Esempio di calcolo di un muro in c.a.

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1 appendice D Esempio di calcolo di un muro in c.a. Pagina 157 del testo Esempio di calcolo Nel presente paragrafo si vuole illustrare un applicazione operativa relativa alle verifiche di stabilità di un muro a mensola in cemento armato utilizzando il metodo semiprobabilistico agli stati limite. Il calcolo viene e ettuato con riferimento alle sole verifiche di tipo geotecnico e trascurando le verifiche di resistenza strutturale degli elementi in cemento armato. I dati necessari sono: φ: angolo di attrito interno del terreno; γ: peso per unità di volume del terreno; i: inclinazione del terrapieno a monte; : inclinazione del paramento interno della parete in elevazione del muro rispetto al piano orizzontale; δ: angolo di attrito muro-terreno in elevazione; f: coefficiente di attrito terreno-fondazione, pari a tan φ o a una sua quota parte; c: coesione del terreno in elevazione e in fondazione. Per semplicità nell esempio di calcolo si sono assunte le seguenti ipotesi: parete interna del muro in elevazione verticale ( 0 ); superficie del terreno a monte orizzontale (i 0 ); spinta del terreno in direzione orizzontale (δ 0 ). I valori caratteristici dei suddetti parametri geotecnici sono: φ 35 ; γ 1800 dan/m 3 ; f tan(φ) 2/3 0,4668; c 0 dan/m 2.

2 40 Appendice D Figura D.1 Caratteristiche geometriche dell opera di sostegno. Tabella D.1 Vita nominale (V N ) in funzione dei tipi di costruzione. Si ipotizza la presenza di un sovraccarico distribuito sul terreno di monte costituito da un aliquota permanente (q g 1500 dan/m 2 ) e da una variabile (q q 500 dan/m 2 ). Si suppone inoltre l assenza di falda. Le dimensioni ipotizzate per l opera da verificare sono indicate in Figura D.1. L opera è ubicata nel comune di Bologna, caratterizzato da una latitudine pari a 44,5075 e una longitudine pari a 11,3514. In base alle condizioni litologiche e morfologiche il sottosuolo di fondazione rientra nella categoria A. La superficie topografica è pianeggiante e appartiene quindi alla categoria T1. Per l opera in esame si ipotizza una vita nominale V N pari a 50 anni, corrispondente a una costruzione di tipo ordinario (Tab. D.1) e si considera una classe d uso II. Secondo quanto riportato in Tabella D.2, il coefficiente d uso C U è pari a 1; pertanto, il periodo di riferimento V R dato dal prodotto di V N e C U risulta pari a 50 anni. Con riferimento allo Stato limite di salvaguardia della vita (SLV) il periodo di ritorno (T R ) corrispondente all azione sismica di progetto risulta pari a 475 anni. In funzione delle coordinate geografiche e del periodo di ritorno si ottiene un valore di accelerazione massima al suolo (a g ) pari a 0,142 g, che corrisponde a un coefficiente di riduzione β m pari a 0,29 (Tab.7.6). Tipi di costruzione V N (in anni) 1 Opere provvisorie Opere provvisionali Strutture in fase costruttiva Opere ordinarie, ponti, opere infrastrutturali e dighe di grandi dimensioni > 50 o di importanza strategica 3 Grandi opere, ponti, opere infrastrutturali e dighe di dimensioni contenute o di importanza normale > 100 Tabella D.2 Coefficiente d uso (C U ) in funzione della classe d uso. Classe d uso I II III IV Coefficiente C U 0,7 1,0 1,5 2,0 Si devono definire ora i valori dei coefficienti S T e S S, che dipendono rispettivamente dalle caratteristiche della superficie topografica e del suolo. Per un suolo di categoria A e una superficie di classe T1 si ha S T 1,00 (Tab. 7.8) e S S 1,00 (Tab. 7.7). I coefficienti sismici orizzontale (k h ) e verticale (k v ) risultano: k h 0,29 1,00 1,00 0,142 g g k v ± 1 0,041 ±0, ,041 Per quanto riguarda l e etto dinamico del sovraccarico si considera, in analogia al caso statico, un incremento di spinta sul muro di tipo inerziale. Tale spinta viene calcolata mediante la seguente espressione: S q,sism q (1 ± k v ) H K a,sism Inoltre, il sisma induce forze d inerzia dovute alle masse mobilitate: Forza d inerzia dovuta al peso della parete del muro: I wp k h W p

3 Forza d inerzia dovuta al peso della fondazione del muro: Esempio di calcolo di un muro in c.a. 41 I wf k h W f Forza d inerzia dovuta al peso del terreno a monte del muro: I wt k h W t In questo esempio vengono trascurate le inerzie dovute al sovraccarico del terreno a monte dell opera. Nel caso sismico i valori dei coefficienti parziali sulle azioni vengono posti pari a 1,00, mentre per i parametri geotecnici e le resistenze di progetto si assumono i valori dei coefficienti parziali relativi alla tipologia di verifica e all approccio scelto. Le combinazioni sismiche vengono in seguito indicate come S + e S, corrispondenti ai casi di sisma verticale rivolto verso il basso (k v > 0) e sisma verticale rivolto verso l alto (k v < 0). Le azioni agenti in condizioni statiche sono: peso del muro; peso del terreno a monte; sovraccarico sul terreno a monte; spinta statica del terreno. I valori caratteristici dei carichi permanenti verticali agenti sull opera di sostegno vengono calcolati facendo riferimento a una profondità di un metro lineare di muro. Peso della parete del muro: W p γ cls A p 2500 (5,0 0,5) 6250 dan dove: γ cls : peso per unità di volume del calcestruzzo [dan/m 3 ]; A p : area della parete in elevazione del muro [m 2 ]. Peso della fondazione: W f γ cls A f 2500 (0,6 3,3) 4950 dan dove: γ cls : peso per unità di volume del calcestruzzo [dan/m 3 ]; A f : area della fondazione del muro [m 2 ]. Peso del terreno sulla mensola di fondazione a monte: W t γ t A t 1800 (1,8 5,0) dan dove: γ t : peso per unità di volume del terreno [dan/m 3 ]; A t : area del terreno [m 2 ]. Azione dovuta al sovraccarico permanente: G q g l f,m , dan dove: q g : sovraccarico distribuito permanente [dan/m 2 ]; l f,m : lunghezza della mensola a monte della fondazione, su cui insiste il sovraccarico [m].

4 42 Appendice D Azione dovuta al sovraccarico variabile: Q q q l f,m 500 1,8 900 dan dove: q q : sovraccarico distribuito variabile [dan/m 2 ]; l f,m : lunghezza della mensola a monte della fondazione, su cui insiste il sovraccarico [m]. I coefficienti parziali, utilizzati per i parametri di resistenza del terreno e per le azioni, dipendono dalla tipologia di verifica e ettuata e dall approccio progettuale scelto: verifiche allo scorrimento easchiacciamento: vengono utilizzate le due combinazioni dell Approccio 1: A1+M1+R1 ea2+m2+r2; verifica alla stabilità globale: si fa riferimento alla sola combinazione A2+ M2+R2; verifica al ribaltamento: non essendo prevista la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione, si considera una diversa combinazione delle azioni e delle resistenze utilizzando, per le prime, i coefficienti del gruppo EQU e, per le seconde, quelli del gruppo M2. Nell esempio presentato si riportano le formule relative alla sola combinazione A1 + M 1 + R1; la combinazione A2 + M 2 + R2 segue lo stesso procedimento, con la sola variazione dei valori dei coefficienti. Verifica allo scorrimento La verifica allo scorrimento risulta soddisfatta se R d E d > 1 dove: E d (N perm,sfav γ G1 + N var,sfav γ Q1 ) R d 1 (N perm,fav + N var,fav ) f + 50% S p γ R γ φ γ R Q Figura D.2 Forze coinvolte nella verifica allo scorrimento, caso statico. N perm,fav : azioni permanenti favorevoli; N perm,sfav : azioni permanenti sfavorevoli; N var,fav : azioni variabili favorevoli; N var,sfav : azioni variabili sfavorevoli; γ G1 : coefficiente correttivo azioni permanenti (diverso secondo che il carico sia favorevole o sfavorevole); γ Qi : coefficiente correttivo azioni variabili (diverso secondo che il carico sia favorevole o sfavorevole); γ R : coefficiente correttivo delle resistenze; Sp: spinta passiva; f tan(φ) 2/3 0, W p W f W t G S g S q S a

5 Forze agenti (Fig. D.2): peso della parete: W p ; peso della fondazione: W f ; peso del terreno a monte: W t ; spinta statica del terreno: S a ; sovraccarico sul terreno a monte: G + Q; spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g ; spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q. Esempio di calcolo di un muro in c.a. 43 Combinazione C1: A1+M1+R1 Per il calcolo della risultante dei carichi verticali si adotta un coefficiente parziale γ G1 pari a 1, in quanto i carichi verticali, fornendo sempre un contributo di tipo stabilizzante, risultano favorevoli qualunque sia la combinazione di carico adottata. Non viene invece considerato il contributo stabilizzante dei carichi variabili e si assume quindi un coefficiente γ Qi pari a 0. Viene inoltre trascurato, a favore della sicurezza, il contributo stabilizzante del peso del terreno sulla mensola di fondazione di valle (Tab. D.3). Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C1, azioni favorevoli. Peso totale del muro: Peso del terreno a monte: W m W p + W f dan W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G 2700 dan Sovraccarico variabile sul terreno a monte: Si avrà quindi: Q 900 dan N perm,fav W m + W t + G dan N var,fav Q 900 dan La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzando i parametri geotecnici del terreno, corretti con i coefficienti del gruppo M 1 (Tab. D.4).

6 44 Appendice D Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per la combinazione C1. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Angolo di resistenza al taglio: tan φ 0 d tan φ0 k γ φ 0 tan 35 1,00 Peso per unità di volume del terreno: 0,70 quindi φ 0 d 35 γ td γ tk dan/m 3 γ γ 1 Il coefficiente di spinta attiva vale quindi: ( ) ) K a tan 2 45 φ0 d tan ( , Una volta corretti i parametri geotecnici è possibile calcolare la spinta del terreno agente sul paramento di monte e le spinte dovute ai sovraccarichi. Spinta attiva del terreno: S a 1 2 γ td K a H , 27 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g q g K a H ,27 5,6 2268daN Spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q q q K a H 500 0,27 5,6 756 dan Si avrà quindi: N perm,sfav S a + S g dan N var,sfav S q 756 dan Si possono calcolare ora l azione stabilizzante e quella instabilizzante. Azione stabilizzante: R d 1 (N perm,fav γ G1 + N var,fav γ Qi ) f γ R γ φ 1 ( , ,00) 0, dan 1,00 Azione instabilizzante: E d (N perm,sfav γ G1 + N var,sfav γ Qi ) , , dan Essendo R d ,004 > 1 la verifica allo scorrimento risulta soddisfatta. E d

7 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 45 Combinazioni Sismiche Q (1 ± K v ) G (1 ± K v ) Figura D.3 Forze coinvolte nella verifica a scorrimento, caso sismico W p K h W p (1 ± K v ) W f K h W t K h W t (1 ± K v ) W f (1 ± K v ) S g S q S a Combinazione S + Peso totale del muro: Peso del terreno a monte: W m W p + W f dan W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G 2700 dan Sovraccarico variabile sul terreno a monte: Si avrà quindi: Q 900 dan N perm,fav V f + W p + W t + G + W f k v + W p k v + W t k v + G k v , , , , dan N var,fav Q + Q k v , dan Come detto in precedenza per i parametri geotecnici si assumono i valori dei coefficienti parziali relativi alla tipologia di verifica e all approccio scelto,

8 46 Appendice D in questo caso, quindi, si utilizzano i coefficienti del gruppo M1 (combinazione C1) (Tab. D.4). Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per la combinazione C1. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Angolo di resistenza al taglio: tan φ 0 d tan φ0 k γ φ 0 tan 35 1,00 Peso per unità di volume e del terreno: 0,70 quindi φ 0 d 35 γ td γ tk dan/m 3 γ γ 1 Angolo + : ( ) ( ) # + kh 0,041 arctg arctg 2, 3 1+k v 1+0,0205 Facendo riferimento alla Figura D.1 si ha: i 0; φ 35 ; δ 0 ; β 0. Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (K a,sism ) diventa quindi: cos 2 (φ β #) K a,sism [ ] 2 sen(φ + δ) sen(φ i #) cos # cos 2 β cos(δ + β + #) 1+ cos(δ + β + #) cos(i β) cos 2 (35 0 2, 3 ) [ ] 2 cos 2, 3 cos2 0 cos(0 sen(35 +0 ) sen(35 0 2, 3 ) +0 +2, 3 ) 1+ cos( , 3 ) cos(0 0 ) 0,7081 [ ] 2 0,29 0,5735 0,540 0, , ,999 1 Spinta attiva del terreno: S a 1 2 γ td (1 + k v ) K a,sism H (1 + 0,0205) 0,29 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g q g (1 + k v ) K a,sism H 1500 (1 + 0,0205) 0,29 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q q q (1 + k v ) K a,sism H 500 (1 + 0,0205) 0,29 5,6 828 dan

9 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 47 Si avrà quindi: N perm,sfav S a + S g + W f k h + W p k h + W t k h , , , dan N var,sfav S q 828 dan Si possono calcolare ora l azione stabilizzante e quella instabilizzante. Azione stabilizzante: R d 1 (N perm,fav γ G1 + N var,fav γ Qi ) f γ R γ φ 1 ( , ,00) 0, dan 1,00 Azione instabilizzante: E d (N perm,sfav γ G1 + N var,sfav γ Qi ) , , dan Essendo R d E d soddisfatta ,15 > 1 la verifica allo scorrimento risulta Combinazione S Peso totale del muro: Peso del terreno a monte: W m W p + W f dan W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G 2700 dan Sovraccarico variabile sul terreno a monte: Si avrà quindi: Q 900 dan N perm,fav W f + W p + W t + G W f k v W p k v W t k v G k v , , , , dan N var,fav Q Q k v , dan Come detto in precedenza per i parametri geotecnici si assumono i valori dei coefficienti parziali relativi alla tipologia di verifica e all approccio scelto, in questo caso, quindi, si utilizzano i coefficienti del gruppo M1 (combinazione C1) (Tab. D.4).

10 48 Appendice D Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per la combinazione C1. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Angolo di resistenza al taglio: tan φ 0 d tan φ0 k γ φ 0 tan 35 1,00 0,70 quindi φ 0 d 35 Peso per unità di volume del terreno: Angolo : γ td γ tk dan/m 3 γ γ 1 ( ) ( ) # + kh 0,041 arctg arctg 2, 4 1 k v 1 0,0205 Facendo riferimento alla Figura D.1 si ha: i 0, φ 35 ; δ 0 ; β 0. Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (K a,sism ) diventa quindi: cos 2 (φ β #) K a,sism [ ] 2 sen(φ + δ) sen(φ i #) cos # cos 2 β cos(δ + β + #) 1+ cos(δ + β + #) cos(i β) cos 2 (35 0 2, 4 ) [ cos 2, 4 cos2 0 cos(0 sen(35 +0 ) sen(35 0 2, 4 ) +0 +2, 4 ) 1+ cos( , 4 ) cos(0 0 ) 0,7093 [ ] 2 0,29 0,5735 0,538 0, , ,999 1 Spinta attiva del terreno: S a 1 2 γ td (1 k v ) K a,sism H (1 0,0205) 0,29 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g q g (1 k v ) K a,sism H 1500 (1 0,0205) 0,29 5, dan ] 2

11 Spinta dovuta al sovraccarico variabile: Esempio di calcolo di un muro in c.a. 49 S q q q (1 k v ) K a,sism H 500 (1 0,0205) 0,29 5,6 795 dan Si avrà quindi: N perm,sfav S a + S g + W f k h + W p k h + W t k h dan N var,sfav S q 795 dan Si possono calcolare ora l azione stabilizzante e quella instabilizzante. Azione stabilizzante: R d 1 (N perm,fav γ G1 + N var,fav γ Qi ) f γ R γ φ 1 ( , , 00) 0, dan 1,00 Azione instabilizzante: E d (N perm,sfav γ G1 + N var,sfav γ Qi ) , , dan Essendo R d ,15 > 1 la verifica allo scorrimento risulta E d soddisfatta. Verifica a schiacciamento La verifica a schiacciamento risulta soddisfatta se R d E d > 1 E d N rd (N perm,sfav γ G1 + N var,sfav γ Qi ) R d q lim.a b,f γ R Q dove: G N perm,sfav : azioni permanenti sfavorevoli; N var,sfav : azioni variabili sfavorevoli; γ G1 : coefficiente correttivo azioni permanenti (diverso secondo che il carico sia favorevole o sfavorevole); γ Qi : coefficiente correttivo azioni variabili (diverso secondo che il carico sia favorevole o sfavorevole); W p b g b q b wp b wt W f W t S g S a b sa S q b sg b sq Figura D.4 Forze coinvolte nella verifica a schiacciamento, caso statico. q lim : carico limite unitario; A b,f : area di base della fondazione; γ R : coefficiente correttivo delle resistenze.

12 50 Appendice D Forze agenti (Fig. D.4): peso della parete: W p ; peso della fondazione: W f ; peso del terreno a monte: W t ; spinta statica del terreno: S a ; sovraccarico sul terreno a monte: G + Q; spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g ; spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q. Combinazione C1: A1+M1+R1 Come prima cosa è necessario calcolare l eccentricità della risultante delle forze verticali agenti alla base del muro calcolando il rapporto tra il momento risultante, rispetto al baricentro della fondazione, e la risultante delle forze verticali agenti sulla struttura. Le forze verticali e orizzontali, per la verifica di capacità portante, forniscono un contributo instabilizzante, pertanto sono da considerarsi sfavorevoli. Si adottano quindi γ G1 1,3 eγ Qi 1,5 (Tab. D.3). Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C1, azioni sfavorevoli. Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Risultante delle forze verticali: N rd γ G1 (W p + W f + W t + G)+γ Qi Q 1,3 ( ) + 1, dan Risultante delle forze orizzontali: H γ G1 (S a + S g )+γ Qi S q 1,3 ( ) + 1, dan Si calcola il momento (considerato positivo in senso orario) rispetto al centro della fondazione (fig. D.4): M γ G1 ( W p b wp + W f b wf + W t b wt + G b g S a b Sa S g b Sg ) + γ Qi (Q b q S q b Sq ) M 1,3 ( , , , , ,8) +1,5 (900 0, ,8) dan m L eccentricità della risultante delle forze verticali è: e M N ,34 m b 6 3,3 6 0,55

13 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 51 Figura D.5 Calcolo dell eccentricità M N e Dal momento che e < b/6 la sezione risulta interamente compressa e non si parzializza. Il carico limite unitario (capacità portante) del terreno si può calcolare utilizzando la formula di Hansen: q lim c N c s c d c i c b c g c +q N q s q d q i q b q g q B γ t N γ s γ d γ i γ b γ g γ dove: c coesione del terreno [dan/m 2 ]; γ peso specifico del terreno [dan/m 3 ]; B larghezza della fondazione [m]; q sovraccarico agente ai lati della fondazione [dan/m 2 ]; N i fattori di capacità portante, dipendenti dall angolo d attrito φ; s i fattori di forma; d i fattori di profondità; i i fattori di inclinazione del carico; b i fattori di inclinazione del piano della fondazione; g i fattori di inclinazione del terreno. Nel caso in esame c 0 quindi l espressione della q lim diventa: q lim q N q s q d q i q b q g q B γ t N γ s γ d γ i γ b γ g γ I fattori di capacità portante vengono calcolati mediante le formule seguenti: ( N q e tan φ tan φ ) 2 N γ (N q 1) tan (1,4 φ)

14 52 Appendice D Si ottiene: ( ) N q e tan 35 tan ,26 2 N γ (33,26 1) tan (1,4 35 )37,11 I fattori di forma s i vengono assunti pari a 1 poiché si utilizzano i fattori di inclinazione del carico. I fattori di profondità valgono: d q 1+2 tan φ (1 sen φ) 2 k con k D B per D B apple 1 per d γ 1 Per D si assume un valore medio tra l altezza del terreno a monte e a valle: D 2,8m, si ottiene quindi: d q 1+2 tan 35 (1 sen 35) 2 2,8 3,3 1,2161 d γ 1 I fattori di inclinazione del carico vengono calcolati mediante le seguenti formule: ( ) H m i q 1, V + B L c cotan φ ( ) H m+1 i γ 1 V + B L c cotan φ con m 2+B / L 1+ B 2+3,3 / 1 / L 1+ 3,3 1,23 / 1 Nel caso in esame c 0 quindi, le espressioni dei fattori di inclinazione del carico diventano: ( i q 1 H ) m ( ) 1,23 0,59 V ( i γ 1 H ) m+1 ( ) 2,23 0,39 V I fattori di inclinazione del piano della fondazione vengono calcolati mediante le seguenti formule: b q b γ (1 tan φ) 2 con inclinazione del piano di fondazione rispetto all orizzontale. Nel caso in esame il piano di fondazione è orizzontale, quindi: b q b γ 1 I fattori di inclinazione del terreno vengono calcolati mediante la formula seguente: g q g γ (1 0,5 tan β) 2 con β inclinazione del pendio.

15 Nel caso in esame il terreno è orizzontale, quindi: Esempio di calcolo di un muro in c.a. 53 g q g γ 1 I parametri geotecnici utilizzati per il calcolo della q lim devono essere corretti con coefficienti dei gruppi M1 (Tab. D.4). Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Pertanto: Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per la combinazione C1. q lim q N q s q d q i q b q g q B γ t N γ s γ d γ i γ b γ g γ ( ) γt D N q s q d q i q b q g q + 1 γ γ 2 B γt N γ s γ d γ i γ b γ g γ γ γ ( ) ,00 2,8 33, ,2161 0, dan 3,3 37, , ,00 m 2 Azione stabilizzante: R d q lim.a f q lim B , dan γ R 1,0 1,0 Azione instabilizzante: Essendo R d E d soddisfatta E d N rd dan 13,31 > 1 la verifica allo schiacciamento risulta Combinazioni Sismiche Si veda la Figura D.6 nella pagina seguente. Combinazione S + Peso totale del muro: W m W p + W f dan Peso del terreno a monte: W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G 2700 dan

16 54 Appendice D Figura D.6 Forze coinvolte nella verifica a schiacciamento, caso sismico. Q (1 ± K v ) G (1 ± K v ) b g b q b wp b wph b wth b wfh W p K h W p (1 ± K v ) W f K h W t K h b wt W t (1 ± K v ) W f (1 ± K v ) S g S a b sa S q b sg b sq Sovraccarico variabile sul terreno a monte: Spinta attiva del terreno: Q 900 dan S a 1 2 γ td (1 + k v ) K a,sism H (1 + 0,0205) 0,29 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g q g (1 + k v ) K a,sism H 1500 (1 + 0,0205) 0,29 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q q q (1 + k v ) K a,sism H 500 (1 + 0,0205) 0,29 5,6 828 dan Risultante delle forze verticali: N rd γ G1 [W p (1 + k v )+W f (1 + k v )+W t (1 + k v )+G (1 + k v )] + γ Qi Q (1 + k v ) 1,0 [6250 (1 + 0, 0205) (1 + 0,0205) (1 + 0,0205) (1 + 0,0205)] + +1,0 900 (1 + 0,0205) dan Risultante delle forze orizzontali: H γ G1 (W p k h + W f k h + W t k h + S a + S g )+γ Qi S q 1,0 ( ) + 1, dan

17 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 55 Si calcola il momento (considerato positivo in senso orario) rispetto al centro della fondazione: M γ G1 [ W p (1 + k v ) b wp + W f (1 + k v ) b wf + W t (1 + k v ) b wt + G (1 + k v ) b g W p k h b wph W f k h b wfh W t k h b wth S a b Sa S g b Sg ]+γ Qi [Q (1 + k v ) b q S q b Sq ] M 1,0 [ 6250 (1 + 0,0205) 0, (1 + 0,0205) (1 + 0,0205) 0, (1 + 0,0205) 0, ,041 3, ,041 0, ,041 3, , ,8] +1,0 [900 (1 + 0,0205) 0, ,8] dan m L eccentricità della risultante delle forze verticali è: e M N ,48 m, b 6 3,3 6 0,55 Dal momento che e < b/6 la sezione risulta interamente compressa e non si parzializza. Si calcola la capacità portante del terreno mediante la formula di Hansen che, in caso di terreno non coesivo, assume la seguente espressione: q lim q N q s q d q i q b q g q B γ t N γ s γ d γ i γ b γ g γ I fattori di capacità portante, di profondità, di inclinazione del piano di fondazione e del terreno dipendono dall angolo d attrito e dalle caratteristiche geometriche del sistema e quindi non variano. Con l introduzione del sisma cambiano invece i carichi verticali e orizzontali e di conseguenza cambia il fattore correttivo di inclinazione del carico. ( ) H m i q 1 V + B L c cotan φ ( ) H m+1 i γ 1 V + B L c cotan φ con m 2+B / L 1+ B 2+3,3 / 1 / L 1+ 3,3 1,23 / 1 Nel caso in esame c 0 quindi le espressioni dei fattori di inclinazione del carico diventano: ( i q 1 H ) m ( ) 1,23 0,53 V ( i γ 1 H ) m+1 ( ) 2,23 0,32 V I parametri geotecnici utilizzati per il calcolo della q lim devono essere corretti con coefficienti dei gruppi M1 (Tab. D.4).

18 56 Appendice D Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per la combinazione C1. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Quindi q lim q N q s q d q i q b q g q B γ t N γ s γ d γ i γ b γ g γ ( ) γt D N q s q d q i q b q g q + 1 γ γ 2 B γt N γ s γ d γ i γ b γ g γ γ γ ( ) ,00 2,8 33,26 1 1,2161 0, ,3 37, , , dan m 2 Azione stabilizzante: R d q lim.a f q lim B , dan γ R 1,0 1,0 Azione instabilizzante: Essendo R d E d soddisfatta E d N rd dan 14,95 > 1 la verifica allo schiacciamento risulta Combinazione Sismica S Peso totale del muro: W m W p + W f dan Peso del terreno a monte: W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G 2700 dan Sovraccarico variabile sul terreno a monte: Q 900 dan Spinta attiva del terreno: S a 1 2 γ td (1 k v ) K a,sism H (1 0,0205) 0,29 5, dan

19 Spinta dovuta al sovraccarico permanente: Esempio di calcolo di un muro in c.a. 57 S g q g (1 k v ) K a,sism H 1500 (1 0,0205) 0,29 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q q q (1 k v ) K a,sism H 500 (1 0,0205) 0,29 5,6 795 dan Risultante delle forze verticali: N rd γ G1 [W p (1 k v )+W f (1 k v )+W t (1 k v )+G (1 k v )] + γ Qi Q (1 k v ) 1,0 [6250 (1 0,0205) (1 0,0205) (1 0,0205) (1 0,0205)] + 1, (1 0,0205) dan Risultante delle forze orizzontali: H γ G1 (W p k h + W f k h + W t k h + S a + S g )+γ Qi S q 1,0 ( ) + 1, dan Si calcola il momento (considerato positivo in senso orario) rispetto al centro della fondazione: M γ G1 [ W p (1 k v ) b wp + W f (1 k v ) b wf + W t (1 k v ) b wt +G (1 k v ) b g W p k h b wph W f k h b wfh W t k h b wth G k h b gh S a b Sa S g b Sg ]+γ Qi [Q (1 k v ) b q Q k h b qh S q b Sq ] M 1,0 [ 6250 (1 0,0205) 0, (1 0,0205) (1 0,0205) 0, (1 0,0205) 0, ,041 3, ,041 0, ,041 3, , ,8] +1,0 [900 (1 0,0205) 0, ,8] dan m L eccentricità della risultante delle forze verticali è: e M N ,48 m b 6 3,3 6 0,55 Si calcola la capacità portante del terreno mediante la formula di Hansen che in caso di terreno non coesivo assume la seguente espressione: q lim q N q s q d q i q b q g q B γ t N γ s γ d γ i γ b γ g γ Analogamente a quanto visto per la combinazione sismica S + gli unici fattori che variano sono quelli riguardanti l inclinazione del carico: ( ) H m i q 1 V + B L c cotan φ ( ) H m+1 i γ 1 V + B L c cotan φ

20 58 Appendice D con m 2+ B L 1+ B L 2+ 3, ,3 1 1,23 Nel caso in esame, c 0, le espressioni dei fattori di inclinazione del carico diventano: i q i γ ( 1 H ) m ( 1 V ( 1 H ) m+1 ( 1 V ) ,23 0, ) 2,23 0, Dal momento che e < b/6 la sezione risulta interamente compressa e non si parzializza. I parametri geotecnici utilizzati per il calcolo della q lim devono essere corretti con coefficienti dei gruppi M 1 (Tab. D.4). Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per la combinazione C1. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Quindi q lim q N q s q d q i q b q g q B γ t N γ s γ d γ i γ b γ g γ ( ) γt D N q s q d q i q b q g q + 1 γ γ 2 B γt N γ s γ d γ i γ b γ g γ γ γ ( ) ,00 2,8 33,26 1 1,2161 0, ,3 37, , , dan m 2 Azione stabilizzante: R d q lim.a f q lim B , dan γ R 1, 0 1,0 Azione instabilizzante: E d N rd dan Essendo R d E d soddisfatta ,23 > 1 la verifica allo schiacciamento risulta

21 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 59 Verifica al ribaltamento La verifica al ribaltamento risulta soddisfatta se R d E d > 1 E d i ( Nperm,sfavi γ G1 b perm,sfavi + N var,sfavi γ Qi b var,sfavi ) R d j (N perm,favj γ G1 b perm,favj + N var,favj γ Qi b var,favj ) dove: N perm,fav : azioni permanenti favorevoli; b perm,fav : braccio azioni permanenti favorevoli; N perm,sfav : azioni permanenti sfavorevoli; b perm,sfav : braccio azioni permanenti sfavorevoli; N var,fav : azioni variabili favorevoli; b var,fav : braccio azioni variabili favorevoli; N var,sfav : azioni variabili sfavorevoli; b var,sfav : braccio azioni variabili sfavorevoli; γ G1 : coefficiente correttivo azioni permanenti (diverso secondo che l azione sia favorevole o sfavorevole); γ Qi : coefficiente correttivo azioni variabili (diverso secondo che l azione sia favorevole o sfavorevole). Q b g b q G Figura D.7 Forze coinvolte nella verifica a ribaltamento, caso statico. b wt b wp b wf W p W f W t S g S a b sa S q b sg b sq A Forze agenti: peso della parete: W p ; peso della fondazione: W f ; peso del terreno a monte: W t ; spinta statica del terreno: S a ;

22 60 Appendice D sovraccarico sul terreno a monte: G + Q; spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g ; spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q. Combinazione EQU+M2 Il meccanismo limite di ribaltamento viene considerato come uno stato di equilibrio limite di corpo rigido e non prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione, per le azioni vengono, quindi, utilizzati i coefficienti parziali del gruppo EQU. In particolare, il momento stabilizzante, viene calcolato adottando i coefficienti parziali γ G1 0,9 per le azioni verticali permanenti e γ Qi 0,0 per quelle variabili, che forniscono un contributo stabilizzante. Peso totale del muro: W m W p + W f W p + W f dan Peso del terreno a monte: W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G q g l f,m , dan Sovraccarico variabile sul terreno a monte: Si avrà quindi: Q q q l f,m 500 1,8 900 dan N perm,fav W m + W t + G dan N var,fav Q 900 dan Momento stabilizzante dovuto al peso del muro: M m W p b wp + W f b wf , , dan m Momento stabilizzante dovuto al peso del terreno: M t W t b wt , dan m Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico permanente: M g G b g , dan m Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico variabile: M q Q b q 900 2, dan m I carichi verticali permanenti e variabili risultano favorevoli e forniscono sempre un contributo stabilizzante, si adottano quindi γ G 0,9 eγ Qi 0,0 (colonna EQU) (Tab. D.3).

23 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 61 Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C1, azioni favorevoli. Azione stabilizzante: R d ( ) Nperm,favk b perm,favk γ G1 + N var,favk b var,favk γ Qi k M m γ G1 + M t γ G1 + M g γ G1 + M q γ Qi , , , , dan m La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzando i parametri geotecnici del terreno, corretti con i coefficienti del gruppo M 2 (Tab. D.4). Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per il gruppo M2. Angolo di resistenza al taglio: tan φ 0 d tan φ0 k γ φ 0 tan 35 1,25 Peso per unità di volume del terreno: 0,56 quindi φ 0 d 29 γ td γ tk dan/m 3 γ γ 1 Il coefficiente di spinta attiva vale quindi: ( ) ) K a tan 2 45 φ0 d tan ( , Una volta corretti i parametri geotecnici è possibile calcolare la spinta del terreno agente sul paramento di monte e le spinte dovute ai sovraccarichi. Spinta attiva del terreno: S a 1 2 γ td K a H ,35 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g q g K a H ,35 5, dan

24 62 Appendice D Spinta dovuta al sovraccarico variabile: Si avrà quindi: S q q q K a H 500 0,35 5,6 980 dan N perm,sfav S a + S g dan N var,sfav S q 980 dan Momento instabilizzante dovuto alla spinta del terreno: M Sa S a b Sa , dan m Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico permanente: M Sg S g b Sg , dan m Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico variabile: M Sq S q b Sq 980 2, dan m Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione EQU, azioni sfavorevoli. Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Azione instabilizzante: E d ( ) Nperm,sfavi b perm,sfavi γ G1 + N var,sfavi b var,sfavi γ Qi i 1,65 > 1 la verifica al ribaltamento risulta soddi- Essendo R d E d sfatta. M Sa γ G1 + M Sg γ G1 + M Sq γ Qi ,87 1, ,8 1, ,8 1, dan m Combinazioni Sismiche Si veda la Figura D.8 nella pagina seguente. Combinazione S + Peso totale del muro: Peso del terreno a monte: W m W p + W f dan W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G 2700 dan

25 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 63 Q (1 ± K v ) G (1 ± K v ) Figura D.8 Forze coinvolte nella verifica a ribaltamento, caso sismico W p K h W p (1 ± K v ) W f K h W t K h W t (1 ± K v ) W f (1 ± K v ) S g S q S a Sovraccarico; Q 900 dan Si avrà quindi: N perm,fav W f + W p + W t + G + W f k v + W p k v + W t k v + G k v , , , , dan N var,fav Q + Q k v , dan Momento stabilizzante dovuto al peso del muro: M m W p (1 + k v ) b wp + W f (1 + k v ) b wf 6250 (1+0,0205) 1, (1+0,0205) 1, dan m Momento stabilizzante dovuto al peso del terreno: M t W t (1 + k v ) b wt (1 + 0,0205) 2, dan m Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico permanente: M g G (1 + k v ) b g 2700 (1 + 0,0205) 2, dan m Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico variabile: M q Q (1 + k v ) b q 900 (1 + 0,0205) 2, dan m

26 64 Appendice D Azione stabilizzante: R d ( ) Nperm,favk b perm,favk γ G1 + N var,favk b var,favk γ Qi k M m γ G1 + M t γ G1 + M g γ G1 + M q γ Qi , , , , dan m La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzando i parametri geotecnici del terreno corretti con i coefficienti del gruppo M 2 (Tab. D.4). Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per il gruppo M2. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Angolo di resistenza al taglio: tan φ 0 d tan φ0 k γ φ 0 tan 35 1,25 Peso per unità di volume del terreno: Angolo + : 0,56 quindi φ 0 d 29 γ td γ tk dan/m 3 γ γ 1 ( ) ( ) # + kh 0,041 arctg arctg 2, 3 1+k v 1+0,0205 Facendo riferimento alla Figura D.8 si ha: i 0; φ 29 ; δ 0 ; β 0. Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (K a,sism ) diventa quindi: cos 2 (φ β #) K a,sism [ ] 2 sen(φ + δ) sen(φ i #) cos # cos 2 β cos(δ + β + #) 1+ cos(δ + β + #) cos(i β) cos 2 (29 0 2, 3 ) [ cos 2, 3 cos2 0 cos(0 sen(29 +0 ) sen(29 0 2, 3 ) +0 +2, 3 ) 1+ cos( , 3 ) cos(0 0 ) 0,7981 [ ] 2 0,37 0,4848 0,4493 0, , ,999 1 ] 2

27 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 65 Spinta attiva del terreno: S a 1 2 γ td (1 + k v ) K a,sism H (1 + 0, 0205) 0, 37 5, daN Spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g q g (1 + k v ) K a,sism H 1500 (1 + 0,0205) 0,37 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q q q (1 + k v ) K a,sism H 500 (1 + 0,0205) 0,37 5, dan Forza orizzontale dovuta all inerzia della parete del muro: I wp W p k h , dan Forza orizzontale dovuta all inerzia della fondazione del muro: I wf W f k h , dan Forza orizzontale dovuta all inerzia del terreno a monte: Si avrà quindi: I wt W p k h , dan N perm,sfav S a + S g + I wp + I wf + I wt dan N var,sfav S q 1057 dan Momento instabilizzante dovuto alla spinta del terreno: M Sa S a b Sa , dan m Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico permanente: M Sg S g b Sg , dan m Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico variabile: M Sq S q b Sq , dan m Momento instabilizzante dovuto alla forza d inerzia della parete del muro: M Iwp I wp b wph 256 3,1 794 dan m Momento instabilizzante dovuto alla forza d inerzia della fondazione del muro: M Iwf I wf b wfh 203 0,3 61daN m Momento instabilizzante dovuto alla forza d inerzia del terreno: M Iwt I wt b wth 664 3, dan m

28 66 Appendice D Azione instabilizzante: E d ( ) Nperm,sfavi b perm,sfavi γ G1 + N var,sfavi b var,sfavi γ Qi i M Sa γ G1 +M Sg γ G1 +M Iwt γ G1 +M Iwp γ G1 +M Iwf γ G1 +M Sq γ Qi , , , , , , dan m 1,87 > 1 la verifica al ribaltamento risulta soddi- Essendo R d E d sfatta Combinazione S Peso totale del muro: W m W p + W f dan Peso del terreno a monte: W t dan Sovraccarico permanente sul terreno a monte: G 2700 dan Sovraccarico: Si avrà quindi: Q 900 dan N perm,fav W f + W p + W t + G W f k v W p k v W t k v G k v , , , , dan N var,fav Q Q k v , dan Momento stabilizzante dovuto al peso del muro: M m W p (1 k v ) b wp + W f (1 k v ) b wf 6250 (1 0,0205) 1, (1 0,0205) 1, dan m Momento stabilizzante dovuto al peso del terreno: M t W t (1 k v ) b wt (1 0,0205) 2, dan m Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico permanente: M g G (1 k v ) b g 2700 (1 0,0205) 2, dan m Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico variabile: M q Q (1 k v ) b q 900 (1 0,0205) 2, dan m

29 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 67 Azione stabilizzante: R d ( ) Nperm,favk b perm,favk γ G1 + N var,favk b var,favk γ Qi k M m γ G1 + M t γ G1 + M g γ G1 + M q γ Qi , , , , dan La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzando i parametri geotecnici del terreno corretti con i coefficienti del gruppo M 2 (Tab. D.4). Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per il gruppo M2. Angolo di resistenza al taglio: tan φ 0 d tan φ0 k γ φ 0 tan 35 1,25 Peso per unità di volume del terreno: Angolo : 0,56 quindi φ 0 d 29 γ td γ tk dan/m 3 γ γ 1 ( ) ( ) # kh 0,041 arctg arctg 2, 4 1 k v 1 0,0205 Facendo riferimento alla Figura D.8 si ha: i 0; φ 29 ; δ 0 ; β 0. Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (K a,sism ) diventa quindi: cos 2 (φ β #) K a,sism [ ] 2 sen(φ + δ) sen(φ i #) cos # cos 2 β cos(δ + β + #) 1+ cos(δ + β + #) cos(i β) cos 2 (29 0 2, 4 ) [ cos 2, 4 cos2 0 cos(0 sen(29 +0 ) sen(29 0 2, 4 ) +0 +2, 4 ) 1+ cos( , 4 ) cos(0 0 ) 0,7994 [ ] 2 0,37 0,4848 0,4477 0, , ,999 1 ] 2

30 68 Appendice D Spinta attiva del terreno: S a 1 2 γ td (1 k v ) K a,sism H (1 0,0205) 0,37 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico permanente: S g q g (1 k v ) K a,sism H 1500 (1 0,0205) 0,37 5, dan Spinta dovuta al sovraccarico variabile: S q q q (1 k v ) K a,sism H 500 (1 0,0205) 0,37 5, dan Forza orizzontale dovuta all inerzia della parete del muro: I wp W p k h , dan Forza orizzontale dovuta all inerzia della fondazione del muro: I wf W f k h , dan Forza orizzontale dovuta all inerzia del terreno a monte: Si avrà quindi: I wt W p k h , dan N perm,sfav S a + S g + I wp + I wf + I wt dan N var,sfav S q 1015 dan Momento instabilizzante dovuto alla spinta del terreno: M Sa S a b Sa , dan m Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico permanente: M Sg S g b Sg , dan m Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico variabile: M Sq S q b Sq , dan m Momento instabilizzante dovuto alla forza d inerzia della parete del muro: M Iwp I wp b wph 256 3,1 794 dan m Momento instabilizzante dovuto alla forza d inerzia della fondazione del muro: M Iwf I wf b wfh 203 0,3 61 dan m Momento instabilizzante dovuto alla forza d inerzia del terreno: M Iwt I wt b wth 664 3, dan m

31 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 69 Azione instabilizzante: E d ( ) Nperm,sfavi b perm,sfavi γ G1 + N var,sfavi b var,sfavi γ Qi i M Sa γ G1 +M Sg γ G1 +M Iwt γ G1 +M Iwp γ G1 +M Iwf γ G1 +M Sq γ Qi , , , , , , dan 1,86 > 1 la verifica al ribaltamento risulta soddi- Essendo R d E d sfatta Verifica di stabilità globale La verifica di stabilità globale risulta soddisfatta se R d E d > 1 E d n R d 1 γ R N perm,sfavn γ G2 j [ cl ) l i + (N perm,favj γ G2 u l i γ G2 γ c tan ] φ0 k γ φ dove: N perm,fav : azioni permanenti favorevoli (W i cos i ); N perm,sfav : azioni permanenti sfavorevoli (W i sen i ); γ G2 : coefficiente correttivo azioni permanenti non strutturali (diverso secondo che l azione sia favorevole o sfavorevole). In questo caso essendo i carichi compiutamente definiti si può assumere γ G2 γ G1 ; γ c : coefficiente correttivo della coesione; γ φ : coefficiente correttivo dell angolo d attrito; γ R : coefficiente correttivo delle resistenze. Combinazione C2: A2+M2+R2 Per la verifica di stabilità globale viene utilizzata la combinazione C2: A2 + M2+R2, con γ R specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materiali sciolti e fronti di scavo pari a 1,1 (Fig. D.9). Si considera una superficie di scorrimento di primo tentativo di raggio Concio [m] [ ] [dan] [dan] [dan] x W i,terreno W icls W itot pari a 9,8 m. L insieme terreno-muro 1 1, , viene discretizzato in 9 conci di larghezza variabile tra 1,44 e 1,8 m. Per 4 1, , ognuno dei conci individuati si calcola la forza peso: tale vettore viene 6 1, , , scomposto nelle sue componenti parallela e ortogonale alla superficie di 9 1, , scorrimento. Le componenti ortogonali alla superficie di scorrimento sono considerate stabilizzanti in quanto contrastano l instaurarsi del cinematismo. Le componenti parallele alla superficie di scorrimento, invece, risultano instabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o meno verso valle. Tabella D.5 Forze peso dei conci.

32 70 Appendice D Figura D.9 Divisione del sistema in conci. O Dx Azione stabilizzante: Nel caso in esame per i conci 1, 2 e 3 entrambe le componenti della forza peso esplicano un azione stabilizzante, considerando inoltre l assenza di falda e la presenza di terreno non coesivo, R d diventa: R d 1 γ R [ 9 j1 (W i γ G2 cos j ) tan φ0 k γ φ + ] 3 W l γ G2 sen l l1 Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per il gruppo M2. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C2, azioni favorevoli. Tabella D.6 le verifiche di sicurezza di opere di materiali sciolti e di fronti di scavo. Coefficiente R 2 γ R 1,1 Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti, il coefficiente γ G2 può essere assunto pari a γ G1. Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Si assume il γ R specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materiali sciolti e fronti di scavo. R d 1 [ 9 1,1 (W i 1,00 cos j ) tan ] 3 φ0 k 1,25 + W l 1,00 sen l j1 1 [ ] dan 1,1 l1

33 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 71 Azione instabilizzante: 9 E d W i γ G2 sen n n4 Anche per le azioni instabilizzanti si assume γ G2 γ G1 1,00 Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C2, azioni sfavorevoli. Essendo R d E d soddisfatta. E d W n 1,00 sen n dan n4 1,63 > 1 la verifica di stabilità globale risulta Combinazione sismica: S + Per ognuno dei conci individuati oltre alla forza peso bisogna considerare le componenti dell azione sismica orizzontale (W k h ) e verticale (W k v ), date dal prodotto del peso del concio per i relativi coefficienti sismici. Tali forze devono essere scomposte in direzione parallela e ortogonale alla superficie di scorrimento. Come nel caso statico le componenti ortogonali alla superficie di scorrimento sono considerate stabilizzanti in quanto contrastano l instaurarsi del cinematismo; le componenti parallele alla superficie di scorrimento, invece, risultano instabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o meno verso valle. In Tabella D.7 sono riportate le componenti delle forze per ogni concio: in grigio chiaro sono evidenziate quelle utilizzate per il calcolo dell azione stabilizzante mentre in grigio scuro quelle che forniscono un contributo instabilizzante. Tabella D.7 Componenti delle forze favorevoli e sfavorevoli alla stabilità globale, combinazione S +.

34 72 Appendice D Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per il gruppo M2. Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Figura D.10 Forze coinvolte nella verifica di stabilità globale per la combinazione sismica S +. O Wk h sena a Wk h Wk v cosa Wk h cosa a Wk v Wk h sena Wk h a Wk a h cosa Wkv Wk v cosa Wk v sena Wk v sena Wcosa W W Wcosa Wsena Wsena - a a Azione stabilizzante: R d 1 { 9 [W i (1 + k v ) cos i γ G2 W i k h sen i γ G2 ] γ R i4 3 [ + (W j (1 + k v ) cos j γ G2 + W j k h sen j γ G2 ) j1 + W j (1 + k v ) sen j γ G2 ] } tan φ0 γ φ + tan φ0 γ φ +

35 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 73 Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti il coefficiente γ G2 può essere assunto pari a γ G1. Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Si assume il γ R specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materiali sciolti e fronti di scavo. R d 1 { 9 1,1 tan φ0 [W i (1 + k v ) cos i 1,00 W i k h sen i 1,00] 1,25 + i4 3 [ (W j (1 + k v ) cos j 1,00 + W j k h sen j 1,00) j1 ] } + W j (1 + k v ) sen j 1,00 tan φ0 1,25 + Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C2, azioni favorevoli. Tabella D.6 le verifiche di sicurezza di opere di materiali sciolti e di fronti di scavo. Coefficiente R 2 γ R 1,1 1 [(61370,25 1, ,09 1,00 981,63 1,00) 0, ,1 ] + (12473, 72 1, ,17 1, 00) 0, , 75 1, dan Azione instabilizzante: 9 E d [W i (1 + k v ) sen i γ G2 + W i k h cos i γ G2 ] i4 + 3 W j k h cos j γ G2 j1 Anche per le azioni instabilizzanti si assume γ G2 γ G1 1,00. Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C2, azioni sfavorevoli. 9 E d [W i (1 + k v ) sen i 1,00 + W i k h cos i 1,00] i4 + 3 W j k h cos j 1,00 (23 942, ,82) 1,00 j ,18 1, ,15 1, dan

36 74 Appendice D Essendo R d E d soddisfatta ,43 > 1 la verifica di stabilità globale risulta Combinazione sismica: S Figura D.11 Forze coinvolte nella verifica di stabilità globale per la combinazione sismica S. Analogamente a quanto visto per il caso S + per ogni concio devono essere considerate non solo le componenti della forza peso, ma anche quelle dell azione sismica orizzontale e verticale. Le componenti ortogonali alla superficie di scorrimento sono considerate stabilizzanti in quanto contrastano l instaurarsi del cinematismo; le componenti parallele alla superficie di scorrimento, invece, risultano instabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o meno verso valle. O Wk v sena Wk v sena Wk v Wk h cosa a Wk h a Wk h sena Wk v cosa Wk v cosa Wk h a Wk h sena Wk h cosa a Wk v Wcosa Wcosa W W Wsena Wsena - a a In Tabella D.8 sono riportate le componenti delle forze per ogni concio: in grigio chiaro sono evidenziate quelle utilizzate per il calcolo dell azione stabilizzante mentre in grigio scuro quelle che contribuiscono all instabilità del sistema.

37 Esempio di calcolo di un muro in c.a. 75 Tabella D.8 Componenti delle forze favorevoli e sfavorevoli alla stabilità globale, combinazione S. Azione stabilizzante: R d 1 { 9 [ (W i (1 k v ) cos i γ G2 W i k h sen i γ G2 ) γ R i4 + W i k v sen i γ G2 ]+ + 3 [ (W j (1 k v ) cos j γ G2 + W j k h sen j γ G2 ) j1 + W j sen j γ G2 ]} tan φ0 γ φ + tan φ0 γ φ + Grandezza alla quale Coefficiente applicare il parziale Parametro coefficiente parziale γ M (M1) (M2) Tangente dell angolo di resistenza al taglio tan φ 0 k γ φ 0 1,0 1,25 Coesione efficace c 0 k γ c 0 1,0 1,25 Resistenza non drenata c uk γ cu 1,0 1,4 Peso dell unità di volume γ γ γ 1,0 1,0 Tabella D.4 i parametri geotecnici del terreno. per il gruppo M2. Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti il coefficiente γ G2 può essere assunto pari a γ G1. Si assume il γ R specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materiali sciolti e fronti di scavo. Coefficiente parziale Carichi Effetto γ F (o γ E ) EQU (A1) STR (A2) GEO Permanenti 0,9 1,0 1,0 γ G1 1,1 1,3 1,0 Permanenti non strutturali γ G2 1,5 1,5 1,3 Variabili γ Qi 1,5 1,5 1,3 Tabella D.3 le azioni o per l effetto delle azioni. per la combinazione C2, azioni favorevoli.