1) Scrivere le espressioni lagrangiane delle energie cinetica e potenziale e usarle per scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema.

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1 7 si può discutere come quea di un pendoo sempice con punto di equiibrio stabie ϕ e α quando δ < e come quea di un pendoo inverso cioè con a gravità verso ato invece che verso i basso e punto di equiibrio stabie ϕ e +α quando δ > ; unico caso diverso è queo in cui δ che è invece queo di una variazione ineare dea ϕ a partire daa α. Esercizio 5..4 Una sbarra AB rettiinea rigida omogenea pesante di massa M e unghezza ha gi estremi vincoati a scorrere senza attrito ungo due guide rettiinee x ed y soidai a terra ed appartenenti a un piano verticae x y; asse y è verticae fisso e orientato verso ato. Le soecitazioni vincoari che agiscono sui due estremi dea sbarra sono equivaenti a due singoe forze: R A RB appicate rispettivamente in A ed in B. Lungo a guida rettiinea x è anche vincoato a scorrere senza attrito un eemento pesante P di massa m su quae agisce una forza eastica k O OP di centro origine O de riferimento e costante eastica ko. Inotre estremo B dea sbarra e eemento non si urtano e si scambiano una coppia eastica B k B BP P k B P B. Sia G i baricentro dea sbarra sia ε i versore di BA sia θ anomaia che ε forma con i versore e contata positivamente in senso antiorario rispetto a versore e e si scegano come coordinate agrangiane ascissa x de eemento P ungo a retta x e anomaia θ. " µ y A µ G O P B x Scrivere e espressioni agrangiane dee energie cinetica e potenziae e usare per scrivere e equazioni di Lagrange per i sistema. Introdotte e costanti α e β tai che k O α k B e M g β k B dimostrare che esiste una soa posizione di equiibrio stabie se è β α. facotativo Determinare e posizioni di equiibrio e studiarne a stabiità a variare arbitrario dei parametri α e β. 4 Scrivere e equazioni cardinai dea stereodinamica e di Newton per eemento e verificare e equazioni di Lagrange trovate a Punto precedente. 5 Specificare i vaori dee RA RB ed RP in corrispondenza ao stato cinetico x θ π/ ẋ θ. 6 Ancora sotto ipotesi β α e con M m determinare equazione variazionae e pusazioni proprie ν ν dee piccoe osciazioni ne intorno dea posizione di equiibrio stabie e cacoare i vaore dea oro souzione xt θt uscente dai dati: x θ π/ ẋ θ. Risouzione de Esercizio 5..4 Punto Sussistono e sin θ ε e OA e OB e OG e M. Lo Schiavo 8 Aprie 8 pagina 7

2 8 OP x e e quindi v P ẋ e a P ẍ e e v G e θ a sin θ G e θ sin θ θ. Ne seguono v P ẋ e v G 4 θ mediante e quai e V V peso + V eas T M v G + T G + mv P si speciaizzano nee V M g y G + k O x + k B sin θ x + cost. M g + k O + k B x + k B sin θ k B x sin θ + cost. T m v P + M 4 θ + M θ m ẋ + 6 θ. Se ne ricavano e x k O + k B x k B sin θ θ M g sin θ + k B sin θ k B x T x T θ T ẋ m ẋ T θ θ e da queste seguono e equazioni richieste: m ẍ k O + k B x + k B sin θ θ M g sin θ k B sin θ + k B x 5..4 Punto Le condizioni di equiibrio risutano k O + k B x k B sin θ M g sin θ + k B sin θ k B x da cui e usando e posizioni k O α k B e M g β k B si ricava x e + α sin θ e tramite a quae a seconda fornisce M g k B + k B sin θ ; k O + k B dunque esistono comunque e due posizioni: C x θ C x θ π inotre vi possono essere se esistono due uteriori configurazioni di equiibrio C 4 x 4 θ 4 tai che 4 M g k B ko + k B k O β + α α se questo è minore di ovvero: β + α α. Ne caso richiesto in cui β α i rapporto β + α/ α vae + α che è certo maggiore di uno e quindi e due utime posizioni non esistono. Per studiare a stabiità si cacoa a matrice Hessiana b V a partire dae k O α k B M g β k B e dae V x k O + k B x θ k B V θ M g k B sin θ cos θ + k B x sin θ : k B b ; M. Lo Schiavo 8 Aprie 8 pagina 8

3 9 risuta b kb + α k B k B k B b con b : β sin θ cos θ + + α sin θ. Per e configurazioni trovate si cacoano b β + b β + b 4 β + α 4α 4α β + α 4α + 4α β + α 4α + α αβ + α 4α + α 4α + α β + α 4α + α 4α + α 4α + β + α + 4α β + α 4α + α e quindi e matrici b hanno tutte primo eemento positivo e determinanti Detb kb b + α β + α + α Detb kb b + α + β + α + α Detb 4 + α kb b 4 + α β 4α 4α 4α + β + α β + α β + α α. 4 α Se ne concude che a C esiste sempre ed è stabie; a C esiste sempre ed è stabie soo se β + α < α; due C 4 esistano soo se β + α α ma non sono mai stabii. e Punto 4 Scrivendo a seconda equazione cardinae rispetto a poo A si deduce che R Bz e anaogamente per R Az se si usa i poo B. Pertanto e equazioni cardinai forniscono M a G M g + k BBP + RA + R B m a P m g + k OP O + kbp B + RP K G GA R A + GB k BBP + RB ovvero θ x G y A y G R Ax + x B x G y G k B x P x B R By da cui M ẍ G M ÿ G M θ θ sin θ R Ax + k B x P x B M θ sin θ θ R By M g mẍ P k O x P k B x P x B mÿ P R Py m g θ R Ax y A y G + R By x B x G + k B y G x P x B e quindi e due equazioni pure sono: mẍ k O + k B x + k B x B θ + M ẍ G y A y G M ÿ G x B x G k B x P x B y A y G + M g x B x G + k B y G x P x B 5..5 M. Lo Schiavo 8 Aprie 8 pagina 9

4 ovvero usando e x P x x B sin θ y A x G sin θ y G e quindi e x P x B x sin θ x B x G sin θ y A y G si trovano e θ + M θ θ sin θ che diviene mẍ k O + k B x + k B sin θ M θ sin θ θ k B x sin θ + M g sin θ + k B sin θ x sin θ θ k B x sin θ + M g sin θ che coincidono con e equazioni di Lagrange 5..4 trovate a Punto. Punto 5 I dati x θ π/ ẋ θ e e equazioni 5..4 forniscono in oro corrispondenza mẍ k B θ M g ẍ G M ÿ G θ 4 M g e e 5..5 danno R Ax R By M ẍ G k B x P x B k B x k B M ÿ G + M g M g 4 4 M g R Py m g. Punto 6 Ancora con β α e per a configurazione C x e θ e π si cacoano e ko + k B k B e kb + α k B b k B e k B b k B k B β + ed a m k B + α λ m k B. Dunque a / k B k B β + λ M che fornisce kb + α + β + M m λ k B + α + m k B + β λ kb M m ovvero essendo β α kb λ + α M k B + m λ + + α λ da cui per a M m segue k B /m + α λ k B /m + + α. λ Risuta k B /m + α ± + α + α + e dunque e due pusazioni proprie sono λ k B m α g α g β e λ k B g + α + α. Ne seguono gi autovettori: m α k B + αε x + k B ε y m λ ε x k B α ε x che fornisce ε x ε y / k B + αε x + k B ε y m λ ε x k B + α ε x che fornisce ε x ε y + /. Mediante e matrici p p ρ da cui a / / ρ p x θ π p ρ insieme con a ẋ p si trovano e souzioni richieste per x π/ θ θ π/ ẋ θ ; esse sono: xt p cos ν t θt θ e cos ν t p x θ π cos ν t cos ν t ρ + / / cos ν t cos ν t π/ cos ν t + cos ν t cos ν t cos ν t cos ν t cos ν t cos ν t + cos ν t π/ M. Lo Schiavo 8 Aprie 8 pagina

5 ovvero xt π 4 cos ν t cos ν t θt π π 4 cos ν t + cos ν t. Per a matrice dei modi normai reativa aa teoria occorre normaizzare gi autovettori ε secondo i prodotto scaare de energia cinetica; ciò significa cacoare i vettori εj k j ε j e imporre che e costanti k j siano tai che ε j a ε j per j. I due vettori trovati sopra sono: ε / T ε + / T e a matrice di massa è a m M ; ne segue che sono a m ε insieme con a m ε e dunque che m m + M m + +m m + M m. Pertanto ponendo ε m ε e ε m ε si ha che per entrambi j risutano εj a ε j m ε j a ε j m m. È d atra parte facie constatare che ε i a ε j che pertanto risuta ε i a ε j δ ij. m+ se i j e che aora è anche ε i a ε j M. Lo Schiavo 8 Aprie 8 pagina