Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni - Ingegneria Meccanica -

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1 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni - Ingegneria Meccanica - Appunti dalle lezioni a cura di Stella Brach Anno Accademico 2010 / Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali Università di Roma Tor Vergata Ad uso esclusivo degli studenti Giuseppe Vairo

2 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali 2 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

3 AVVERTENZA Le pagine che seguono contengono la copia degli appunti dalle lezioni della studentessa Stella Brach e si riferiscono al corso da 6 crediti formativi di Complementi di Scienza delle Costruzioni (Ing. Meccanica), impartito nell anno accademico 2010/2011 presso la Facoltà di Ingegneria dell Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Tali note sono da intendersi esclusivamente ad uso degli allievi frequentanti il corso e non debbono a nessun titolo essere destinati a copia o riproduzione per usi commerciali. Data la natura personale ed il carattere proprio di trascrizioni dalle lezioni sono inevitabilmente presenti errori ed imprecisioni. Si pregano pertanto gli allievi di volerci segnalare entrambi, nonché di indicarci quei passaggi che non risultassero comprensibili ad una prima lettura. dott. ing. Giuseppe Vairo Appunti dalle lezioni A.A. 2010/2011 3

5 Appunti dalle lezioni A.A. 2010/2011 5

6 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali cos cost 6 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

8 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali cosh 8 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

10 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali 2costg 2cos 10 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

11 Appunti dalle lezioni A.A. 2010/

29 Δl Δ l Appunti dalle lezioni A.A. 2010/

40 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali E 40 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

41 Esercitazione proposta n. 1 Progetto dei cavi di sostegno del braccio di una gru Si consideri il braccio di una gru, assimilabile in prima approssimazione ad una trave di lunghezza, la cui sezione retta sia caratterizzata dall inerzia di figura I G rispetto all asse x in figura. Il braccio si assuma incernierato ad una torretta rigida di altezza e sorretto mediante due cavi e, fissati al punto P (fisso) della torretta secondo lo schema indicato nella figura che segue. P A y z B C D Si assuma come condizione di progetto che nella configurazione di equilibrio in presenza dei soli pesi propri (carichi morti), le sezioni rette A,B e C del braccio siano allineate lungo la direzione orizzontale z. Si progettino i cavi di sostegno considerando come carico vivo una portata massima della struttura applicata in D pari a Q. Sotto tale condizione, si verifichi che la freccia in D non superi il valore limite funzionale /20. Si preveda inoltre che sui cavi possa formarsi, per effetto della variazione termica uniformemente distribuita Δt, uno strato uniforme di ghiaccio di spessore pari a r g. Si assuma che il materiale costituente i cavi sia lo stesso per il braccio e che per quest ultimo la variazione termica non induca effetti significativi. La tabella che segue riassume i dati del problema. Braccio gru Cavi / 0.2 / Ghiaccio / 1.5 Appunti dalle lezioni A.A. 2010/

42 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali Schema di soluzione Dimensionamento preliminare dei cavi sotto i carichi morti Si sceglie di dimensionare i cavi in modo che sotto l azione del solo peso proprio i valori di tensione media siano al massimo pari alla metà della tensione ammissibile. Dette e le forze lungo corda dei due cavi ed indicando con il pedice 0 le grandezze relative alla configurazione di equilibrio sotto i carichi morti, si prescrive pertanto: 2 2 Note quindi le forze ed è possibile dimensionare in modo preliminare le sezioni resistenti dei cavi. Dette forze rappresentano le reazioni vincolari dei pendoli non cedevoli (corrispondenti ai due cavi nella configurazione di equilibrio sotto carichi morti) e possono essere ottenute risolvendo la struttura rappresentata in figura, avente grado di iperstaticità pari a 1: A B C D Com è noto, in una struttura avente un grado di iperstaticità pari ad esistono soluzioni equilibrate, fra le quali è possibile ricavare l unica anche congruente imponendo equazioni di congruenza. Si propone di risolvere l unico grado di iperstaticità caratterizzante la struttura in esame utilizzando il Teorema di Castigliano. A questo proposito si fa presente che l equazione di congruenza è scritta in relazione alla trave, dovendo i cavi assicurare che i punti A, B e C della trave rimangano allineati sotto l effetto della sola forza peso. In particolare, deve risultare: 0 dove si è indicato con il versore orientato da B a P associato al pendolo in B (primo cavo), X 1 = F 1 la sua reazione vincolare incognita e lo spostamento del punto B della trave. Assumendo la trave inestensibile assialmente e, in ipotesi di deformabilità tagliante trascurabile, il lavoro di deformazione viene espresso come: 1 2 dove il momento flettente, per sovrapposizione degli effetti, è dato da: avendo fatto riferimento ai seguenti schemi isostatici: 42 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

43 A B C D A B C D Nota X 1 = F 1, la reazione vincolare incognita, a sua volta, è ottenuta sovrapponendo gli effetti: Per il calcolo di e di si può, ad esempio, utilizzare il metodo di Lagrange. A questo proposito si ricorda che tale metodo permette di determinare il valore della reazione di un vincolo semplice ed essenziale, allorché sostituito tale vincolo con la reazione incognita corrispondente, si imponga il soddisfacimento del Teorema degli Spostamenti Virtuali. A titolo di esempio si imposta il calcolo della forza di corda, osservando che un procedimento del tutto analogo può essere seguito per la determinazione di : φ C sin 0 catena cinematica Imponendo quindi la condizione per la quale il pretensionamento dei cavi deve essere al più pari alla metà della tensione ammissibile si ottengono le sezioni minime dei due cavi: 2 2 Se, per questioni di comodità, si volessero utilizzare cavi con sezioni uguali si potrebbe porre: max, Nel seguito si farà riferimento a questa scelta progettuale. Vanno ora determinate le lunghezze iniziali dei due cavi. Si impone che il singolo cavo rispetti la condizione di congruenza secondo la quale la lunghezza attuale deve essere pari alla somma della lunghezza iniziale (cavo indeformato) e dell allungamento subito dal cavo per effetto del tiro: In particolare si ha: Appunti dalle lezioni A.A. 2010/

44 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali dove, assumendo i cavi in configurazione ribassata, le funzioni e sono date da: tg 2 cos 2cos tg 2 cos 2cos essendo /, /, con cos. In definitiva, le lunghezze iniziali risultano: Comportamento sotto carichi vivi Indicata con la portata massima che il braccio della gru può movimentare, la condizione più gravosa corrisponde a quella in cui tale carico massimo sia applicato in D. In questa condizione, a seguito dell interazione cavi-trave, si determina una nuova configurazione di equilibrio alla quale corrisponde un sovratensionamento dei cavi, associato ad una perturbazione in configurazione ed in tiro per ciascuno di essi. Per il calcolo dell entità delle perturbazioni indotte conviene fare riferimento ad uno schema in cui sia presente il solo carico vivo, salvo poi applicare la sovrapposizione degli effetti per determinare le nuove configurazioni di equilibrio, assunte dai cavi. Si richiede inoltre che in seguito all introduzione del carico vivo continui ad essere soddisfatta la condizione di sicurezza per il materiale costituente il cavo e che l abbassamento subito dalla trave in punta non sia maggiore, per esigenze funzionali, di un certo valore massimo indicato con. ; A B C Q D f 1 20 Le perturbazioni in tensione e subite dai due cavi per effetto della variazione di forza di corda possono essere calcolate con un procedimento del tutto analogo a quello utilizzato per la determinazione delle tensioni medie e in presenza dei soli carichi morti, assumendo però ora i pendoli (cioè i cavi) cedevoli elasticamente. In particolare, ci si propone di ottenere il sovratensionamento del primo cavo risolvendo l iperstaticità e ricavare il secondo per sovrapposizione degli effetti. 44 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

45 Per il calcolo dell incognita iperstatica si fa riferimento ai seguenti schemi: A B C D A B C D L equazione di congruenza da utilizzare per la risoluzione dell iperstaticità è ora: dove è la variazione della lunghezza di corda subita dal primo cavo e dunque pari a: avendo indicato con il modulo elastico fittizio del pendolo equivalente. Dipendentemente dall entità della deformazione subita dal cavo si potrà utilizzare il modulo di Dischinger tangente o secante : In quest ultimo caso la risoluzione del problema deve essere condotta per via iterativa essendo: L onere di calcolo potrebbe essere notevolmente alleggerito se, al posto dell approccio secante, si utilizzasse il modulo quasi-secante che, come dimostrato, risulta espresso da:, 3 2 Il lavoro di deformazione è la somma di due contributi: l energia associata alla deformazione della trave e quella relativa alla deformazione del pendolo equivalente corrispondente al secondo cavo, presente negli schemi di riferimento S (0) e S (1) : dove per il modulo fittizio del secondo pendolo equivalente valgono le stesse considerazioni fatte per il primo. Applicando la sovrapposizione degli effetti si ottengono momento flettente e variazione della forza di corda sul secondo cavo: Appunti dalle lezioni A.A. 2010/

46 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali In particolare, le quantità e possono essere determinate ancora applicando il metodo di Lagrange. I sovratensionamenti cercati sono dunque: Infine, la freccia prodotta sulla trave in presenza dei carichivivi ed in corrispondenza del suo estremo libero D può semplicemente valutarsi come: essendo f (0) e f (1) determinabili risolvendo gli schemi appoggio-appoggio a sbalzo isostatici definiti da e. Effetto termico e del ghiaccio Si può assumere, per semplicità, che gli effetti indotti dalla variazione di temperatura e dallo strato di ghiaccio siano valutabili considerando che i cavi non varino la loro lunghezza di corda. Pertanto, a partire dalla configurazione di equilibrio sotto i carichi morti, si possono valutare le corrispondenti perturbazioni di tiro e di configurazione (indicate rispettivamente con l apice Δt quella relativa alla variazione di temperatura e con l apice q* quella associata alla presenza dello strato di ghiaccio), da sovrapporre a quelle indotte dai carichi vivi. In definitiva deve quindi risultare: Δt, q* Δt, q* ; A B C D 1 20 Si tenga presente che il carico addizionale q*, per unità di lunghezza, associato alla presenza dello strato di ghiaccio sui cavi risulta: 2 46 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

47 Esercitazione proposta n. 2 Dimensionamento dei cavi per controventatura e della fondazione di una torre per antenne Si consideri una torre per antenne di altezza 30 m ed il cui peso ad unità di lunghezza sia q g. La torre sia assimilabile ad una trave assialsimmetrica e la cui sezione retta abbia inerzia di figura pari a I t. La torre può in generale essere soggetta all azione del vento, schematizzabile in prima approssimazione come un carico statico distribuito, funzione della velocità del vento u(z). In particolare, si assume che u(z) vari con la coordinata di quota secondo una legge lineare, dal valore nullo per z = 0 al valore u max per z = 30 m. In riferimento allo schema indicato in figura, si chiede di dimensionare tenendo in conto i carichi morti, i carichi da vento, effetti perturbativi connessi ad una variazione termica uniformemente distribuita Δt sui cavi e alla presenza di un eventuale strato uniforme di ghiaccio di spessore pari a r g sui cavi L area della fondazione, in modo che la tensione di compressione sul terreno non superi il valore limite, ; Lunghezza in configurazione indeformata e sezione resistente dei cavi per controventatura (8 in totale, secondo lo schema della figura). Si trascuri ogni effetto termico sulla torre. Si tenga infine presente che la forza ad unità di lunghezza che il vento esercita sulla torre può essere calcolata come: dove è una dimensione caratteristica della sezione retta della torre e c D è il coefficiente aerodinamico di resistenza della torre, assunto costante. La tabella che segue riassume i dati del problema. Appunti dalle lezioni A.A. 2010/

48 3. Cavi e stralli elastici per applicazioni strutturali Torre Cavi Ghiaccio Vento / / / 30 / Terreno ,1.5/ 48 Quaderni di Complementi di Scienza delle Costruzioni Ingegneria Meccanica

49 Roma, 04 novembre 2010 Appunti dalle lezioni A.A. 2010/