I grafici derivati e la periodicità

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1 A I grafici derivati e a periodicità A partire dai grafici dee funzioni goniometriche fondamentai possiamo costruire queo di atre funzioni appicando opportune isometrie. Di seguito vediamo acuni esempi. Primo esempio Rappresentiamo i grafico di y ¼ sin x þ. Questa funzione è a corrispondente di y ¼ sin x nea trasazione di vettore ~v ¼ ð0, Þ. Per ottenere i suo grafico basta "spostare" di unità verso ato queo dea funzione base y ¼ sin x. Secondo esempio Costruiamo i grafico dea funzione di equazione y ¼ cos x. I grafico di questa funzione si ottiene daa funzione base y ¼ cos x (in nero in figura) mediante una simmetria rispetto a asse x (grafico in rosso). Terzo esempio Rappresentiamo i grafico di y ¼ sin x 1. Dopo aver disegnato a funzione base y ¼ sin x (in nero nea figura), operiamo e seguenti trasformazioni: diatazione di fattore ungo asse dee ordinate per avere sin x; in pratica basta raddoppiare e ordinate de grafico base (grafico in bu) trasazione di vettore ~v ¼ ð0, 1Þ su grafico precedente per avere sin x 1 (grafico in rosso). Attenzione a ordine di appicazione dee trasformazioni (segui a figura): se sua curva base (grafico in nero) si esegue prima a trasazione di vettore ~v ¼ ð0, 1Þ (grafico in azzurro) quindi a diatazione ungo e ordinate di fattore (curva in rosso), si ottiene un grafico diverso che non corrisponde a queo richiesto ma a queo dea funzione y ¼ ðsin x 1Þ: Per individuare esatto ordine di appicazione dee diverse trasformazioni devi seguire ordine dee operazioni; ne caso dea nostra funzione: dato x, prima si cacoa sin x (funzione base), poi si cacoa sin x (diatazione di fattore ), poi si cacoa sin x 1 (trasazione di vettore ~v ¼ ð0, 1Þ). La periodicità dee funzioni goniometriche Si dice che una funzione f ðxþ è periodica di periodo S se S è i più piccoo numero per i quae si verifica che f ðx þ ksþ ¼ f ðxþ con k Z

2 fondamentai seno e coseno sono periodiche di periodo perché sappiamo che sin ðx þ kþ ¼ sin x e cos ðx þ kþ ¼ cos x, mentre a funzione tangente è periodica di periodo perché tan ðx þ kþ ¼ tan x. Appicando una diatazione di fattore h ungo asse x, anche i periodo dea funzione subisce a stessa diatazione; di conseguenza possiamo dire che: n e funzioni sin hx e cos hx sono periodiche di periodo h n a funzione tan hx è periodica di periodo h Esempio La funzione y ¼ sin x, essendo h ¼,èperiodica di periodo ¼ 8 La funzione y ¼ tan 5x, essendo h ¼ 5, è periodica di periodo 5 La funzione y ¼ cos x, essendo h ¼, èperiodica di periodo ¼. ESERCIZI 1 Per tracciare i grafico dea funzione y ¼ sin x þ 1 a partire da queo di sin x, devi operare ne ordine: a. una diatazione di fattore 1 ungo asse dee ascisse e poi una trasazione di vettore ~v ¼ 0, 1 ð Þ b. una diatazione di rapporto 1 ungo asse dee ascisse e poi una trasazione di vettore ~v ¼ ð 0, 1 Þ c. una diatazione di rapporto ungo asse dee ascisse e poi una trasazione di vettore ~v ¼ ð0, 1Þ d. una diatazione di rapporto ungo asse dee ordinate e poi una trasazione di vettore ~v ¼ ð0, 1Þ. Se aa funzione y ¼ cos x appichiamo una trasazione di vettore ~v ¼ð1, 0Þ otteniamo a funzione di equazione: a. y ¼ cos x þ 1 b. y ¼ cosðx þ 1Þ c. y ¼ cosðx 1Þ d. y ¼ cos x 1 Aa funzione y ¼ sin x vengono appicate una diatazione di fattore ungo asse x e una trasazione di vettore ~v ¼ð0, 1Þ; in questo modo si ottiene a funzione: a. y ¼ sin x 1 b. y ¼ sin x 1 c. y ¼ sin x þ 1 d. y ¼ sin x 1 Indica quai trasformazioni occorre appicare per costruire i grafico dee seguenti funzioni a partire dae funzioni goniometriche fondamentai: a. y ¼ sin x b. y ¼ cos x c. y ¼ cos x d. y ¼ sin x

3 N.B.: Puoi controare con GeoGebra di avere costruito correttamente i grafici richiesti. Mediante appicazione di opportune trasazioni, costruisci i grafici dee seguenti funzioni. 5 y ¼ sin x 1 y ¼ cos x þ 7 y ¼ sin x 8 y þ 1 ¼ cos x 9 y ¼ sin x þ La funzione y ¼ sin x þ (funzione trasformata) si ottiene daa y ¼ sin x (funzione di base) mediante una trasazione di vettore ~v ¼,0. I grafici dea funzione base (in nero) e di quea trasformata (in rosso) sono riportati in figura. 10 y ¼ cos x þ 11 y ¼ sin x 1 y ¼ tan x 1 1 y ¼ tan x þ 1 y ¼ sin x þ 15 y ¼ tan x þ 1 y ¼ cos x þ 1 17 y ¼ tan x þ 18 y ¼ þ sin x 19 y ¼ 1 þ cos x þ 0 I grafico in figura rappresenta a funzione: a. y ¼ sin x b. y ¼ cos x c. y ¼ sin x þ d. y ¼ cos x þ Mediante appicazione di opportune simmetrie, costruisci i grafici dee seguenti funzioni. 1 y ¼ sin x y ¼ tan x y ¼ sin ð xþ La funzione y ¼ sinð xþ (funzione trasformata) si ottiene daa y ¼ sin x (funzione di base) con e sostituzioni x! x. y! y Si tratta, pertanto, di una simmetria rispetto a asse y.

4 y ¼ cos ð xþ 5 y ¼ tan ð xþ y ¼ sin ð xþ 7 y ¼ cos ð xþ 8 y ¼ sin ð xþþ 1 9 y ¼ tan ð xþþ 1 0 I grafico in figura rappresenta a funzione a. y ¼ 1 cos x b. y ¼ 1 sin x c. y ¼ sin x þ 1 b. y ¼ 1 þ cos x Mediante appicazione di opportune diatazioni, costruisci i grafici dee seguenti funzioni. 1 y ¼ sin x y ¼ 1 sin x y ¼ cos x y ¼ tan x 5 y ¼ sin x y ¼ cos x 7 y ¼ 1 sin x Costruiamo per passaggi successivi i grafico richiesto; nea figura di pagina seguente abbiamo disegnato in successione: a funzione base y ¼ sin x (in nero) y ¼ sin x (in azzurro) con una diatazione di coefficiente dee ascisse (i periodo diventa ) 1 y ¼ sin x (in rosso) con una diatazione di coefficiente 1 dee ordinate. La curva che ne risuta è quea in rosso. 8 y ¼ cos x 9 y ¼ tan x 0 y ¼ sin x 1 y ¼ cos x

5 A quae funzione corrisponde i grafico nea figura a ato? a. y ¼ cos x b. y ¼ sin x c. y ¼ cos x d. y ¼ sin x La periodicità dee funzioni goniometriche y ¼ sin x La funzione data è a trasformata di y ¼ sin x (che ha periodo ) mediante una diatazione di fattore k ¼ 1 ungo asse x; i periodo subisce a stessa trasformazione: 1 ðþ ¼. y ¼ sin 1 x y ¼ cos x 8; 8 h 5 y ¼ sin x y ¼ tan x 1; y ¼ sin 1 x þ 1 y ¼ cos x þ ½; Š i Risutati di acuni esercizi. 1 b. c. b. a. ~v ¼ ð0, Þ; b. diatazione di fattore ungo asse y; c. diatazione di fattore ungo asse x; d. ~v ¼,0 0 d. 0 b. d.