammi sono simmetrici rispetto agi assi di simmetria de rettangoo 3 Per esempio DE AD AC 4 ` 1 2 CM; un atro quadrato 5 divide PR in modo che SR 2PS 6 Un rettangoo, diagonai congruenti di centro O 6 Tema 5 - Cap. 5: PARALLELOGRAMMI, TRAPEZI E POLIGONI REGOLARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA