ESERCIZIO SVOLTO A. P 2 St

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1 ESERCIZIO SVOLTO A Effettuare le verifiche agli stati limite di ribaltamento, di scorrimento e di collasso per carico limite dell insieme fondazione-terreno per il muro di sostegno in calcestruzzo semplice di figura a in base alle prescrizioni delle N.T.C Sono noti i seguenti elementi caratteristici del terreno: angolo di attrito ϕ = 35 peso volumico del terreno γ t = 6,00 kn/m 3 Sul terrapieno grava il sovraccarico variabile q = 0 kn/m. Il piano di fondazione si trova alla profondità D 0,60 m rispetto alla superficie. a 0,70 b = 0,75 q h = 3,40 0% 4,00 Sq h= P St P,00 H=0,60 D=0,70 A P 3 B,33 C D 0,35,45,80 Per tutte le verifiche deve essere rispettata la condizione = valore di progetto della resistenza del sistema geotecnico; = valore di progetto dell azione o del suo effetto., essendo: Verifica al ribaltamento (tipo EQU) Questo stato limite deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio di corpo rigido utilizzando la Combinazione EQU + M + R. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 0

2 Sezione AB ) Momento spingente di calcolo M Sd = (sfavorevole) È determinato dalle spinte esercitate dal terrapieno e dal sovraccarico variabile. I parametri geotecnici vengono trasformati in parametri di calcolo tramite i coefficienti parziali γ M (Volume 5, pag., tab. 5, colonna M ; riferimento N.T.C.: tab. 6..II): tgϕ tg35 angolo di attrito: tgϕ = = 0,560 e quindi ϕ 9,6 γ ϕ,5 γ 6,00 peso per unità di volume del terreno: γ t = t = =6,00 kn/m 3,0 Spinte di calcolo S t = γ t h tg ϕ 45 = 6,00 3,40 tg 9,6 45 3,76 kn S q = q h tg ϕ 45 =0 3,40 tg 9,6 45,68 kn γ γ Questi valori delle spinte devono essere ampliati moltiplicandoli per i coefficienti parziali γ F (Volume 5, pag., tab. 4, colonna EQU; riferimento N.T.C.: tab. 6..I) per ottenere le spinte di calcolo: S t,d = S t γ G = 3,76, 34,94 kn S q,d = S q γ Q =,68,5 7,5 kn Distanze di applicazione dal punto A: h d t = 3,40 h 3,40 =,3 m d q = =,70 m 3 3 Momento spingente di calcolo M Sd = = S t,d d t + S q,d d q = 34,94,3 +,5,70 69,7 kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd (favorevole) È determinato dal peso del muro. P = 0,70 3,40,00 m 3 4 kn/m 3 = 8,56 kn P = (0,75 3,40,00) m 3 4 kn/m 3 = 6,0 kn P m = 89,76 kn Le intensità di questi pesi nominali devono essere ridotte moltiplicandole per il coefficiente parziale γ G = 0,9 (colonna EQU, tab. 4) per ottenere i pesi di calcolo: P,d = P γ G = 8,56 0,9 5,70 kn P,d = P γ G = 6,0 0,9 55,08 kn P m,d = 80,78 kn U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 0

3 3 Distanze di applicazione dal punto A: 0,75 d = 0,70 0,47 m d = +0,70,075 m 3 Momento resistente di calcolo M R,d : M R,d = = P,d d + P,d d = 5,70 0, ,08,075 = 7,9 kn m 3) Verifica Il momento resistente M R,d viene diviso per il coefficiente parziale di riduzione della resistenza γ R =,0 (colonna R della tabella che segue) per ottenere il valore di progetto della resistenza ; per la verifica si effettua il rapporto: M Rd 7,9 γ R,0 = =,03 > Verificato M Sd 69,7 Coefficienti parziali g R per le verifiche agli S.L.U. STR e GEO dei muri di sostegno (Tabella 6.5.I delle Norme) Verifica Coefficiente Coefficiente Coefficiente parziale R parziale R parziale R 3 Capacità portante della fondazione g R =,0 g R =,0 g R =,4 Scorrimento g R =,0 g R =,0 g R =, Resistenza del terreno a valle g R =,0 g R =,0 g R =,4 Sezione CD I parametri geotecnici di calcolo sono uguali a quelli applicati per la sezione AB. ) Momento spingente di calcolo M Sd = (sfavorevole) S t = 6,00 4,00 tg 9, ,95 kn S q = 0 4 tg 9,6 45 3,74 kn Spinte di calcolo: S t,d = S t γ G = 43,95, 48,35 kn S q,d = S q γ Q = 3,74,5 0,6 kn Distanze di applicazione dal punto C: h 4,00 h 4,00 d t = =,33 m d q = =,00 m 3 3 Momento spingente di calcolo M Sd : M Sd = = S t,d d t + S q,d d q = 48,35,33 + 0,6,00 = 05,53 kn m U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 0

4 4 ) Momento resistente di calcolo M Rd (favorevole) Peso di calcolo del muro P,d = P γ G = 8,56 kn 0,9 5,70 kn P,d = P γ G = 6,0 kn 0,9 55,08 kn P 3,d = P 3 γ G = (,80 0,60,00) m 3 4 kn/m 3 = 5,9 kn 0,9 3,33 kn P m = 5,68 kn P m,d = 04, kn Distanze di applicazione dal punto C: d = 0,47 + 0,35 = 0,8 m d =, ,35 =,45 m d 3 =,80 3 =0,90 m Momento resistente di calcolo: M Rd = = P,d d + P,d d + P 3,d d 3 = 5,70 0,8 + 55,08,45 + 3,33 0,90 = 0,56 kn m 3) Verifica: M Rd 0,56 = γ R,0 =,4 > 05,53 Verificato M Sd Verifica allo scorrimento sul piano di posa Viene utilizzata la Combinazione A + M + R 3 dell Approccio. I parametri geotecnici di calcolo sono uguali a quelli caratteristici (ϕ = 35 e γ t = 6,00 kn/m 3 ) in quanto il coefficiente parziale da applicare è γ M =,0 (colonna M, tab. 5). Sezione AB ) Spinta di calcolo S d = (sfavorevole) S t = 6,00 3,40 tg ,06 kn S q = 0 3,40 tg , kn Questi valori devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F in colonna A della tabella 4, ottenendo le spinte di calcolo. S t,d = S t γ G = 5,06,3 3,58 kn S q,d = S q γ G = 9,,5 3,8 kn Spinta totale di calcolo S d = = 46,40 kn U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 0

5 5 ) Azione resistente (favorevole) È dovuta alla forza di attrito che si sviluppa a livello della sezione AB e dipende dal peso del muro che deve essere moltiplicato per il coefficiente parziale γ G =,0 (colonna A tab. 4). Peso di calcolo del muro (vedi verifica al ribaltamento): P m,d = P m γ G = 89,76,0 89,76 kn Assumendo il coefficiente di attrito f = 075, la forza di attrito vale: F a = P m,d f = 89,76 0,75 67,3 kn 3) Verifica La forza di attrito F a deve essere divisa per il coefficiente parziale per la resistenza γ R =, (colonna R 3 della tabella prima riportata) e si effettua il rapporto: f P m,d 67,3 γ r, = =,3 > Verificato 46,40 S d Sezione CD ) Spinta di calcolo S d = (sfavorevole) S t = 6,00 4,00 tg ,69 kn S q = 0 4,00 tg ,84 kn Applicando i coefficienti parziali γ F, la spinta totale di calcolo S d risulta: S t,d = S t γ G = 34,69,3 S q,d = S q γ G = 0,84,5 45,0 kn 6,6 kn S d = 6,36 kn ) Azione resistente (favorevole) È dovuta alla forza di attrito che si ha tra la fondazione e il terreno; dipende dal peso del muro e dal coefficiente di attrito. Peso di calcolo del muro (vedi verifica al ribaltamento): P m,d = P m γ G = 5,68,0 5,68 kn Forza di attrito: coefficiente di attrito f = tg ϕ = tg 35 0,70 in favore della sicurezza si assume f = 0,65 F a = f P m,d = 0,65 5,68 75,9 kn U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 0

6 6 3) Verifica Applicando il coefficiente parziale per la resistenza γ R =, (colonna R 3 ) si ha: f P m,d 75,9 γ R, = =,4 > Verificato 6,36 S d Verifica al collasso per carico limite dell insieme fondazione-terreno Considerando la sezione CD, l azione sul terreno è rappresentata dalla componente verticale della risultante dei carichi trasmessi dalla fondazione. Viene applicata la Combinazione A + M + R 3 dell Approccio. ) Momento spingente di calcolo M Sd (sfavorevole) Spinte di calcolo I coefficienti parziali γ M per i parametri geotecnici del terreno sono tutti uguali all unità (colonna M, tab. 5) e quelli da applicare alle spinte sono γ G =,3 e γ Q =,5 (colonna A, tab. 4), per cui i valori delle spinte di calcolo sono quelli già calcolati per la verifica a scorrimento e valgono: S t,d = 45,0 kn S q,d = 6,6 kn e i relativi bracci rispetto al punto C sono: d t =,33 m d q =,00 m Il momento spingente di calcolo risulta: M Sd = 45,0,33 + 6,6,00 = 9,50 kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd (sfavorevole) I pesi del muro, gia calcolati per la verifica al ribaltamento, devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F (colonna A, tab. 4). P,d = P γ G = 8,56,3 37,3 kn P,d = P γ G = 6,0,3 79,56 kn P 3,d = P 3 γ G = 5,9,3 33,70 kn Peso di calcolo del muro P m,d = = 50,39 kn Bracci rispetto al punto C: d = 0,8 m d =,45 m d 3 = 0,90 m Il momento resistente di calcolo risulta: M Rd = P,d d + P,d d + P 3,d d 3 = 37,3 0,8 + 79,56, ,70 0,90 = 74,5 kn m 3) Calcolo dell eccentricità M u = Rd M Sd 74,5 9,50 = 0,54 m 50,39 P m,d B,80 e = u = 0,54 0,36 m U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 0

7 7 4) Calcolo del carico limite del terreno Essendo la risultante delle forze agenti eccentrica e inclinata, il carico unitario ultimo deve essere calcolato con la formula di Brinch-Hansen, analoga a quella di Terzaghi, ma che contiene dei coefficienti correttivi per considerare la posizione della risultante e la profondità del piano di posa della fondazione; l espressione generale della formula è: q ult = (c N c d c i c ) + γ t D N q d q i q + γ t B * N γ d γ i γ dove: il prodotto in parentesi è nullo in quanto si considera la coesione c = 0; D = 0,70 m = profondità del piano di posa rispetto alla superficie del terreno; B * = B e =,80 0,36 =,08 m = larghezza equivalente per carico eccentrico. fattori di capacità portante: + senϕ + sen35 N q = e π tgϕ =,788 π tg35 33,30 senϕ sen35 N γ =,5 (N q ) tg ϕ =,5 (33,30 ) tg 35 33,93 coefficienti di profondità: D 0,70 d q = + tg ϕ ( sen ϕ ) = + tg 35 ( sen 35 ),099 B 0,80 d γ = coefficienti di inclinazione: i q = S = 45,0 + 6,6 t,d + S q,d 0,35 50,39 i γ = S 3 = 45,0 + 6,6 3 t,d + S q,d 0,08 50,39 Sostituendo si ottiene: q ult = (6,00 0,70 33,30,099 0,35) + 6,00,08 33,93 0,08 04,85 kn/m che si pensa distribuito sulla larghezza equivalente B * : Q lim = q ult B * = 04,58,08,4 kn/m Il valore ottenuto deve essere diviso per il coefficiente parziale della resistenza γ R =,4 (colonna R 3 ) per ottenere il carico resistente limite: Q,4 Q lim = = ult = 58,03 kn/m,4 5) Verifica Q lim P m,d γ R 58,03 = =,05 > Verificato 50,39 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 SEI, 0