modulo E Le volte f 2 + l2 4 2 f Con i valori numerici si ha: 1, , , 40 = 5,075 m r =

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1 Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 1 ESERCIZIO SVOLTO Le volte Verificare una volta circolare a sesto ribassato in muratura di mattoni pieni che presenta le seguenti caratteristiche geometriche: spessore costante s = 5 cm; luce l = 7,00 m; ribassamento f = 1,40 m. In corrispondenza della sezione in chiave, il riempimento, in sabbia e detriti, presenta uno spessore di 15 cm; si ha quindi un sottofondo in calcestruzzo (spessore 8 cm) sul quale è posato un pavimento in lastre di marmo su un letto di malta cementizia. La volta realizza l orizzontamento intermedio di un fabbricato di abitazione e viene considerato un sovraccarico di,50 kn/m. Il procedimento per la verifica di un arco in mattoni pieni è uguale a quello che si effettua per una volta in muratura, in quanto la volta si può considerare come un insieme di archi accostati con sezione t b = 100 cm, mentre l arco ha una base b che varia in funzione della sua luce. Per il tracciamento della volta è necessario conoscere il suo raggio, che viene calcolato con la formula [fig. a]: r = f + l 4 f Con i valori numerici si ha: r = 1, ,00 4 1, 40 = 5,075 m Per effetto della simmetria strutturale e di carico è sufficiente tracciare metà volta, della quale è a U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

2 Unità Il metodo alle tensioni ammissibili necessario conoscere gli sviluppi di intradosso ed estradosso; l angolo α vale [fig. a]: l α = arctg r f = arctg 3,50 5,075 1, 40 43,60 Quindi: sviluppo di intradosso: Sv i = π r α sviluppo di estradosso: Sv e = π (r + s) α = π 5,075 43,60 = π 5,35 43,60 3,86 m 4,05 m La metà volta viene suddivisa in n. 8 conci fittizi, con giunti radiali, la cui area, con buona approssimazione, può essere assimilata a un trapezio; considerando una striscia di volta larga 1,00 m e assumendo un peso volumico della muratura γ m = 18,00 kn/m 3, il peso dei conci risulta: P c = 1 8 Sv i + Sv e s 1, 00 γ m = 1 3,86 + 4,05 0,5 1, 00 18,00, kn 8 I vettori che rappresentano i pesi P c si considerano applicati nei baricentri dei conci che si possono pensare coincidenti con i punti di mezzo dei conci stessi sull asse della volta. Dai punti di estradosso della volta, in corrispondenza dei giunti radiali, vengono innalzate le verticali che individuano le strisce gravanti sui conci, ognuna delle quali è costituita di strati di materiali differenti e perciò con diversi pesi volumici; quindi, solo per comodità di calcolo, si riducono le altezze reali dei vari strati, in corrispondenza delle verticali, in altezze fittizie che rappresentano gli spessori che i vari strati verrebbero ad avere, con uguale peso, se fossero realizzati in muratura. Moltiplicando le altezze reali, misurate sul grafico [fig. a], per il coefficiente di trasformazione: c = γ γ m si ottengono le altezze fittizie, che permettono di considerare omogenei i vari materiali. Tabella 1 Giunto Altezze reali (m) c 1 Altezze fittizie h r f (m) 0 0,15 1,11 0,17 1 0,18 1,11 0,0 0,5 1,11 0,8 3 0,37 1,11 0,41 4 0,54 1,11 0,60 5 0,75 1,11 0,83 6 1,01 1,11 1,1 7 1,30 1,11 1,44 8 1,64 1,11 1,8 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

3 Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 3 1. Calcolo delle altezze fittizie [fig. a] Riempimento Si considera un peso volumico γ 1 = 0,00 kn/m e il coefficiente di trasformazione risulta: c 1 = γ 1 = 0,00 γ m 18,00 1,11 per cui le altezze fittizie corrispondenti risultano essere quelle riportate in tabella 1. Sottofondo in calcestruzzo Si assume un peso volumico γ = 4 kn/m 3, per cui il coefficiente di riduzione è: c = γ = 4,00 γ m 18,00 1,33 quindi: h fs = h c = 0,08 1,33 0,11 m Letto di malta cementizia Con un peso volumico γ 3 = 16 kn/m 3, il coefficiente di riduzione è: c 3 = γ 3 = 16,00 γ m 18,00 0,89 perciò: h fc = h c 3 = 0,03 0,89 0,03 m Pavimento in marmo Con un peso volumico γ 4 = 8,00 kn/m 3, il coefficiente di riduzione vale: c 4 = γ 4 = 8,00 γ m 18,00 1,56 quindi: h fp = h c 4 = 0,0 1,56 0,03 m Carico di esercizio h fe = q γ m =,50 18,00 0,14 m Le altezze fittizie totali in corrispondenza di ogni giunto valgono quindi: h 0 = h fr + h fs + h fc + h fp + h fe = 0,17 + 0,11 + 0,03 + 0,03 + 0,14 = 0,48 m h 1 = 0,51 m; h = 0,59 m h 3 = 0,7 m; h 4 = 0,91 m; h 5 = 1,14 m h 6 = 1,43 m; h 7 = 1,75 m h 8 =,13 m Queste altezze vengono ora riportate sul grafico [fig. b] sulle corrispondenti verticali, a partire dalla linea di estradosso della volta, e unendo le loro estremità si ottiene la linea dei carichi fittizi, che rappresenta il profilo superiore dei materiali sopra alla volta, resi omogenei alla muratura. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

4 Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 4 b U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

5 Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 5 0La superficie compresa fra la linea dei carichi fittizi, le verticali per i giunti estremi nei punti di estradosso e la curva di estradosso costituisce il diagramma del carico che grava sulla volta. Vengono ora determinati i pesi delle strisce (tab. ), ognuna delle quali è un prisma con altezza unitaria e base assimilabile a un trapezio; le basi di questi ultimi corrispondono alle altezze fittizie calcolate, mentre le relative altezze vengono misurate sul grafico [fig. b]. Tabella Striscia 0,48 + 0,51 I 0,515 1,00 18,00 0,51 + 0,59 II 0,505 1,00 18,00 0,59 + 0,7 III 0,500 1,00 18,00 0,7 + 0,91 IV 0,485 1,00 18,00 0,91 + 1,14 V 0,465 1,00 18,00 1,14 + 1,43 VI 0,440 1,00 18,00 1,43 + 1,75 VII 0,415 1,00 18,00 1,75 +,13 VIII 0,380 1,00 18,00 Peso (kn) Q 1 = 4,59 Q = 5,00 Q 3 = 5,90 Q 4 = 7,11 Q 5 = 8,58 Q 6 = 10,18 Q 7 = 11,88 Q 8 = 13,7 I vettori che rappresentano i pesi ora calcolati si considerano applicati nei baricentri delle basi trapezoidali di ogni striscia. Con la costruzione grafica riportata in figura b viene determinata la risultante dei pesi di ogni concio con la striscia sovrastante; tali risultanti hanno le intensità riportate in tabella 3. Tabella 3 Concio Peso del concio (kn) Peso della striscia (kn) Peso totale (kn) I, 4,59 P 1 = 6,81 II, 5,00 P = 7, III, 5,90 P 3 = 8,1 IV, 7,11 P 4 = 9,33 V, 8,58 P 5 = 10,80 VI, 10,18 P 6 = 1,40 VII, 11,88 P 7 = 14,10 VIII, 13,7 P 8 = 15,49 R = 84,7 Tracciata la retta delle forze che rappresentano i pesi totali P, disponendole nell ordine da P 1 a P 8, queste si compongono con il poligono funicolare ottenuto proiettando la retta delle forze da un polo C 1, individuando il punto di passaggio della risultante R come intersezione del primo e ultimo lato. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

6 Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 6 Il prolungamento della retta di azione della spinta S, perpendicolare alla sezione in chiave e applicata sul terzo medio superiore, interseca la risultante R nel punto C: la congiungente il punto C con il terzo medio inferiore della sezione di imposta rappresenta la linea di azione della spinta H. Scomponendo ora la risultante R, secondo le direzioni delle linee di azione della S e della H, si ottengono le intensità di queste ultime, che vengono lette sul disegno in scala delle forze e risultano: S = 73,40 kn H = 11,00 kn Assumendo il punto C come nuovo polo di proiezione, si proietta nuovamente la retta delle forze e si traccia il poligono di successive risultanti, o poligono delle pressioni, che deve essere contenuto, per tutto il suo sviluppo, entro il terzo medio della sezione della volta affinché questa risulti compressa in ogni sua sezione. Si fa notare che, anche adottando una scala ridotta, esigenze grafiche impongono di non suddividere la volta o l arco in conci troppo numerosi, che complicherebbero il calcolo grafico, con conseguente maggiore facilità di commettere errori. Pertanto può risultare, come si rileva nel concio I, che un piccolo tratto finale del primo lato del poligono funicolare risulti fuori dalla fascia del terzo medio; ciò è dovuto soltanto al fatto che i conci hanno una certa lunghezza, mentre teoricamente dovrebbero essere piccolissimi. Altro è invece il caso in cui il poligono delle pressioni esca dal terzo medio lungo il suo sviluppo, per cui risulterebbe necessario aumentare lo spessore della volta o dell arco.. Verifiche Vengono verificate a presso-flessione le sezioni in chiave, all imposta e quella in corrispondenza del giunto 5. Considerando la volta in buono stato di conservazione, si assume per i laterizi la resistenza caratteristica f bk = 15 N/mm e per la malta si adotta la classe M10. In funzione di f bk, dalla tabella 5 dell Unità 1 si ricava la resistenza caratteristica a compressione della muratura f k = 6,7 N/mm e dalla tabella 7 dell Unità 1 la resistenza caratteristica a taglio f vk0 = 0,0 N/mm in assenza di sforzo normale; la tensione ammissibile a compressione della muratura è quindi: σ f m = k 06,7 = =1,34 N/mm 5 5 Sezione in chiave È soggetta alla reazione S perpendicolare alla sezione, che risulta quindi sollecitata solo a compressione con un diagramma tensionale a triangolo e la tensione massima vale: σ m = S 0,587 N/mm < σ m Sezione all imposta Sulla retta delle forze si scompone la reazione H nelle due componenti H e H, rispettivamente perpendicolare e parallela al piano della sezione, con intensità, ricavata dal grafico: H = 111,50 kn H = 9,75 kn La sezione è quindi sollecitata a presso-flessione e taglio. Verifica a presso-flessione Essendo la H applicata al limite del terzo medio, le tensioni hanno un diagramma di variazione triangolare, con un valore massimo all intradosso: σ m = H = 0,89 N/mm < σ m U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010

7 Unità Il metodo alle tensioni ammissibili 7 Verifica a taglio La tensione normale media sulla sezione vale: σ H n = = 0,446 N/mm b s e quindi la resistenza caratteristica al taglio in presenza di sforzo normale risulta: f vk = f vk0 + 0,4 σ n = 0,0 + 0,4 0,446 0,39 N/mm Per cui la tensione ammissibile è: f τ m = vk 00,39 = 0,076 N/mm 5 5 τ = H = 0,039 N/mm < τ m Sezione 5 Verifica a presso-flessione La pressione esercitata sulla sezione 5 è rappresentata in linea di azione e intensità dal raggio proiettante C - 5, che viene scomposto, sulla retta delle forze, nelle componenti R 5 ed R 5, rispettivamente perpendicolare e parallela alla sezione; dal grafico, lette in scala forze, risultano: R 5 = 85,00 kn R 5 = 4,60 kn Il centro di pressione della R 5 presenta una eccentricità e = 0 mm, misurata sul grafico, minore: s 6 = ,67 mm per cui la sezione è tutta compressa con diagramma trapezoidale delle tensioni, i cui valori massimo e minimo sono: R σ m = 5 b s m R 5 e = 1 6 b m = 1 s Verifica a taglio τ R ,018 N/mm < σ m max = σ max 0,50 N/mm < σ m σ min 0,18 N/mm U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 010