IL SISTEMA DI RIFERIMENTO

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1 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Per ricordare H Consideriamo una retta orientata r, fissiamo su di essa un punto O e prendiamo un segmento u come unitaá di misura; consideriamo un punto P di r e sia a la misura del segmento OP rispetto ad u. Conveniamo di associare al punto P un numero reale in questo modo: se P segue O, associamo a P il numero a se P precede O, associamo a P il numero a. Viceversa, ad ogni numero reale a si puoá associare il punto P tale che il segmento OP abbia misura a e che si trovi oltre O se a > 0, prima di O se a < 0. Con questa operazione abbiamo quindi stabilito una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i punti di una retta orientata; si dice che si eá fissato un sistema di ascisse sulla retta r e il numero reale a che individua il punto P si chiama ascissa di P e si scrive Pa. Dati i punti Aa e Bb : la misura del segmento AB eá data dall'espressione: AB ˆ jb aj se il segmento AB non eá orientato ed in questo caso la misura eá un numero sempre positivo ƒ! AB ˆ b a se il segmento AB eá orientato ed in questo caso la misura eá un numero con segno positivo se B segue A, con segno negativo se A segue B. l'ascissa c del punto medio di AB eá data dall'espressione c ˆ a b. H Consideriamo due rette orientate fra loro perpendicolari che si intersecano in O e fissiamo su ognuna di esse un sistema di ascisse avente origine in O; chiamiamo asse delle ascisse o asse x la prima retta (di solito quella orizzontale) e asse delle ordinate o asse y la seconda (di solito quella verticale). Ad ogni punto P del piano individuato da queste due rette si puoá associare una coppia ordinata di numeri reali in questo modo: tracciamo da P la parallela all'asse delle ordinate che incontra l'asse delle ascisse in un punto di ascissa a tracciamo da P la parallela all'asse delle ascisse che incontra l'asse delle ordinate in un punto di ascissa b. associamo al punto P la coppia ordinata a,b. Viceversa, ad ogni coppia a,b si puoá associare il punto P che si ottiene come intersezione delle parallele ai due assi tracciate dai punti di ascissa a e b.

2 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Esiste dunque corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali e si dice che si eá fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali. Per indicare che un punto P eá associato alla coppia a,b si dice che P ha coordinate a,b e si scrive Pa,b ; il numero a si chiama ascissa di P, il numero b si dice ordinata di P. H Se in un sistema di assi cartesiani ortogonali sono dati i punti Ax A,y A, Bx B,y B, Cx C,y C allora: q la distanza fra i punti A e B (cioeá la misura del segmento AB) eá AB ˆ x B x A y B y A le coordinate x M,y M del punto medio M del segmento AB sono x M ˆ xa x B y M ˆ ya y B le coordinate del baricentro G del triangolo ABC sono x G ˆ xa x B x C y G ˆ ya y B y C H Nel piano cartesiano ad ogni funzione di equazione y ˆ f x si puoá associare un grafico che eá formato dall'insieme dei punti le cui coordinate x,y soddisfano l'equazione data. In particolare, quando f x eá un'espressione lineare, cioeá quando l'equazione si puoá scrivere nella forma y ˆ mx q, il grafico ad essa associato eá una retta. L'equazione di una retta si puoá scrivere: in forma esplicita: y ˆ mx q in forma implicita: ax by c ˆ 0 La relazione fra i coefficienti m e q della forma esplicita e quelli a,b,c della forma implicita sono i seguenti: m ˆ a b q ˆ c b Per esempio: la retta x y ˆ 0, scritta in forma implicita, ha m ˆ, q ˆ ˆ ; la sua equazione in forma esplicita si ottiene risolvendo l'equazione data rispetto a y : y ˆ x la retta y ˆ x 1, scritta in forma esplicita, ha m ˆ, q ˆ 1; la sua equazione in forma implicita si ottiene trasportando tutti i termini allo stesso membro e facendo eventualmente il denominatore comune: x y ˆ 0. Casi particolari: l'asse delle ascisse ha equazione y ˆ 0 l'asse delle ordinate ha equazione x ˆ 0 una retta parallela all'asse delle ascisse ha equazione y ˆ k essendo k una costante una retta parallela all'asse delle ordinate ha equazione x ˆ h essendo h una costante una retta passante per l'origine ha equazione y ˆ mx la bisettrice del primo e terzo quadrante ha equazione y ˆ x la bisettrice del secondo e quarto quadrante ha equazione y ˆ x H Il numero m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza della retta rispetto all'asse x; il numero q si dice ordinata all'origine e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y. In particolare: se m > 0 la retta forma un angolo acuto con la direzione positiva dell'asse x se m < 0 la retta forma un angolo ottuso con la direzione positiva dell'asse x se m ˆ 0 la retta eá parallela all'asse x. Le rette parallele all'asse y non hanno coefficiente angolare.

3 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA H Nota la sua equazione, il grafico di una retta si puoá costruire trovando le coordinate di due punti e tracciando la retta cha passa per essi. Per esempio, se vogliamo costruire il grafico della retta di equazione y ˆ 1 x, prepariamo uno schema nel quale attribuiamo due valori a scelta alla variabile x e troviamo i corrispondenti valori di y : x y 0 0 La retta passa per i punti di coordinate 0, e,0 ed il suo grafico eá in figura. Se la retta eá parallela ad uno degli assi cartesiani, non eá necessario preparare lo schema precedente; per esempio per disegnare il grafico della retta x ˆ, scegliamo un qualsiasi punto di ascissa e tracciamo da esso la parallela all'asse y; per tracciare il grafico della retta y ˆ, scegliamo un qualsiasi punto di ordinata e tracciamo da esso la parallela all'asse x. H Le formule piuá importanti che occorre ricordare sono le seguenti: coefficiente angolare della retta che passa per i punti x 1,y 1 e x,y m ˆ y y 1 x x 1 condizione di parallelismo fra due rette: avere lo stesso coefficiente angolare m ˆ m 0 condizione di perpendicolaritaá fra due rette: avere coefficienti angolari tali che il loro prodotto sia 1 m m 0 ˆ 1 condizione di allineamento di tre punti: y y 1 x x 1 ˆ y y x x equazione della retta che passa per il punto di coordinate x 0,y 0 e di coefficiente angolare m y y 0 ˆ mx x 0 equazione della retta che passa per i punti di coordinate x 1,y 1 e x,y y y 1 y y 1 ˆ x x 1 x x 1 Questa formula vale solo se la retta non eá parallela agli assi cartesiani. distanza d di un punto dalla retta ax by c ˆ 0 (l'equazione della retta deve essere in forma implicita), cioeá misura del segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta d ˆ ax 0 by 0 c p a b H Ricordiamo poi che per determinare il punto di intersezione fra due rette si deve risolvere il sistema formato dalle loro equazioni. In particolare, se il sistema eá: determinato, le rette si intersecano in un punto indeterminato, le rette coincidono impossibile, le rette sono parallele e non si intersecano.

4 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO 1 Risolvi i seguenti problemi relativi al sistema di ascisse sulla retta. Dati i punti A, B, C 6, calcola le misure dei segmenti AB, AC, CB considerandoli orientati e non orientati e trova le ascisse del punti medi di questi segmenti. La misura di un segmento orientato eá dato dalla differenza fra l'ascissa del secondo estremo e quella del primo; quindi: ƒ! ƒ! ƒ! AB ˆ ˆ 7 AC ˆ 6 ˆ 9 CB ˆ 6 ˆ La misura di un segmento non orientato eá un numero sempre positivo ed eá : AB ˆ ˆ 7 AC ˆ 6 ˆ 9 BC ˆ 6 ˆ Le ascisse dei punti medi si trovano calcolando la semisomma delle ascisse degli estremi del segmento: punto medio di AB : ˆ 1 punto medio di AC : punto medio di BC : 6 6 ˆ ˆ Dati i punti A, B 1 ƒ! ƒ!, C, trova le misure dei segmenti orientati AB, BC e quella ƒƒ! del segmento MN avente per estremi rispettivamente i punti medi di questi due segmenti. ; 11 ; 11 8 Un segmento AB ha per estremo il punto A e per punto medio M ; trova l'ascissa dell'estremo B. 11 ƒ! Del segmento orientato AB si sa che A e che misura 17 ; trova l'ascissa di B. 1 Del segmento non orientato AB si sa che B e che misura ; trova l'ascissa di A. (Suggerimento: indicata con x l'ascissa di A, devi risolvere l'equazione jx j ˆ ) 1 6 Un segmento orientato misura 19 e il suo punto medio ha ascissa 1; calcola le ascisse dei suoi estremi ; Un segmento orientato AB ha per estremi i punti A 1 e B 7 ; determina l'ascissa del punto P tale che AP ˆ 1 ƒ! ƒ! AB. P 1 ; 19

5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Risolvi i seguenti problemi riferiti ad un sistema di assi coordinati cartesiani ortogonali. 8 Trova le coordinate dei punti medi dei segmenti che hanno come estremi le seguenti coppie di punti. A 1; B ; 1 ; C 0; 1 D 1 ; ; E ; 1 F ; " ; 7 ; 1 8 ; ; 1; 1 # 8 9 Trova i secondi estremi dei seguenti segmenti di cui sono noti il primo estremo e il punto medio. A ; 1 M 1 9; 1 ; C ; 7 M ; ; E 1; M 7; 11 1; ; 0; ; 1; 10 Un triangolo ABC ha i vertici di coordinate A 1; 1, B ;, C ;. Stabilisci la natura del triangolo, trova la misura del suo perimetro e la lunghezza delle mediane. Rappresentiamo i punti nel piano cartesiano. Per stabilire la tipologia del triangolo conviene trovare le misure dei suoi lati applicando la formula della distanza fra due punti: q AB ˆ 1 1 ˆ q AC ˆ 1 1 ˆ q BC ˆ ˆ p 9 ˆ p 9 ˆ p 1 ˆ p 1 p 1 p 6 Poiche AB ˆ AC, il triangolo eá isoscele ed il suo perimetro eá : p p ˆ p p p p ˆ 1 6 Inoltre, poicheá AC AB ˆ 1 1 ˆ 6 ˆ BC, il triangolo eá rettangolo in A. Per trovare la lunghezza delle sue mediane dobbiamo prima trovare le coordinate dei punti medi M di BC e N di AC; essendo il triangolo isoscele, non serve trovare il punto medio di AB percheá le mediane relative ai lati congruenti hanno la stessa misura: x M ˆ ˆ 7 y M ˆ ˆ 1 s! AM ˆ x N ˆ 1 ˆ y N ˆ 1 s! BN ˆ ˆ 1! M 7 ; 1 p 6 ˆ! N ; ˆ 1 p 6!!

6 6 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 11 Determina la natura del triangolo di vertici A 1; 0, B 1;, C ; e calcolane il perimetro. h p p i isoscele di base AB; perimetro ˆ 10 1 Dopo aver verificato che il triangolo A 1; 0 ; B ; ; C 1; eá rettangolo calcolane l'area. 1 Dopo aver verificato che il triangolo A ; ; B ; ; C 17; 1 eá isoscele, calcolane l'area. 0Š 1 Trova gli estremi del segmento AB di misura 1, sapendo che il suo punto medio ha coordinate 1 ; e che eá parallelo all'asse x. A 0; ; B 1; Il punto Pa ; a ha distanza dall'origine uguale a p 10 ; quali sono le coordinate di P? P ; 1 Š 16 Le coordinate dei primi tre vertici del parallelogramma ABCD sono A ; 1 ; B 0; 1 ; C ; ; trova le coordinate del punto D. (Suggerimento: ricorda che in un parallelogramma le diagonali si incontrano nel punto medio, quindi il punto medio di AC eá anche punto medio di BD) D 1; Š 17 Del rettangolo ABCD si sa che ha un vertice in A ;, che un lato eá parallelo all'asse delle ascisse, che ha centro nel punto P 1;. Trova le coordinate degli altri vertici. " B ; 7 ; C 1; 7 ; D 1; # 18 Trova l'area del quadrilatero ABB 0 A 0 essendo A 1; ; B ; 7 ed essendo A 0 e B 0 le proiezioni di A e B sull'asse delle ascisse Verifica che il triangolo ABC di vertici A 1; ; B ; e C; proiezione di B sull'asse delle ascisse, eá isoscele di base AB e calcolane l'area. 0 Dopo aver verificato che il quadrilatero di vertici A 1; ; B ; ; C 6; ; D ; 10 eá un rombo, calcolane l'area. 9Š (Suggerimento: affincheá un quadrilatero sia un rombo eá sufficiente che abbia i lati congruenti) 1 I punti A 1; e B ; insieme con A 0 e B 0, loro proiezioni sull'asse delle ordinate, individuano un quadrilatero; determina la sua natura e calcolane il perimetro e l'area. perimetro ˆ 17 p 109 ; area ˆ Trova l'area del triangolo ABD dove D eá il quarto vertice del parallelogramma A ; 1 ; B 1; 1 ; C ;. 6Š

7 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA 7 Risolvi i seguenti problemi sulla retta. Determina quali fra i seguenti punti appartengono alla retta di equazione y ˆ x 1 : A ; B 1; C 1 6 ; 1 D 0; 1 E 0; 1 A; C; EŠ Trova le ordinate dei punti appartenenti alla retta di equazione y ˆ x 1 con ascisse rispettivamente uguali a 1 e 1 ; disegna poi il grafico della retta. ; Trova le ascisse dei punti appartenenti alla retta di equazione y ˆ 1 x con ordinata uguale a 1 e ; disegna poi il grafico della retta. ; 1 Š 6 Calcola il coefficiente angolare delle rette che passano per le seguenti coppie di punti: a. A 1; e B ; 1 m ˆ b. A ; 1 e B 0; m ˆ Š c. A 1 ; 1 e B ; 1 m ˆ 1Š d. A 1 ; e B 1 ; m ˆ 0Š 7 e. A ; 1 e B ; non esisteš Scrivi l'equazione della retta cha passa per i punti A ; 1 e B ; 1. I due punti non hanno neâ la stessa ascissa, neâ la stessa ordinata; la retta non eá quindi parallela agli assi cartesiani. Possiamo procedere in due modi: 1 calcolando il coefficiente angolare della retta m ˆ y y 1 1 ˆ x x 1 ˆ 1 e poi usando la formula y y 0 ˆ mx x 0. Pertanto scegliendo il punto B: y 1 ˆ 1 x! y ˆ 7 x 1 6 applicando la formula! 1 y y 1 y y 1 ˆ x x 1 x x 1 : y 1 ˆ x! 1 1 y 1 ˆ x! y ˆ 7 x Dati i punti A 1;, B ; 1, C ;, trova le equazioni di tutte le rette che passano per due di essi. AB : y ˆ 9 x 1 9 ; AC : y ˆ x; BC : y ˆ x 1

8 8 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 9 Data la retta y ˆ x 1 determina le coordinate dei punti di intersezione con " gli assi cartesiani. ; 0 ; 0; 1 # 0 Stabilisci se i seguenti punti sono allineati: a. A 1 ; 1 B ; C 1; siš b. A ; 8 B 0; C 1; noš c. A 1; 9 B 10; 7 C 0; 1 siš 1 Individua se le seguenti coppie di rette sono parallele o perpendicolari: a. y ˆ x y x ˆ 0 paralleleš b. y x ˆ 0 y ˆ x perpendicolariš c. y ˆ x y x ˆ 1 ne parallele ne perpendicolariš d. x ˆ y y ˆ 1 10x perpendicolariš e. y ˆ 0 x ˆ perpendicolariš Scrivi l'equazione delle rette che passano per il punto P ed hanno il coefficiente angolare dato: a. P 0; m ˆ 1 y ˆ x Š b. P ; 1 m ˆ 1 c. P 1; 1 m ˆ 1 y ˆ 1 x 1 y ˆ 1 x d. P 1 ; m ˆ y ˆ x 1Š Scrivi l'equazione della retta che passa per il punto A 1 ; e che eá parallela a quella di equazione y ˆ x. y ˆ x 1 Trova l'equazione della retta per l'origine che eá perpendicolare a quella che passa per i punti A 1; ; B 1;. y ˆ xš (Suggerimento: trova il coefficente angolare di AB e ricava quello della retta perpendicolare) Scrivi l'equazione della retta perpendicolare a quella di equazione x y 1 ˆ 0 e che la interseca nel punto di ascissa 1. y ˆ 17 x 1 6 Scrivi l'equazione della retta perpendicolare a quella di equazione y 1 ˆ x e che la interseca nel punto di ordinata. y ˆ 1 x 7

9 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA 9 7 Scrivi l'equazione della retta passante per il punto P ; e perpendicolare a quella che passa per i punti A ; e B 1;. y ˆ x 9Š 8 Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto P 1; 1 che sono rispettivamente parallela e perpendicolare a quella che passa per i punti A ; e B 1;. x y 7 ˆ 0; 10y 8x ˆ 0Š 9 Scrivi l'equazione della retta perpendicolare a quella di equazione y 1 x ˆ 0 che la interseca nel punto di ascissa 1. y ˆ 1 x Trova l'equazione della retta passante per P 1; che interseca quella di equazione y ˆ x nel punto di ordinata. y ˆ x Š 1 ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO Scrivi l'equazione della retta che passa per il punto A di intersezione fra le rette di equazioni x y ˆ 0ex y 1 ˆ 0edeÁ perpendicolare a quella che passa per i punti di coordinate ; e ; 1. Il punto di intersezione di due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni x y ˆ 0 x ˆ :::::::::::::::::! x y 1 ˆ 0 y ˆ ::::::::::::::::: Calcola adesso il coefficiente angolare della retta che passa per i punti dati con la formula y y 1 e determina quello della perpendicolare. y ˆ x x x 1 Trova le coordinate del punto P di intersezione delle rette di equazioni r : x y 8 ˆ 0e p s : x y 1 ˆ 0 e determina la sua distanza dall'origine. P ; ; 1 ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO Scrivi l'equazione della retta asse del segmento di estremi A ; 1 e B 1; 7. Puoi procedere in due modi: calcolare il punto medio M del segmento AB, il coefficiente angolare della retta AB e scrivere l'equazione della retta che passa per M ed eá perpendicolare ad AB considerare il generico punto Px; y dell'asse e imporre che sia equidistante dagli estremi: q q x y 1 ˆ x 1 y 7 x y 1 ˆ x 1 y 7 6x 16y ˆ 0

10 60 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Trova l'equazione della retta asse del segmento avente per estremi i punti assegnati: a. A 1; B ; 16x 1y ˆ 0Š b. A ; 1 B ; 6x 0y ˆ 0Š p c. A ; 0 p B 0; Calcola la distanza del punto P ; dalla retta di equazione y ˆ 6x 1. Scriviamo innanzi tutto l'equazione della retta in forma implicita: 6x y 1 ˆ 0 Applichiamo la formula j d ˆ ax 0 by 0 cj p ˆ j 6 1 p j ˆ 1 p p 1 7 ˆ a b x y ˆ 0Š 6 Calcola la distanza dei punti P assegnati dalle rette indicate: p a. P 1; 0 x y 1 ˆ 0 b. P 1 ; 1 y ˆ p x c. P ; p y x ˆ 1 7 Calcola la distanza del punto P ; dalla retta passante per i punti di coordinate 0; 1 e ;. p Calcola la distanza del punto P ; dalla retta che taglia gli assi cartesiani nei punti di ascissa p e ordinata Calcola l'area del triangolo che ha per vertici i punti A 1; 1, B ;, C 1; 1. Scegliamo un lato come base, per esempio il lato AC e scriviamo l'equazione della retta AC : x y ˆ 0 p Calcoliamo la misura di AC : AC ˆ Calcoliamo la misura dell'altezza mediante la distanza di B dalla retta AC : h ˆ j p j ˆ p p Possiamo adesso calcolare l'area: area ˆ p 1 ˆ

11 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA 61 0 Calcola l'area del triangolo ABC nei seguenti casi: a. A 1; B ; 1 C ; 1 b. A ; 1 B 1; C ; 0 c. A 7 ; 1 d. A 1 ; B 1; B 1; 1 C ; C ; Š 1 Le rette y ˆ x eyˆx si intersecano in A ed intersecano l'asse x nei punti B e C. Calcola l'area del triangolo ABC. 6 1 Dopo aver verificato che il quadrilatero di vertici A ; 0, B 1;, C ;, D ; eá un parallelogramma, calcolane l'area e trova le equazioni delle sue diagonali. 6; x y ˆ 0; x y 1 ˆ 0Š Risolvi i seguenti problemi sui fasci di rette. Scrivi l'equazione dei fasci di rette che: a. hanno centro nel punto P ; b. sono parallele alla retta x y 1 ˆ 0 c. sono perpendicolari alla retta x y ˆ 0. a. Basta usare la formula y y 0 ˆ mx x 0 nella quale m eá il parametro del fascio: y ˆ mx! mx y m ˆ 0 b. Le rette del fascio devono avere lo stesso coefficiente angolare, quindi hanno equazione: x y k ˆ 0 c. La retta data ha coefficiente angolare, le rette ad essa perpendicolari hanno coefficiente angolare ; il fascio ha quindi equazione y ˆ x q o anche, scrivendolo in forma implicita e ponendo k ˆ q x y k ˆ 0 Scrivi le equazioni dei fasci di rette che passano per i seguenti punti: a. P 1 1; 1 y ˆ m mx 1 b. P 1 ; y ˆ mx m Š c. P 1 ; 1 y ˆ mx m 1 d. P 1 ; 1 y ˆ mx m 1Š

12 6 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Scrivi l'equazione del fascio di rette che ha la stessa direzione della retta r di equazione y ˆ x e quello del fascio che passa per il punto di r di ascissa 1. y ˆ x q; y ˆ mx m 7 6 Scrivi l'equazione del fascio di rette che passa per il punto P 1; e fra queste determina: a. la retta che passa per ; 1 y ˆ 7 x 11 b. la retta parallela all'asse x y ˆ c. la retta con coefficiente angolare 1 y ˆ x 7 d. la retta che passa per 1; x ˆ 1Š 7 Scrivi l'equazione del fascio di rette che sono perpendicolari alla retta y ˆ x e fra queste determina: a. la retta che passa per 1; y ˆ x 1 b. la retta che passa per ; 1 y ˆ x c. la retta che passa per ; 1 y ˆ x 1 d. la retta che interseca l'asse delle ascisse in x ˆ 10 y ˆ x 6 8 Scrivi l'equazione del fascio di rette che passa per il punto P ; 1 e fra queste determina: a. la retta che passa per 1; 0 y ˆ x 1Š b. la parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante y ˆ x Š c. la retta di coefficiente angolare 1 y ˆ 1 x d. la perpendicolare alla retta x y ˆ 0 y ˆ x 7 ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO Risolvi i seguenti problemi sul piano cartesiano. p 1 Il segmento AB misura 1 ;seak; 1 e Pk ; k quali sono le coordinate dei suoi estremi? A 1 1 ; 1 ; B 1 ; ; A 1; 1 ; B ;

13 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA 6 Il baricentro di un triangolo ABC ha coordinate ; 1 e due vertici sono i punti A 0; e B 7 ; 1. Trova le coordinate del vertice C e verifica poi che il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tali che quella che contiene il vertice eá doppia dell'altra. C 1; 6 Š Un parallelogramma ha centro nel punto ; 1 e due vertici nei punti A 1; e B 1; ; trova le coordinate degli altri due vertici e verifica che si tratta di un rombo. C ; 1 ; D ; I punti A 1; 1, B ;, C 9 ; sono i primi tre vertici del parallelogramma ABCD; dopo aver trovato le coordinate del punto D, verifica che si tratta di un quadrato. D 1 ; 7 Trova le coordinate del punto P sull'asse x che eá equidistante dai punti A 1; 1 e B ; 1 e calcola poi il perimetro e l'area del triangolo ABP. P 1 ; 0 ; perimetro ˆ p 17 1 p 8 ; area ˆ Un punto P eá equidistante dai punti A 1; e B ; 1 e di esso si sa inoltre che la sua ascissa eá uguale alla sua ordinata; calcola le sue coordinate e determina poi la sua distanza dal segmento AB. P ; ; d ˆ 7 I punti A ; e B ; 0 sono due vertici del triangolo ABC di cui M 0; eá il punto medio del lato AC. Trova le coordinate del vertice C e verifica se si tratta di un triangolo rettangolo. C ; 6 Š 8 I punti di coordinate 1;, ;, ; 1 sono tre dei vertici di un parallelogramma; trova le coordinate del quarto e verifica che esistono tre soluzioni. 7; 1 ; 1; 9 ; ; Š Risolvi i seguenti problemi sulla retta. 9 Il punto B 7 ; eá il punto di intersezione di due rette perpendicolari r e s; la retta r passa anche per il punto A 1;, mentre il punto C di s ha ordinata 9. Calcola l'area del triangolo ABC Un triangolo rettangolo in B 1 ; eá anche isoscele, ed ha i vertici A e C entrambi di ascissa. Dopo aver trovato le coordinate di questi due punti, calcola perimetro e area del triangolo. h p i perimetro ˆ 1 ; area ˆ 11 Le rette t : x y ˆ 0er : x y ˆ 0 si intersecano in B; una parallela alla retta r passante per il punto di coordinate ; interseca t in A; indicato con A 0 il punto proiezione di A sull'asse delle ordinate, calcola l'area del parallelogramma che ha AA 0 e AB come vertici consecutivi. Š

14 6 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 1 Sono dati i punti A 1; ; B 1; ; C 9 ; 7 ; D 11 ; 1 ; scrivi le equazioni delle rette r e s rispettivamente assi dei segmenti AB e CD e calcola il loro punto di intersezione E. Indicato con P il punto di ordinata positiva appartenente alla retta r che ha distanza uguale a p 1 dalla 17 retta s, calcola l'area del triangolo EPH essendo H il punto " medio del segmento CD. E 1; 0 ; P 6 7 ; ; H ; # ; area ˆ 7 1 Il segmento AB, lungo, appartiene alla retta y ˆ x 1 e le coordinate del suo punto medio M sono ; ; trova le coordinate di A e B. A 0; 1 ; B ; Š 1 Il segmento AB, lungo, appartiene ad una retta con coefficiente angolare ; se le coordinate di A sono 1; quali sono quelle di B? " 1; _ ; 11 # p 1 Il segmento AB, lungo 1, appartiene ad una retta di coefficiente angolare ; se le coordinate di A sono ; 1 quali sono quelle di B? 0; 0 _ ; Š 16 Scrivi le equazioni delle due rette r e s passanti rispettivamente per i punti D 11 ; e C 1 ; 11 ed entrambe di coefficiente angolare 1 e indica con A e B le loro intersezioni con l'asse y. Individua la natura del quadrilatero convesso che ha per vertici i punti A; B; C; D e calcolane l'area Un rombo ha un vertice nel punto A 1; 0 e le sue diagonali si intersecano in P ; ; calcola le coordinate degli altri vertici sapendo che ha area uguale a. " ; ; ; ; 1; # 18 Verifica che il quadrilatero ABCD di vertici A ; 1 ; B 1; 1 ; C ; 1 ; D 1 ; eá un trapezio rettangolo di base maggiore BC; calcolane quindi il perimetro e l'area. (Suggerimento: devi verificare che i lati delle basi sono paralleli e che uno dei lati obliqui eá perpendicolare alle basi; non serve calcolare le equazioni delle rette, bastano i loro coefficienti angolari) perimetro ˆ 1 p p 1 6 ; area ˆ Dopo aver verificato che il quadrilatero A ; ; B 1 ; 9 ; C ; 1 ; D 8; eá un trapezio isoscele calcolane area e perimetro. area ˆ 7 ; perimetro ˆ p 0 Determina la natura del quadrilatero ABCD di vertici A ; ; B 1 ; 11 e calcolane poi il perimetro e l'area. ; C 1; 8 ; D 7 ; 1 e un rettangolo; perimetro ˆ ; area ˆ 7

15 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA 6 1 Scrivi le equazioni delle rette dei lati del triangolo ABC i cui vertici hanno coordinate A ; 6 ; B 0; ; C 6 ; 6. Calcola poi il perimetro e l'area del triangolo. y ˆ x ; y ˆ x ; y ˆ 16 x ; perimetro ˆ 0; area ˆ 0 6 Trova le coordinate dei vertici mancanti del quadrato ABCD sapendo un lato ha per estremi i punti A ; 1 e B ; e che i lati ad esso perpendicolari intersecano l'asse delle ordinate. Calcolane quindi il perimetro e l'area. 8 ; 8 1; 0 ; perimetro ˆ ; area ˆ Dato il triangolo A p ; p p 7 B ; C ;, scrivi le equazioni delle rette dei suoi lati, verifica che si tratta di un triangolo isoscele e trova le coordinate del punto D che, insieme ai " precedenti, forma un rombo. y ˆ p x 1 ; y ˆ p x 11 ; y ˆ p 1 x ; x ˆ p p # ; D ; Data la retta s di equazione y ˆ x 1 siano A e D i suoi punti di ascissa 0 e ; scrivi le equazioni delle rette r e t entrambe di coefficiente angolare 1 che passano rispettivamente per A e 18 per D; indicato poi con C il punto di r di ascissa 1 e con B il punto di t di ascissa, calcola l'area del quadrilatero ACBD dopo averne individuata la natura. 18 ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO Un triangolo ha area e due vertici nei punti A 1; 0 e B ; 0 ; trova le coordinate del terzo vertice C sapendo che si trova nel primo quadrante e che appartiene alla retta di equazione y ˆ 1 x. Considera il lato AB come base del triangolo: AB ˆ :::::: se l'area eá uguale a, l'altezza misura:... il punto C appartiene alla retta data ed ha quindi coordinate generiche k; 1 k la sua distanza dalla retta AB, che eá l'asse delle ascisse, eá quindi 1 k Basta adesso imporre che la distanza sia uguale all'altezza. ; 6 Sono dati i punti A ;, B 1;, C 7 ;, D ; 9 ; un triangolo ha due vertici nei 8 8 punti medi dei segmenti AB e CD ed il terzo vertice eá l'intersezione degli assi di questi due segmenti. Dopo aver individuato la natura di questo triangolo, trovane il perimetro e l'area. perimetro ˆ 1; area ˆ 7 8

16 66 - IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO E LA RETTA Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 7 Un triangolo ha per lati le rette di equazioni y ˆ 1 x, x y ˆ 0, x 10y 1 ˆ 0; trova le coordinate dei suoi vertici e la misura delle tre altezze. 8; 1 ; ; ; ; ; 16 p ; p ; p Scrivi l'equazione della retta che passa per il punto medio del segmento di estremi A 1; e B ; e che intercetta sull'asse y un segmento doppio di quello intercettato sull'asse x. 6x y ˆ 0Š 9 Fra le rette di equazione x k 1 y k ˆ 0 individua: a. la retta r che passa per l'origine x y ˆ 0Š b. la retta s che, insieme con r, e con l'asse y forma un triangolo di area 1. 0 ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO 1x 6y 0 ˆ 0; 7x 6y 0 ˆ 0Š Di un rettangolo ABCD si sa che il vertice A ha coordinate 1;, il punto B appartiene all'asse x ed il lato AB appartiene ad una retta di coefficiente angolare 1; il centro del rettangolo eá il punto P di coordinate ;. Trova le equazioni dei suoi lati e le coordinate dei rimanenti vertici. Il punto B eá l'intersezione della retta s passante per A di coefficiente angolare 1 e l'asse delle ascisse. Puoi trovare gli altri vertici come simmetrici dei punti A e B rispetto a P usando la formula per il punto medio di un segmento. B ; 0 ; C 7; ; D ; 6 ; y ˆ x ; y ˆ x ; y ˆ x ; y ˆ x 9Š 1 Il triangolo ABC, isoscele di base AB ha il lato AB che appartiene alla retta di equazione x y ˆ 0 e il lato AC sulla retta di equazione y ˆ ; trova le coordinate dei vertici del triangolo sapendo che i lati congruenti misurano 6. A ; ; B 1 ; ; C 1 ; ; B ; ; C 8; Dati i punti A ;, B 1;, C ; 0, trova le coordinate del punto P di intersezione degli assi dei segmenti AB e BC e verifica che anche l'asse del segmento AC passa per P. P ; 1 Un triangolo ABC ha area 1 e due suoi vertici sono i punti A ; e B ; 1. Trova le coordinate del vertice C sapendo che appartiene alla retta di equazione x y 1 ˆ 0. C 1 1; ; C ;