TRASFORMAZIONI DEL PIANO E GRAFICI

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1 Trasformazioni del piano e grafici TRASFORMAZIONI DEL PIANO E GRAFICI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: consideriamo il piano R munito di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Una trasformazione del piano è una legge che consente di associare ad ogni punto P = (, y) R un punto P' = (X, Y) R. Esempi di trasformazioni del piano Le traslazioni X = + p = X p, :, : = y + q y = Y q ( p q) ( p q) Noto il punto Q( y ) sostituzione,, otteniamo le coordinate del punto trasformato Q (utilizzando la trasformazione ) mediante la Nota la funzione ( ) + p y y + q : ( ) Q ( y ) p, = q, Q ( + p, y + q) y = f, otteniamo l'espressione della sua trasformata (utilizzando la trasformazione inversa - ) mediante la p sostituzione y y q : ( ) y f ( ) p, = q y q = f ( p) y = f ( p) + q Il parametro p indica lo spostamento lungo l'asse : se p> si ha una traslazione verso destra, se p< una traslazione verso sinistra. Il parametro q indica lo spostamento lungo l'asse y: se q> si ha una traslazione verso l'alto, se q< una traslazione verso il basso. Politecnico di Torino Pagina di Data ultima revisione //

2 Trasformazioni del piano e grafici Le dilatazioni δ = X = m m X, :, :, m, n R = ny y = n Y ( m n) δ ( m n) Noto il punto Q( y ) +,, otteniamo le coordinate del punto trasformato Q mediante la sostituzione δ( m, n) (, ) (, ) Q = y Q m ny Nota la funzione y f ( ) =, otteniamo l'espressione della sua trasformata mediante la sostituzione δ ( m, n) y f ( ) n y f = = y n f = m m y m ny : m : y n y Il parametro m indica la dilatazione lungo l'asse : se m> il piano viene allungato (nella direzione dell'asse delle ascisse), se <m< il piano viene compresso. Il parametro n indica la dilatazione lungo l'asse y: se n> il piano viene allungato (nella direzione dell'asse delle ordinate), se <n< il piano viene compresso. Politecnico di Torino Pagina di Data ultima revisione //

3 Trasformazioni del piano e grafici Le simmetrie rispetto agli assi e all'origine Simmetria rispetto asse asse y origine Equazione Nota la funzione y f ( ) X = σ : = y X = σ y : = y X = σ o : = y =, otteniamo l'espressione della sua trasformata mediante la sostituzione σ y y y = f ( ) y = f ( ) σ y y y = f ( ) y y = f ( ) σ y y y = f ( ) o y = f ( ) Le affinità X = m α( m, n) : m, n = ny Proposizione: un'affinità, nel caso in cui almeno uno dei due coefficienti sia negativo, è la composizione di una dilatazione e di una simmetria. Politecnico di Torino Pagina di Data ultima revisione //

4 Trasformazioni del piano e grafici Simmetrie rispetto alle bisettrici Simmetria rispetto a y= X = y σ y = : = Simmetria rispetto a y= - X = y σ y = : = Funzioni pari e funzioni dispari Definizione: una funzione reale di variabile reale è pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni dom f = f. f risulta ( ) ( ) Una funzione reale di variabile reale è dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all'origine e se per ogni dom f risulta f ( ) = f ( ). Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate, se è dispari il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine. Politecnico di Torino Pagina di Data ultima revisione //

5 Trasformazioni del piano e grafici ESEMPI. Applicare la traslazione (, ) alla parabola γ: y =, determinando i trasformati dei suoi punti A= (, ), B=(, ), C=(, ) e l'equazione della sua traslata γ'. A = (, ) A = (, ) + Per determinare le coordinate dei punti trasformati usiamo la sostituzione y y + ; otteniamo: B = (, ) B = (, ) C =, C =, 6 Per determinare l'equazione della curva trasformata γ' utilizziamo la sostituzione y y ; ( ) ( ) otteniamo: γ: = γ : ( ) y y = y = C' E' semplice verificare che, come dovevamo aspettarci, i punti A', B', C' appartengono alla parabola γ'. C B' y=^ y=^-+ A' B A Politecnico di Torino Pagina di Data ultima revisione //

6 Trasformazioni del piano e grafici. Assegnate la funzione γ: γ: y = e le trasformazioni ( ) γ, ottenute da γ applicando le trasformazioni composte T =, e δ,, determinare le equazioni ed i grafici delle curve γ e δ e T = δ rispettivamente. Definizione: il prodotto (o composizione) di due o più trasformazioni è l'applicazione successiva delle trasformazioni con la seguente regola: se t e t sono le due trasformazioni, il prodotto t t impone che si applichi prima t e poi t, mentre t t esattamente il contrario. In generale il prodotto di trasformazioni non gode della proprietà commutativa. La trasformazione T, composizione della traslazione e della dilatazione δ, si ottiene applicando prima δ e poi ; mentre la trasformazione T si ottiene applicando prima e poi δ. - - y= y=/6 - - y=/ /- - δ T : γ: y = y = y = γ : y + = 6 y = δ T : γ: y = y + = y = γ : y = y = Politecnico di Torino Pagina 6 di Data ultima revisione //

7 Trasformazioni del piano e grafici. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni indicando le trasformazioni che consentono di ottenerli a partire dal grafico di opportune funzioni elementari. y = = Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y = utilizzando, ad esempio, le trasformazioni: Una dilatazione sulle y di rapporto n= ed una traslazione sulle verso destra di modulo p = /:, ( ) δ, y = y = y = Una traslazione sulle y verso il basso di modulo q= - ed una compressione sulle di rapporto m=/: (, ) δ, y = y = y = y= y= y=- y= y=- y= Politecnico di Torino Pagina 7 di Data ultima revisione //

8 Trasformazioni del piano e grafici y = + = ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) + = + + = + = + Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y = utilizzando, ad esempio, le trasformazioni: Una traslazione sulle verso sinistra di modulo p=- e sulle y verso il basso di modulo q= - ed una compressione sulle y di rapporto n=/: ( ) δ, (, ) y = y = ( + ) y = ( + ) Una dilatazione sulle di rapporto m= ed una traslazione sulle verso sinistra di modulo p = - e sulle y verso il basso di modulo q = -: δ y = y = = + (, ) (, ) = y ( ) - y=^ - y=^ - y=(+)^- - y=/ ^ - y=/^+ - y=/^ Politecnico di Torino Pagina 8 di Data ultima revisione //

9 Trasformazioni del piano e grafici y = 6 + = + = Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y = utilizzando, ad esempio, le trasformazioni: Una simmetria rispetto all'asse, una dilatazione su y di rapporto n=, una traslazione su verso destra di modulo p= e su y verso l'alto di modulo q=. (, ) (, ) y = σ y = δ y = y = + - y= y=- y= Una traslazione su verso destra di modulo p= e su y verso il basso di modulo q=-/, una simmetria rispetto all'asse, una dilatazione su y di rapporto n=:, σ ( ) y = y = δ, y = y = y= y= - -/ y=-( - -/) Politecnico di Torino Pagina 9 di Data ultima revisione //

10 Trasformazioni del piano e grafici y = + = = + + = Possiamo ottenere il grafico di questa funzione a partire da y = utilizzando, ad esempio, la seguente trasformazione: un'affinità di rapporti m=, n=-7/ ed una traslazione di moduli p=-/ e q=. 6 7 y = α, 7 y =, 7 y = y=/ y=-7/*/ - - y=(6+)/(+) Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari: f ( ) f ( ) ( ) = + = f = + + : è una funzione pari, poiché f ( ) = ( ) + = + = f ( ) : è una funzione dispari, poiché f ( ) = ( ) = = f ( ) : non è né pari né dispari, poiché ( ) ( ) ( ) Politecnico di Torino Pagina di Data ultima revisione // ( ) ( ) f f = + + = + f