Ricordiamo. 1. Disegna una retta orientata, prendi un unità di misura e posiziona i seguenti punti: 1

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1 Geometria Analitica Piano Cartesiano Sistema di coordinate su una retta Presa una retta r orientata, su cui sono stati fissati un origine O e un unità di misura, definiamo sistema di coordinate su una retta la corrispondenza biunivoca tra i punti P e i numeri reali xp R detti ascisse dei punti P Nella figura è disegnata una retta orientata r sulla quale e stato fissato un sistema di riferimento; determiniamo l ascissa dei punti A, B, Q Dato che il punto A si trova a sinistra di O la sua ascissa è negativa, mentre i punti B e Q sono a destra e la loro ascissa risulta quindi positiva rispetto all orientamento della retta avremo perciò: ) B() Q() x A x B x Q. Disegna una retta orientata, prendi un unità di misura e posiziona i seguenti punti: 5 A x A 3 B x B C x C 0 D x D E x E F 6 6 G x G H x H I x I L x L M x M 3 3 N x F x N 7. Nella figura è disegnata una retta orientata r sulla quale è stato fissato un sistema di riferimento; determiniamo l ascissa dei punti A, B, C, D, E, F

2 Distanza fra due punti sulla retta x A x B distanza orientata di A da B x B x A distanza orientata di B da A x x distanza assoluta di A da B A B Calcoliamo la distanza tra -5) e B( 3). x A xb Quindi la distanza tra i punti A e B è 8 Calcola la distanza assoluta tra le seguenti coppie di punti: 3. 3) B(). ) B() 5. 3 ) B( ) 3 6. ) B( ) 7. 3 ) B( ) 3

3 Punto medio sulla retta Dati due punti su una retta orientata A e B di ascissa rispettivamente x A e x B l ascissa del punto medio M x A + xb del segmento AB è xm Calcoliamo l ascissa del punto medio del segmento di estremi -) e B(5). x A + xb xm Quindi l ascissa del punto medio M è Calcola l ascissa del punto medio del segmento di estremi 8. 3) B() 9. ) B() 3 0. ) B( ) 3. ) B( ) 3. ) B( ) 3

4 Sistema di coordinate nel piano Per individuare un punto A in un sistema di assi cartesiani ortogonale dobbiamo assegnare una coppia ordinata di numeri reali x A,y A ) dove: x indica l ascissa del punto A cioè la distanza sull asse delle x del punto A dall origine degli assi - A - y A indica l ordinata del punto A cioè la distanza sull asse delle y del punto A dall origine degli assi - A y A x vengono chiamate le coordinate del punto A Assegna a ciascun punto rappresentato in figura le sue coordinate. Guardando la figura le coordinate dei punti A,B,C,D,E sono A (,) B(, ) C (,) D(,3) E( 3, ) 3. In un sistema di assi cartesiani disegna i seguenti punti, dopo aver preso un unità di misura appropriata: A (,) B (, ) C (0,) D (, ) E (, ) F (, ) G (, ) H ( 0, ). Assegna a ciascun punto rappresentato in figura le sue coordinate.) B(.) C(.) D(.) E(.) F(.)

5 Distanza fra due punti y A yb I punti hanno stessa ascissa x A xb I punti hanno stessa ordinata (x A xb ) + (y A yb ) I punti hanno coordinate diverse Calcola la misura del perimetro del triangolo che ha come vertici i punti 5,6) B(,) C(5,) Dobbiamo calcolare la misura dei segmenti AB, BC, AC. Se osserviamo le coordinate dei punti notiamo che: i punti A e C hanno la stessa ascissa e quindi si trovano su una retta parallela all asse delle y; mentre B e C hanno la stessa ordinata e quindi si trovano su una retta parallela all asse della ascisse. Per calcolare BC: d(bc) xb xc Per calcolare AC: d(ac) y A yc 6 Per calcolare AB: (x A xb ) + (y A yb ) (5 ) + (6 ) Il perimetro del triangolo è dato da p Calcola la distanza fra le seguenti coppie di punti a.,3) B(, 5), ) B(, ) [ 8 ;] b.,3) B(, 5),3) B(, ) 3 89, 6 3 c.,3) B(, ) 3,) B(3, ) 5 0 ( + ); 5 6. In un piano cartesiano sono dati i punti,3);b( 3, 5);C(, );D(,).Verificare che la distanza tra A e B sia il doppio di quella tra C e D [ AB 0;CD 0] 7. Nel piano cartesiano sono dati i punti 3,);B(, 5);C(3,6) Verifica che il triangolo sia isoscele e calcola il perimetro 8. Dati i punti, -), B(, -5), C(5, -/3) verifica che siano i vertici di un triangolo rettangolo. 9. Trova il punto C dell asse delle x equidistante da 6,) e da (,) [ p 6 5] B [ C(,0) ]

6 Punto medio di un segmento nel piano x A + xb M, coordinate del punto medio M B[(xM x A ),(ym y A )] coordinate del secondo estremo B di un segmento conoscendo le coordinate del punto medio M Trova le coordinate del punto medio M del segmento di estremi P(-,6) e Q(,-) x Basta applicare la relazione A + xb + 6 M, quindi M, cioè M (,) Dato il punto,-5) e M(,3) punto medio del segmento AB trovare le coordinate del punto B secondo estremo del segmento. x Indichiamo il punto B(xB,yB ), ricordiamo la relazione A + xb M, sappiamo cioè che x A + xb xm e che ym sostituendo le coordinate di A e di M ricaviamo + xb 5 + yb e 3 da cui ricaviamo le coordinate di B (3,) 0. Trova le coordinate del punto medio M del segmento che ha come estremi le seguenti coppie di punti a., ) e B(,),) e B(3, ) M (0, );M( ;) 7 b.,) e B (3,5),) e C(5, ) M (, );M(, ) 3 7 c. A (, ) e B (, ) B(,) e C(3, ) M (, );M( ;) 8. Rappresenta il triangolo di vertici -7;-) B(;3) C(3; -3) Trova i punti medi M e N rispettivamente dei lati AB e BC Verifica che il segmento MN abbia lunghezza uguale a metà di AC. [ M( 3,);N(,0) ]