ESERCIZIO SVOLTO E. Verifica al ribaltamento (EQU)

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1 1 ESERCIZIO SVOLTO E Eseguire le verifiche agli stati limite ultimi di ribaltamento, di scorrimento sul piano di posa e di schiacciamento relative alle sezioni A-A e B-B del muro di sostegno in calcestruzzo non armato riportato in figura a, essendo la superficie superiore del terrapieno priva di sovraccarico e inclinata dell angolo ε +10 rispetto all orizzontale. Gli elementi caratteristici del terreno sono: angolo di attrito ϕ = ; peso per unità di volume del terreno γ t = 18,00 kn/m. Il piano di posa della fondazione è situato alla profondità D 0,40 m rispetto alla superficie anteriore del piano di campagna. a 0,50 0,60 e = 10 h =,00 h 1 =,60 d 1 S 1 P d 1 S P 1 0,87 A A, 1,00 0,40 B B, P 0,5 B 1 = 1,10 B = 1,5 Verifica al ribaltamento (EQU) Per questa verifica lo S.L.U. viene considerato come uno stato limite di equilibrio di corpo rigido, utilizzando la Combinazione EQU + M + R.

2 Sezione A-A 1) Momento spingente di calcolo M Sd = (sfavorevole) Ai valori caratteristici dei parametri geotecnici si applicano i coefficienti parziali riduttivi γ M (M ) per ottenere i relativi valori di calcolo: tg ϕ tg angolo di attrito: ϕ = arctg = arctg 6,56 1,5 γ ϕ γ peso per unità di volume del terreno: γ t = t 18,00 = =18,00 kn/m 1,0 γ γ Con questi parametri geotecnici corretti, si è applicato il procedimento di Poncelet per calcolare la spinta ottenendo le lunghezze della dimensione di spinta y = 1,70 m e del segmento p = 1,60 m; l intensità della spinta risulta quindi: S 1 = γ t y p = 18,00 1,70 1,60 = 4,48 kn con linea di azione inclinata dell angolo ϕ 1 = ϕ = 6,56 17,71 rispetto all orizzontale. Le componenti orizzontale S 1,x e verticale S 1,y della spinta hanno le intensità: S 1,x = S 1 cos ϕ 1 = 4,48 cos 17,71, kn S 1,y = S 1 sen ϕ 1 = 4,48 sen 17,71 7,45 kn Per calcolare il momento spingente di calcolo, la componente S 1,x deve essere amplificata moltiplicandola per il coefficiente parziale γ G1 = 1,1 (EQU) per ottenere il valore di calcolo: S x,d = S 1,x γ G1 =, 1,1 = 5,65 kn h,60 M Sd = = S x,d 1 =5,65 =, kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd (favorevole) È dovuto al peso del muro e alla componente verticale della spinta. P 1 = 1 0,50,60 1,00 m 4,00 kn/m = 15,60 kn P = (0,60,60 1,00) m 4,00 kn/m = 7,44 kn S 1,y = 7,45 kn P = 60,49 kn Questi valori nominali devono essere moltiplicati per il coefficiente parziale γ G1 = 0,9 (EQU) per ottenere i valori dei pesi di calcolo: P 1,d = 15,60 0,9 = 14,04 kn P,d = 7,44 0,9,70 kn S y,d = 7,45 0,9 6,71 kn = 54,45 kn e i relativi bracci rispetto al punto A sono: 0,60 d 1 = 0,50 0, m d = +0,50 = 0,80 m d S = 0,50 + 0,60 = 1,10 m M Rd = 14,04 0, +,70 0,80 + 6,71 1,10 8,97 kn m

3 ) Verifica Il coefficiente parziale riduttivo della resistenza γ R (R ) è unitario e quindi si ha: M Rd 8,97 γ R 1,0 = = 1,75 > 1, M Sd Sezione B-B 1) Momento spingente di calcolo (sfavorevole) Applicando il procedimento di Poncelet si sono ottenute le lunghezze della dimensione di spinta y = 1,95 m e del segmento p = 1,85 m e quindi l intensità della spinta è: S = γ t y p = 18,00 1,95 1,85,47 kn con linea di azione inclinata dell angolo ϕ 1 = 17,71 rispetto all orizzontale; le sue componenti valgono: S,x = S cos ϕ 1 =,47 cos 17,71 0,9 kn S,y = S sen ϕ 1 =,47 sen 17,71 9,88 kn Il valore di calcolo della componente orizzontale risulta: S x,d = S,x γ G1 = 0,9 1,1 4,0 kn h,00 M Sd = S x,d =4,0 =4,0 kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd (favorevole) Forze agenti verticali: P 1 = 15,60 kn P = 7,44 kn P = (1,5 0,40 1,00) m 4,00 kn/m = 1,96 kn S,y = 9,88 kn P = 75,88 kn Si applica il coefficiente parziale riduttivo γ G1 = 0,9 (EQU) per ottenere i valori di calcolo: P 1,d = 14,04 kn P,d =,70 kn P,d = 1,96 0,9 11,66 kn S,y = 9,88 0,9 8,89 kn = 68,9 kn e i relativi bracci rispetto al punto B sono: 1,5 d 1 = 0, + 0,5 = 0,58 m d = 0,80 + 0,5 = 1,05 m d = =0,675 m d S = 1,5 m Quindi: M Rd = 14,04 0,58 +,70 1, ,66 0, ,89 1,5 6,40 kn m Questo valore corrisponde anche alla resistenza di progetto in quanto il coefficiente parziale [γ R (R )] da applicare è unitario.

4 4 ) Verifica M Rd 6,40 γ R 1,0 = = 1,86 > 1 4,0 M Sd Verifica allo scorrimento sul piano di posa Viene utilizzata la Combinazione A 1 + M 1 + R dell Approccio. I valori di calcolo dei parametri geotecnici sono uguali a quelli caratteristici, in quanto il coefficiente parziale [γ M (M 1 )] da applicare è unitario. Sezione A-A 1) Spinta di calcolo S x,d = (sfavorevole) Applicando il procedimento di Poncelet si sono ottenute le lunghezze dei segmenti p = 1,41 m e y = 1,5 m e quindi la spinta risulta: S 1 = γ t y p = 18,00 1,5 1,41 19,4 kn inclinata dell angolo ϕ 1 = ϕ = 1, rispetto all orizzontale; le intensità delle sue componenti sono: S 1,x = S 1 cos ϕ 1 = 19,4 cos 1, 18,09 kn S 1,y = S 1 sen ϕ 1 = 19,4 sen 1, 7,06 kn Alla componente orizzontale S 1,x si applica il coefficiente parziale γ G1 = 1, (A 1 ) ottenendo la spinta di calcolo: S x,d = = S 1,x γ G1 = 18,09 1,,5 kn ) Azione resistente (favorevole) Il valore nominale delle forze verticali agenti è uguale al valore di calcolo, in quanto il coefficiente parziale γ G1 (A 1 ) da applicare è unitario; si ha quindi: = P 1 + P (dalla verifica al ribaltamento) = S 1,y (dalla verifica a scorrimento) = = 15,60 + 7,44 + 7,06 = 60,10 kn Con il coefficiente di attrito f = 0,75, la forza di attrito vale: F a = f = 60,10 0,75 45,08 kn che divisa per il coefficiente parziale per la resistenza γ R = 1,1(R ) fornisce la resistenza di progetto: F = a 45,08 = =40,98 kn 1,1 ) Verifica 40,98 = 1,74 > 1,5 γ R Sezione B-B 1) Spinta di calcolo S x,d = (favorevole) Con il procedimento grafico di Poncelet si sono ricavate le lunghezze dei segmenti y = 1,80 m e p = 1,65 m; la spinta risulta: S = γ t y p = 18,00 1,80 1,65 6,7 kn

5 5 inclinata dell angolo ϕ 1 1, sull orizzontale, e le sue componenti sono: S,x = S cos ϕ 1 = 6,7 cos 1, 4,90 kn S,y = S sen ϕ 1 = 6,7 sen 1, 9,7 kn Spinta di calcolo: S x,d = = S,x γ G1 = 4,90 1,,7 kn ) Azione resistente (favorevole) Essendo il coefficiente parziale γ G1 (A 1 ) unitario, il valore nominale delle forze verticali agenti coincide con quello di calcolo; si ha quindi: = P 1 + P + P (dalla verifica al ribaltamento) + S,y (dalla verifica a scorrimento) = = 15,60 + 7,44 + 1,96 + 9,7 = 75,7 kn Assumendo il coefficiente di attrito f = 0,65, la forza di attrito risulta: F a = f = 0,65 75,7 49, kn per cui la resistenza di progetto vale: F = a 49, = 44,75 kn 1,1 ) Verifica γ R 44,75 = 1,8 > 1,7 Verifica a schiacciamento Si applica la Combinazione A 1 + M 1 + R dell Approccio. Il valore della spinta di calcolo è uguale a quello calcolato per la verifica a scorrimento, in quanto si devono applicare gli stessi coefficienti parziali γ M = 1 (M 1 ) ai valori dei parametri geotecnici e γ G1 = 1, (A 1 ) al valore caratteristico della componente orizzontale della spinta. Sezione A-A 1) Momento spingente di calcolo M Sd Dalla verifica a scorrimento si ricava il valore di calcolo della spinta S x,d =,5 kn con braccio d S 0,87 m, per cui il momento spingente di calcolo risulta: M Sd =,5 0,87 0,46 kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd Viene applicato il coefficiente parziale γ G1 = 1, (A 1 ) ai pesi nominali del muro, calcolati per la verifica al ribaltamento, e alla componente verticale S 1,y della spinta, calcolata per la verifica a scorrimento, con i relativi bracci: P 1,d = 15,60 1, = 0,8 kn P,d = 7,44 1, 48,67 kn S y,d = 7,06 1, 9,18 kn = = 78,1 kn M Rd = 0,8 0, + 48,67 0,80 + 9,18 1,10 55,7 kn m

6 6 ) Calcolo dell eccentricità M u = Rd M Sd 55,7 0,46 = 0,45 m 78,1 1,10 e = u = 0,45 0,10 m 4) Verifica Impiegando per il muro di sostegno calcestruzzo non armato, le N.T.C. 008 prescrivono di effettuare la verifica sotto la combinazione rara (F d = G 1 + G + Q k1 ), controllando che la tensione massima di compressione del calcestruzzo risulti al massimo σ c = 0,5 f cd. Impiegando calcestruzzo classe C16/0, la resistenza di calcolo risulta: 0,85 f f cd = ck 0,85 16 = 9,07 N/mm 1,5 1,5 e quindi: B 1 σ c = 0,5 9,07,7 N/mm La sezione A-A è sollecitata a presso-flessione dal carico eccentrico = 78,1 kn che determina la tensione massima: P 78,1 10 σ c,max = 1 = 6 0, d 6 e 0,11 N/mm < σ c A (1,10 1,00) ,10 10 B 1 Sezione B-B Viene effettuata la verifica per carico limite dell insieme fondazione-terreno. 1) Momento spingente di calcolo M Sd Dalla verifica a scorrimento si ricava il valore della spinta di calcolo S x,d =,7 kn con braccio d S = 1,00 m, per cui si ha: M Sd =,7 1,00 =,7 kn m ) Momento resistente di calcolo M Rd Dalla verifica al ribaltamento si ricavano i valori nominali dei pesi del muro P 1, P, P e dalla verifica a scorrimento quello della componente verticale S,y della spinta; a questi valori viene applicato il coefficiente parziale γ G1 = 1, (A 1 ) per ottenere i valori di calcolo: P 1,d = 15,60 1, = 0,8 kn P,d = 7,44 1, = 48,67 kn P,d = 1,96 1, = 16,85 kn S y,d = 9,7 1, = 1,64 kn = = 98,44 kn Bracci rispetto al punto B: d 1 = 0,58 m d = 1,05 m d = 0,675 m d S = 1,5 m

7 7 ) Calcolo dell eccentricità M u = Rd M Sd 91,0,7 = 0,60 m 98,44 B 1,5 e = u = 0,60 = 0,08 m = 80 mm 4) Calcolo del carico limite del terreno La risultante delle forze agenti è inclinata ed eccentrica, per cui viene utilizzata la formula di Brinch-Hansen, non considerando la coesione del terreno: q ult = (γ t D N q d q i q ) + dove: D = 0,40 m: profondità del piano di posa della fondazione B * = B e = 1,5 0,08 = 1,10 m: larghezza equivalente per carico eccentrico fattori di capacità portante: N q =,18; N γ = 0,79 coefficienti di profondità: D 0,40 d q = 1 + tg ϕ (1 sen ϕ ) = 1 + tg (1 sen ) 1,08 B 1,5 d γ = 1 coefficienti di inclinazione: i q = S 1 =,7 1 x,d 0,451 98,44 S x,d γ t B * N γ d γ i γ i γ = 1 =,7 1 0,0 98,44 Sostituendo si ottiene: q ult = (18,00 0,40,18 1,08 0,451) + 148,69 kn/m 18,00 1,19 0,79 1 0,0 Q ult = q ult B * = 148,69 1,19 176,94 kn/m Questo valore viene diviso per il coefficiente parziale di resistenza γ R = 1,4 (R ) per ottenere il carico limite: Q Q lim = = ult 176,94 = 16,9 kn/m 1,4 5) Verifica γ R 16,9 = 1,8 > 1 98,44