Luoghi di punti e funzioni non lineari

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1 CAPITOLO 3 Luoghi di punti e funzioni non ineari 1. LE FUNZIONI NON LINEARI CON DERIVE Per costruire i grafico di una paraboa o di un'iperboe si usa a stessa procedura usata per a retta: si scrive 'equazione dea curva nea finestra di agebra si apre a finestra grafica si daá i comando di tracciamento de grafico. Nea figura che segue abbiamo rappresentato a paraboa di equazione y ˆ x 2 3x e 'iperboe xy ˆ I LUOGHI GEOMETRICI E LA PARABOLA CON CABRI In queste esercitazioni useremo un software di geometria dinamica, Cabri, descritto in modo ampio ne voume di geometria a quae rimandiamo per e informazioni di base a riguardo. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 3: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI NON LINEARI 1

2 La costruzione dea bisettrice di un angoo Anche se esiste un comando specifico per tracciare a bisettrice di un angoo, noi vogiamo trovare questa semiretta mediante i concetto di uogo. Cabri eá in grado di tracciare un uogo di punti con o strumento Luogo (che si trova ne gruppo dea quarta icona) indicando i punto che descrive i uogo e i punto che o genera. Per fare cioá dobbiamo eseguire in successione i seguenti passaggi (segui a procedura sua figura a termine de'esercitazione). n Disegnare un angoo: traccia due semirette aventi 'origine V in comune. n Prendere due punti A e B, uno per ogni ato, in modo che sia VA VB : prendi un punto A su uno dei ati disegna a circonferenza di centro V e raggio VA trova i punto B di intersezione con 'atro ato de'angoo con o strumento Intersezione di due oggetti dea seconda icona. n Trovare i punto d'intersezione dee perpendicoari condotte da A e da B ai rispettivi ati: traccia da A a perpendicoare a ato VA con o strumento Retta perpendicoare dea quarta icona con o stesso strumento traccia da B a perpendicoare a ato VB trova i punto P di intersezione dee due perpendicoari. I punto P cosõá trovato appartiene aa bisettrice in quanto i triangoi VPA e VPB sono congruenti; dobbiamo quindi tracciare i uogo descritto da P a variare de punto A. Agisci in questo modo: seeziona o strumento Luogo daa quarta icona indica come oggetto de uogo i punto P ciccando su di esso indica come generatore de uogo i punto A ciccando su di esso. Cabri disegna a bisettrice (a retta in rosso nea figura). Per megio rendersi conto di come viene tracciato questo uogo puoi eseguire un tracciamento punto per punto usando i comando Traccia dea penutima icona: seeziona Traccia e cicca su punto P sposta i mouse su punto A e trascinao ungo a semiretta a cui appartiene. Mentre A si sposta, P descrive a bisettrice. 2 Tema 2 - Cap. 3: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI NON LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

3 La costruzione dea paraboa La costruzione di questo uogo si puoá fare con a stessa procedura descritta nea parte teorica su testo base; ecco i passi da eseguire (a figura eá a termine dea costruzione): disegna a retta d e i punto F prendi un punto H su d e traccia i segmento FH costruisci 'asse di FH (strumento Asse dea quarta icona) traccia da H a perpendicoare a d individua i punto P d'intersezione dea perpendicoare con 'asse. La paraboa eá i uogo descritto da P a variare di H sua direttrice; seeziona quindi o strumento Luogo e indica P come primo punto e H come secondo; i uogo disegnato da Cabri eá a paraboa che stavamo cercando. Anche in questo caso i comando Traccia consente di capire megio come avviene a costruzione de uogo: attiva Traccia e cicca su P trascina H. 3. I LUOGHI GEOMETRICI E LA PARABOLA CON GEOGEBRA Esercitazione 1. La paraboa come uogo Una costruzione anaoga a quea fatta con Cabri si puoá eseguire anche con GeoGebra. Dopo aver avviato i programma, chiudiamo a Vista Agebra, togiamo gi assi cartesiani e a grigia da quea grafica in modo da avorare iniziamente ne piano eucideo. Affrontiamo poi i seguenti passi: disegniamo i punto F e a retta direttrice d; prendiamo un punto A su d e da esso tracciamo a perpendicoare r a d stessa; tracciamo i segmento FA e costruiamo i suo asse a; troviamo i punto P di intersezione dee rette a e r; daa scheda dee ProprietaÁ di P mettiamo i segno di spunta aa voce Traccia attiva. In modaitaá 1-Muovi, muoviamo adesso entamente i punto A sua retta d; contemporaneamente i punto P si muove descrivendo una curva che eá i uogo che stiamo cercando. Infatti, i segmenti PF e PA, appartenendo a'asse de segmento AF, sono congruenti a variare de punto A su d. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 3: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI NON LINEARI 3

4 La traccia asciata da punto P non eá continua e non eá permanente e, a primo utiizzo di un nuovo strumento scompare daa pagina grafica; non soo, in reataá con questo metodo non abbiamo tracciato un uogo ma soo una parte di esso percheâ abbiamo fatto muovere i punto A su di un segmento anzicheâ su tutti i punti de'intera retta d. Per avere un tracciato definitivo e competo occorre usare o strumento 4-uogo, indicando P come primo punto e A come secondo; i uogo puoá anche essere tracciato con i comando Luogo[P, A] Studiamo e caratteristiche dea curva ottenuta. La retta f che passa per i fuoco ed eá perpendicoare aa direttrice eá asse di simmetria per a curva. Per verificaro basta trovare i simmetrico P 0 de punto P rispetto a f; quando P scorre in uno dei rami dea curva, P 0 scorre su ramo opposto. Tra tutti i punti dea curva ottenuta, queo di intersezione de'asse di simmetria con a paraboa ha un ruoo particoare e viene chiamato vertice. Esso rappresenta i punto "piuá basso" dea paraboa (o "piuá ato" se a direttrice si trova a di sopra de fuoco). 4 Tema 2 - Cap. 3: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI NON LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

5 Esercitazione 2. L'equazione dea paraboa Studiamo come varia i grafico dea paraboa di equazione y ˆ kx 2 a variare di k in R. Per far variare k definiamo due sider (a procedura eá identica a quea vista ne precedente capitoo): a variabie fra 0 e 3 con passo 0.3 b variabie fra 3 e 0 con o stesso passo. Inseriamo e equazioni di due paraboe digitando y ˆ a x ^2 e y ˆ b x ^2 (i simboo " ^ " rappresenta a potenza). Si puoá inserire 'esponente con un cic ne'eenco di simboi aa destra dea casea di inserimento. Facendo variare i parametri a e b, otteniamo i grafici dee corrispondenti paraboe; ne menu contestuae reativo aa paraboa mettiamo i segno di spunta sua voce Traccia attiva, in modo da mantenere i grafico di tutte e paraboe. Da quanto ottenuto possiamo dedurre che: quando k > 0 a paraboa eá rivota verso 'ato e a sua ampiezza diminuisce a crescere di k quando k < 0 a paraboa eá rivota verso i basso e i suo comportamento eá simmetrico rispetto a'asse x dea precedente paraboa. ESERCIZI Risovi i seguenti esercizi con Derive. 1. Costruisci una funzione che, ricevuti come dati in ingresso i coefficienti a, b, c di una paraboa, restituisca e cordinate de suo vertice. Appica poi tae funzione per determinare i vertice dee seguenti paraboe: a. y ˆ 3x 2 b. y ˆ 1 2 x2 x c. y ˆ x 2 2x 1 d. y ˆ 3 4 x2 1 2 x 3 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 3: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI NON LINEARI 5

6 2. Costruisci una funzione che, ricevuti come dati in ingresso i coefficienti a, b, c di una paraboa, stabiisca se a sua concavitaá eá rivota verso 'ato o verso i basso e determini anche 'equazione de'asse di simmetria. Appica poi tae funzione per determinare concavitaá e asse dee seguenti paraboe: a. y ˆ x 2 3x b. y ˆ 1 6 x2 3x 2 c. y ˆ 1 2 x2 d. y ˆ 2x 2 6x 4 3. Trova gi zeri dee seguenti funzioni: a. y ˆ 3x 2 12x 12 b. y ˆ 2x 2 4x 6 c. y ˆ 8x 2 12x 8 d. y ˆ x 2 12x 35 Risovi i seguenti esercizi con Cabri oppure con GeoGebra. 4. Costruisci i grafico dee seguenti paraboe e determinane i vertici: a. y ˆ x 2 b. y ˆ 1 3 x2 2x 3 c. y ˆ x 2 4x 1 d. y ˆ 2 3 x2 x 5. Costruisci i grafici dee seguenti iperboi equiatere: a. xy ˆ 6 b. xy ˆ 1 c. xy ˆ 5 6 d. xy ˆ Utiizzando uno sider, costruisci con GeoGebra i grafici dee iperboi di equazioni xy ˆ k con k variabie tra 4 e 4 con passo 0; 5. Descrivi e caratteristiche dee curve ottenute. 6 Tema 2 - Cap. 3: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI NON LINEARI Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA

7 1 L'insieme dei punti x, y de piano che verificano entrambe e disuguagianze y < 2x 2 e y > 4 x eá contenuto interamente nei quadranti: a. IeII b. IeIV c. I, II e IV d. I, II e III e. III e IV c:š La gita scoastica in seconda Anche quest'anno a II B va in gita, questa vota tre giorni a Firenze, in puman; i Consigio di Casse deve scegiere i migior preventivo fra i tre proposti. La ditta Spazio3 richiede E 100 a giorno per i noeggio de puman con 'autista piuá E 0,50 per chiometro percorso. La ditta ViaggioTour richiede E 180 per i noeggio de puman compessivamente per i tre giorni e E 0,80 per chiometro percorso. La ditta Perimondo fa pagare una quota fissa di E 210 per i noeggio de puman per tutti e tre i giorni e per i primi 150km, piuá E 1,40 per ogni chiometro percorso otre i 150. I ragazzi hanno preparato un grafico che rappresenta i tre preventivi per poter fare un confronto piuá diretto; ma uno dei genitori, che eá titoare di un'agenzia di viaggio, a Viaggi2000, sostiene che sono tutti moto cari e che a sua agenzia sarebbe in grado di fare una proposta migiore. Due giorni dopo aa segreteria dea scuoa arriva i quarto preventivo che prevede un costo fisso forfetario di E 460. Indicando con x i numero dei chiometri che compessivamente si presume di dover fare nei tre giorni di gita, aiutiamo i Consigio di Casse a fare a sua sceta. 1 Scrivi e funzioni che rappresentano i primi tre preventivi e rappresentae neo stesso piano cartesiano. 2 Indica, a variare de numero di chiometri che si suppone di dover percorrere, quae agenzia offre i prezzo migiore. 3 Scrivi a funzione che rappresenta i quarto preventivo e rappresentaa neo stesso piano dee atre tre. Per quae numero di chiometri diventa conveniente i preventivo di uno dei genitori dea casse? 4 La cittaá in cui si trova 'Istituto frequentato dai ragazzi dista 150km da Firenze ed eá previsto che nei tre giorni di soggiorno si vadano a visitare i dintorni dea cittaá. Quai potrebbero essere i preventivi piuá vantaggiosi? 5 Aa fine viene sceto i preventivo dea Viaggi2000. Sai spiegare i percheâ? 1 Spazio3 : y ˆ 0,5x 300; ViaggioTour : y ˆ 0,8x 180; Perimondo : y ˆ 210 se x 150, y ˆ 1,4x se x > x 37,5 : ViaggioTour; 37,5 x 300 : Perimondo; 300 x 400 : ViaggioTour; x 400 : Spazio3 3 y ˆ 460; x ViaggioTour; Viaggi Per visitare i dintorni di Firenze si prevede di fare piuá di 50 km Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 2 - Cap. 3: LUOGHI DI PUNTI E FUNZIONI NON LINEARI 7