I primi elementi e i triangoli

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1 MATEMATICAperTUTTI I triangoi 1 ESERCIZIO SVOLTO I primo criterio di congruenza. I confronto fra figure geometriche è un operazione che ricorre spesso in geometria, speciamente i confronto fra triangoi. Per stabiire se due triangoi sono congruenti si possono usare dei criteri di congruenza, i primo dei quai dice che: n se due triangoi hanno due ati e angoo fra essi compreso ordinatamente congruenti, aora sono congruenti. Servendoci di questo criterio dimostriamo i seguente teorema a cui dimostrazione puoi seguire nee figure che seguono. Consideriamo un angoo c ab di vertice V ed i suo opposto a vertice c cd ; prendiamo poi un punto P sua semiretta a, un punto Q sua semiretta c, un punto R su b e un punto S su d, inmodoche VP ffi VQ e VR ffi VS. Dimostriamo che PR ffi QS. Per prima cosa costruiamo i disegno seguendo e indicazioni de testo. La costruzione dea figura reativa ad un teorema avviene per gradi; ne nostro caso dobbiamo: disegnare angoo c ab di vertice V disegnare i suo opposto a vertice c cd 1

2 prendere i punti P, R, Q, S sue semirette a, b, c, d in modo che VP ffi VQ e VR ffi VS tracciare i segmenti PR e QS Quando a figura è competata, occorre rieggere i teorema per scrivere ipotesi e a tesi e contemporaneamente segnare sua figura e congruenze rievate: Hp. cd c opposto a vertice ab c VP ffi VQ VR ffi VS Th. PR ffi QS A termine di questo avoro a figura diventa a seguente: La tesi prevede di dimostrare che i segmenti PR e QS sono congruenti, quindi dobbiamo individuare un triangoo che abbia come ato PR ed un triangoo che abbia come ato QS che possano essere congruenti. È facie intuire che i triangoi cercati sono PVR e QVS. Di essi sappiamo che: VP ffi VQ per ipotesi VR ffi VS per ipotesi PVR d ffi QVS d perché angoi opposti a vertice sono congruenti Sono in questo modo verificate e ipotesi de primo criterio di congruenza e perciò i due triangoi sono congruenti; se due triangoi sono congruenti, hanno tutti gi eementi a due a due congruenti e quindi i ato PR è congruente a suo omoogo che è QS. La dimostrazione de teorema è in questo modo competata. 2 ESERCIZIO GUIDATO Disegna un angoo ab c di vertice V e traccia due semirette c e d interne a angoo in modo che cac ffi db, c prendi poi un punto A su a ed un punto C su c in modo che sia VA ffi VC, un punto D su d ed un punto B su b in modo che sia VD ffi VB. Dimostra che AD ffi BC. La figura che risuta da testo de teorema è a seguente: Competa a scrittura de ipotesi e dea tesi e segna in rosso sua figura gi eementi congruenti. Hp. cac ffi :::::::::: Th. AD ffi :::::::::: VA ffi :::::::: VD ffi :::::::: 2

3 I primo triangoo che devi considerare è queo a cui appartiene AD, cioè... I secondo triangoo che devi considerare è queo a cui appartiene BC, cioè... Di questi triangoi sai che: VA ffi :::::::::: per... VD ffi :::::::::: per... AVC d ffi :::::::: perché... AVD d ffi :::::::: perché... I due triangoi sono quindi congruenti per i... ed in particoare :::::::::: ffi :::::::::: 3 ESERCIZIO GUIDATO I secondo criterio di congruenza. Se due triangoi hanno un ato e i due angoi ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, aora sono congruenti. Servendoci di questo criterio dimostriamo i seguente teorema (competa a dimostrazione). Disegniamo due segmenti congruenti e consecutivi AB e BC; tracciamo da vertice A e da vertice C due semirette che formano angoi congruenti con AB e BC; indichiamo con D i punto che si viene a determinare su AB e con E i punto su BC. Dimostriamo che BE ffi BD. Costruiamo a figura e scriviamo ipotesi e a tesi: Hp. AB c ffi :::::::::: Th. :::::::::: ffi :::::::::: BAE d ffi :::::::: Conviene considerare i triangoi ABE e CBD che hanno: AB ffi :::::::::: per... ABE d ffi :::::::: per a proprietà... BAE d ffi :::::::: per... I due triangoi sono quindi congruenti per i secondo criterio ed in particoare BE ffi BD. 4 Dei triangoi ABC e DEF si sa che BC ffi EF e che gi angoi esterni ai triangoi adiacenti a questi ati sono ordinatamente congruenti. Dimostra che ABC ffi DEF. 3

4 5 ESERCIZIO GUIDATO I terzo criterio di congruenza. Se due triangoi hanno i tre ati ordinatamente congruenti, aora sono congruenti. Servendoci di questo criterio dimostriamo i seguente teorema (competa a dimostrazione). I triangoo ABC ed i triangoo ACD sono congruenti e hanno in comune i ato AC; inotre angoo ACB d è congruente a angoo CAD. d Dimostra che sono congruenti anche i triangoi ABD e CBD. Due triangoi congruenti che hanno un ato in comune possono essere disegnati nei seguenti due modi: a. b. L informazione aggiuntiva che ACB d ffi CAD d non è quindi superfua e serve ad indicare che a situazione de nostro teorema è quea de caso b. L ipotesi e a tesi de teorema sono dunque e seguenti: Hp. ABC ffi ADC ACB d ffi CAD d Th. ABD ffi CBD Se i triangoi ABC e ADC sono congruenti, tutti i oro eementi sono ordinatamente congruenti, quindi AB ffi :::::::::: BC ffi :::::::::: Inotre, per a proprietà rifessiva dea congruenza, DB ffi :::::::: Aora i triangoi ABD e CBD sono congruenti per i terzo criterio. 6 ESERCIZIO GUIDATO Le proprietà de triangoo isoscee. Un triangoo isoscee è un triangoo che ha due ati congruenti; una sua proprietà è che anche gi angoi opposti a tai ati sono congruenti. Aora, per dimostrare che un triangoo è isoscee possiamo: n dimostrare che ha due ati congruenti, oppure n dimostrare che ha due angoi congruenti. Servendoci di uno di questi criteri dimostriamo i seguente teorema (competa a dimostrazione). 4

5 Disegniamo un triangoo ABC isoscee di base BC e prounghiamo i ati congruenti, daa parte dea base, di due segmenti congruenti CE e BD. Dimostriamo che anche i triangoo ADE è isoscee. La figura de teorema è a ato. Scriviamo ipotesi e a tesi: Hp. AB ffi AC BD ffi CE 4 Th. ADE è isoscee Osserviamo che: AB ffi :::::::::: per... BD ffi :::::::::: per... AD ffi AE perché... Quindi i triangoo ADE, avendo due ati congruenti, è anch esso isoscee. 7 Ne triangoo ABC, angoo di vertice A è i doppio de angoo di vertice B; traccia a bisettrice de angoo A b che incontra i ato BC in F. Dimostra che i triangoo ABF è isoscee. 8 Un triangoo isoscee ABC di vertice A ha a base che è a metà de ato obiquo; traccia a mediana BM e dimostra che i triangoo BMC è anch esso isoscee. 9 In un triangoo ABC i ato BC è i doppio de ato AB e a mediana AM è congruente ad AB. Individua gi angoi congruenti dea figura e stabiisci se vi sono triangoi isoscei o equiateri. 5