Soluzione di Strutture Iperstatiche: Il Metodo delle Forze

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1 Souzione di Strutture Iperstatiche: I Metodo dee Forze Tema 1 Si risova a struttura staticamente indeterminata riportata in figura 1, scrivendo e condizioni di congruenza in modo diretto. Si determini inotre i vaore deo spostamento verticae per a sezione S indicata. La struttura proposta é vote iperstatica. La figura iustra i sistema S (eq) staticamente equivaente aa struttura assegnata, insieme con e condizioni di congruenza che ne assicurano equivaenza cinematica. Inotre, sempre in figura, insieme con i corrispondenti diagrammi de momento fettente, sono riportati gi schemi S (0), S (1) e S () di modo che, per sovrap- Fig. 1 Struttura reativa a tema

2 108 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. Schema equivaente e schemi parziai utiizzati per a risouzione dea struttura reativa a tema 1. posizione degi effetti, risuta: S (eq) = S (0) + X 1 S (1) + X S (), essendo X i (i = 1, ) e incognite iperstatiche. Le equazioni di congruenza corrispondenti ai vincoi iperstatici considerati possono aora porsi nea forma equivaente: { v = + X 1 + X v () = 0 w = w (0) + X 1w (1) + X w () = X k In particoare, trascurando a deformabiità tagiante per i diversi tratti ed operando per composizione cinematica nei diversi schemi, si ricava:

3 I Metodo dee Forze 109 w (0) = v(0,δ) + v (0,k ϕ) + v (0,m) = δ + m + m k ϕ = w(0,δ) + w(0,k ϕ) + w (0,m) = m k ϕ m = ϕ (0,k ϕ) + w (0,m) + ϕ (0,m) = v(1,k ϕ) + v (1,X 1=1) = + k ϕ w (1) = w(1,k ϕ) + w (1,X 1=1) = ϕ (1,k ϕ) + w (1,X 1=1) + ϕ (1,X 1=1) = k ϕ v () = v(,k ϕ) + v (,X =1) = k ϕ w () = w(,k ϕ) + w (,X =1) = + k ϕ + = + 7 k ϕ Pertanto, imposizione dee condizioni di congruenza discusse, conduce a seguente sistema risovente per e incognite iperstatiche: [ ] ( ) ( ) k ϕ + k ϕ X1 δ + m k = ϕ + m X k m k ϕ m k ϕ k ϕ eterminata a souzione (X 1, X ), o spostamento v S si determina banamente attraverso a sovrapposizione degi effetti: essendo S = δ + m k ϕ + m S v () S v S = S + X 1 S + X v () S = v(1,kϕ) S + v (1,X 1=1) ϕ (1,X 1=1) = v(,kϕ) S + v (,X=1) S = k ϕ = k ϕ + + ( )

4 110 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. Struttura reativa a tema. Fig. 4 Schema equivaente e schemi parziai utiizzati per a risouzione dea struttura reativa a tema. Tema Si risova a struttura staticamente indeterminata riportata in figura, scrivendo e condizioni di congruenza in modo diretto. Si determini inotre i avoro di deformazione. La struttura proposta é vote iperstatica. La figura 4 iustra i sistema S (eq) staticamente equivaente aa struttura assegnata, insieme con e

5 I Metodo dee Forze 111 condizioni di congruenza che ne assicurano equivaenza cinematica. Inotre, sempre in figura 4, insieme con i corrispondenti diagrammi de momento fettente, sono riportati gi schemi S (0), S (1), S () e S () di modo che, per sovrapposizione degi effetti, risuta: S (eq) = S (0) +X 1 S (1) +X S () +X S (), essendo X i (i = 1,, ) e incognite iperstatiche. Le equazioni di congruenza corrispondenti ai vincoi iperstatici considerati possono aora porsi nea forma equivaente: ϕ = ϕ + ϕ = ϕ(0) + X 1 ϕ (1) + X ϕ () + X ϕ () = 0 w = w + w = w(0) + X 1 w (1) + X w () X w () = 0 ϕ = ϕ + ϕ = ϕ(0) + X 1 ϕ (1) + X ϕ () + X ϕ () = 0 In particoare, operando nei diversi schemi per composizione cinematica e trascurando gi effetti di deformabiità tagiante ed assiae sui diversi tratti, si ricava: ϕ (0) = ϕ(0,k) + ϕ (0,µ) + ϕ (0,F ) = F k w (0) = w(0,f ) = F ϕ (0) µ F 6 = ϕ(0,k) + ϕ (0,µ) + ϕ (0,F ) = F k µ + F ϕ (1) w (1) = 0 ϕ (1) = ϕ(1,k) + ϕ (1,X 1=1) = 4 k + = ϕ(1,k) + ϕ (1,X 1=1) = k + 6 ϕ () = 0 w () = ϕ () = ϕ () w () ϕ () = ϕ(,k) + ϕ (,X =1) = k + 6 = = ϕ(,k) + ϕ (,X=1) = 1 k + 10

6 11 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata essendo µ a distorsione angoare distribuita (positiva) su tratto, associata aa distribuzione di temperatura a gradiente costante assegnata. Pertanto, imposizione dee condizioni di congruenza discusse, conduce a seguente sistema risovente per e incognite iperstatiche: 4 k + 0 k k k + 10 X 1 X = X F k µ F 6 F F k µ + eterminata a souzione (X 1, X, X ), energia di deformazione può vautarsi appicando i teorema di apeyron suo schema staticamente e cinematicamente equivaente aa struttura assegnata = 1 F v = 1 Struttura [M(z)] dz + 1 R k In particoare, a prima uguagianza consente di vautare i avoro di deformazione attraverso e azioni esterne mentre a seconda corrisponde a procedere via azioni interne. La funzione M(z) rappresenta a funzione momento fettente a variare dea coordinata z ungo a struttura e, così come o spostamento reativo v e a reazione vincoare R, si determina operando per sovrapposizione degi effetti: M(z) = M (0) (z) + X 1 M (1) (z) + X M () (z) + X M () (z) v = v + v = v(0) + X 1 + X v () X v () R = R (0) + X 1R (1) + X R () X R () essendo M (0) (z), M (i) (z) (i = 1,, ) e funzioni momento fettente reative ai diversi schemi considerati e risutando: v (0,e) v () v () = v (0,k) + v (0,F ) = F k = v(1,k) = v(,x=1) + F + v (1,X1=1) = k = 6 = v(,k) + v (,X =1) = 1 k + F

7 I Metodo dee Forze 11 Fig. 5 Struttura reativa a tema. R (0) R (1) = F = R () = 0 R () avendo indicato con v (0,e) o spostamento reativo verticae in associato a soi contributi eastici e cioé ottenuto non considerando i contributo aneastico associato aa distorsione angoare distribuita µ. = 1 Tema Si risova a struttura staticamente indeterminata riportata in figura 5, scrivendo e condizioni di congruenza in modo diretto. Si determini inotre i avoro di deformazione. La struttura proposta é vote iperstatica. ome vincoi iperstatici possono considerarsi i pendoo (rigido assiamente) ed i pendoi, (cedevoi easticamente). La figura 6 iustra i sistema S (eq) staticamente equivaente aa struttura assegnata, insieme con e condizioni di congruenza che ne assicurano equivaenza cinematica. Inotre, sempre in figura 6, insieme con i corrispondenti diagrammi de momento fettente, sono riportati gi schemi S (0), S (1), S () e S () di modo che, per sovrapposizione degi effetti, risuta: S (eq) = S (0) + X 1 S (1) + X S () + X S (), essendo X i (i = 1,, ) e incognite iperstatiche.

8 114 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. 6 Schema equivaente e schemi parziai utiizzati per a risouzione dea struttura reativa a tema. I versori e 1, e indicati nea figura 6 risutano: e 1 = (j k), e = (j + k). Pertanto, assumendo indeformabii assiamente i tratti costituenti a struttura, e tre equazioni di congruenza associate ai vincoi iperstatici sceti si pongono nea forma: v v = 0 (v v ) = X (v v ) = X Si vuoe far notare che ipotesi di indeformabiità assiae dei tratti costituenti a struttura consente, per i caso in esame, di porre: w = w = w = 0. orrispondentemente, operando per sovrapposizione degi effetti, si ricava i seguente sistema risovente nee tre incognite iperstatiche X i (i = 1,, ):

9 I Metodo dee Forze 115 v(0) + X 1( v(1) ) + X (v () v() ) + X (v () v() ) = 0 [ ] v(0) + X 1( v(1) ) + X (v () v() ) + X (v () v() ) = X [ ] v(0) + X 1( v(1) ) + X (v () v() ) + X (v () v() ) = X In particoare, operando nei diversi schemi per composizione cinematica e trascurando gi effetti di deformabiità tagiante ed assiae sui diversi tratti, si ricava: = v(0,k ϕ) + v (0,q) = q + 17q4 k ϕ 4 = v(0,k ϕ) + v (0,q) = 4q + q4 k ϕ = v(0,δ) = v(0,δ) + v (0,m) + v(0,m) = δ m 4 = δ + m = v(1,kϕ) + v (1,X 1=1) = k ϕ = v(1,k ϕ) + v (1,X 1=1) = 5 k ϕ 6 = 6 = 4 v () = v(,k ϕ) + v (,X =1) = 5 k ϕ 1 v () = v(,k ϕ) + v (,X =1) = 4 k ϕ v () = 1 v () = 8

10 116 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata v () = v(,k ϕ) + v (,X =1) = 5 k ϕ 1 v () = v(,k ϕ) + v (,X =1) = 4 k ϕ v () = 8 v () = soito, determinata a souzione (X 1, X, X ), energia eastica immagazzinata daa struttura risuta essendo con = 1 Struttura [M(z)] dz + 1 M + 1 X k ϕ + 1 X M(z) = M (0) (z) + X 1 M (1) (z) + X M () (z) + X M () (z) M = M (0) + X 1M (1) + X M () X M () M (0) M (1) M () M () = q = = =